2025-2026学年浙江省宁波市宁波十校高一上数学期末检测试题含解析.doc

2025-2026学年浙江省宁波市宁波十校高一上数学期末检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是
A. B.
C. D.
2．已知是定义在上的奇函数，且，当且时.已知，若对恒成立，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知函数，则（　　）
A.﹣1 B.
C. D.3
4．已知，，，则大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5．下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（　　）
A.， B.，
C.， D.，
6．若，，，则a，b，c的大小关系是　　
A. B.
C. D.
7．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜4}，集合B={x|3≤x＜5}，则A∩（∁UB）=（　　）
A. B.
C. D.
8．幂函数在上是减函数．则实数的值为　　
A.2或 B.
C.2 D.或1
9．已知，，，则下列关系中正确的是　　
A. B.
C. D.
10．已知向量，满足，，且与夹角为，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________
12．计算___________.
13．函数最小正周期是________________
14．若函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围是_______.
15．函数的值域是____________，单调递增区间是____________.
16．已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是___________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆过， ，且圆心在直线上
（1）求此圆的方程
（2）求与直线垂直且与圆相切的直线方程
（3）若点为圆上任意点，求的面积的最大值
18．如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，，D，H，G为垂足，若将绕AD旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.

19．已知函数，函数为R上的奇函数，且.
（1）求的解析式：
（2）判断在区间上的单调性，并用定义给予证明：
（3）若的定义域为时，求关于x的不等式的解集.
20．如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是
用宽（单位）表示所建造的每间熊猫居室的面积（单位）；
怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？

21．如图所示，一块形状为四棱柱的木料，分别为的中点.

（1）要经过和将木料锯开，在木料上底面内应怎样画线？请说明理由；
（2）若底面是边长为2菱形，，平面，且，求几何体的体积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，再依次判断每个选项的奇偶性和单调性得到答案.
【详解】易知：函数为偶函数，且在上单调递增
A.，函数为偶函数，且当时单调递增，满足；
B.为偶函数，且当时单调递减，排除；
C.函数为奇函数，排除；
D.，函数为非奇非偶函数，排除；
故选：
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
2、A
【解析】由奇偶性分析条件可得在上单调递增，所以，进而得，结合角的范围解不等式即可得解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以当且时，
根据的任意性，即的任意性可判断在上单调递增，
所以，
若对恒成立，则，
整理得，所以，
由，可得，
故选：A.
【点睛】关键点点睛，本题解题关键是利用，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.
3、C
【解析】先计算，再代入计算得到答案.
【详解】，则
故选：
【点睛】本题考查了分段函数的计算，意在考查学生的计算能力.
4、B
【解析】分别判断与0,1等的大小关系判断即可.
【详解】因为.故.又,故.又,故.所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据指对幂函数的单调性判断函数值大小的问题,属于基础题.
5、C
【解析】根据函数的定义域，即可判断选项A的两个函数不是同一个函数，根据函数解析式不同，即可判断选项B，D的两函数都不是同一个函数，从而为同一个函数的只能选C
【详解】A.的定义域为{x|x≠0}，y=1的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；
B.和y=|x|的解析式不同，不是同一函数；
C．y=x的定义域为R，y=lnex=x的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一个函数；
D.=|x-1|,=x-1,解析式不同，不是同一个函数
故选C
【点睛】本题考查同一函数的定义，判断两函数是否为同一个函数的方法：看定义域和解析式是否都相同
6、C
【解析】由题意，根据实数指数函数性质，可得，根据对数的运算性质，可得，即可得到答案.
【详解】由题意，根据实数指数函数的性质，可得，
根据对数的运算性质，可得；

故选C
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的运算性质的应用，其中解答中合理运用指数函数和对数函数的运算性质，合理得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7、D
【解析】先求∁UB，然后求A∩（∁UB）
【详解】∵（∁UB）＝{x|x＜3或x≥5}，
∴A∩（∁UB）＝{x|0＜x＜3}
故选D
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础
8、B
【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得，由此解得的值
【详解】解：由于幂函数在时是减函数，
故有，
解得，
故选：
【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质应用，属于基础题
9、C
【解析】利用函数的单调性、正切函数的值域即可得出
【详解】，，∴，
又∴，
则下列关系中正确的是：
故选C
【点睛】本题考查了指对函数的单调性、三角函数的单调性的应用，属于基础题
10、D
【解析】根据向量的运算性质展开可得，再代入向量的数量积公式即可得解.
【详解】根据向量运算性质，

，
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4050
【解析】设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益：
当时， 最大，最大值为，即当每车辆的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是，故答案为.
【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是：将租赁公司的月收益表示为关于每辆车的月租金的函数，然后利用二次函数的性质解答.
12、2
【解析】利用指数、对数运算法则即可计算作答.
【详解】.
故答案：2
13、
【解析】根据三角函数周期计算公式得出结果.
【详解】函数的最小正周期是
故答案为：
14、
【解析】由题意根据数形结合，只要，并且对称轴在之间，，解不等式组即可
【详解】由题意，要使函数区间上有两个零点，
只要，即，解得，故答案为
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，函数零点的分布，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组，常见的形式有考虑端点值处函数值的符号，对称轴与所给区间的关系，对称轴处函数值的符号等，属于中档题.
15、 ①. ②.
【解析】先求二次函数值域，再根据指数函数单调性求函数值域；根据二次函数单调性与指数函数单调性以及复合函数单调性法则求函数增区间.
【详解】因为,所以，即函数的值域是
因为单调递减，在（1，+）上单调递减，因此函数的单调递增区间是（1，+）.
【点睛】本题考查复合函数值域与单调性，考查基本分析求解能力.
16、
【解析】由题意，函数的图象在x轴上方，故，解不等式组即可得k的取值范围
【详解】解：因为不等式为一元二次不等式，所以，
又一元二次不等式对一切实数x都成立，
所以有，解得，即，
所以实数k的取值范围是，
故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)或（3）
【解析】（1）一般利用待定系数法，先求出圆心的坐标，再求出圆的半径，即得圆的方程.(2)先设出直线的方程，再利用直线和圆相切求出其中的待定系数.(3)一般利用数形结合分析解答.当三角形的高是d+r时，三角形的面积最大.
【详解】（1）易知中点为，，
∴的垂直平分线方程为，即，
联立，解得
则，
∴圆的方程为
（2）知该直线斜率为，不妨设该直线方程为，
由题意有，解得
∴该直线方程为或
（3），即，圆心到的距离
∴
点睛：本题的难点在第（3）问方法的选择，选择数形结合分析解答比较方便.数形结合是高中数学里一种重要的数学思想，在解题中要灵活运用.
18、表面积为：，体积为：
【解析】由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面，旋转体的体积为圆锥的体积减去圆柱的体积，结合题中的数据，代入圆柱和圆锥的侧面积公式和底面积公式及体积公式进行求解即可.
【详解】由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，
且圆锥的底面半径为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为.
所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面.

故所求几何体的表面积为：
阴影部分形成的几何体的体积：

【点睛】本题考查简单组合体的表面积和体积的求解、圆柱和圆锥的体积和表面积公式；考查运算求解能力和空间想象能力；熟练掌握旋转体的形成过程和表面积和体积公式是求解本题的关键；属于中档题.
19、（1）；
（2）单调递增.证明见解析；
（3）
【解析】（1）列方程组解得参数a、b，即可求得的解析式；
（2）以函数单调性定义去证明即可；
（3）依据奇函数在上单调递增，把不等式转化为整式不等式即可解决.
【小问1详解】
由题意可知，即，解之得，
则，经检验，符合题意.
【小问2详解】
在区间上单调递增.
设任意，且，
则
由，且，可得
则，即
故在区间上单调递增.
【小问3详解】
不等式可化为
等价于，解之得
故不等式的解集为
20、（1）（2）使每间熊猫居室的宽为，每间居室的长为15m时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150
【解析】（1）根据周长求出居室的长，再根据矩形面积公式得函数关系式，最后根据实际意义确定定义域（2）根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法：在对称轴处取最大值
试题解析：解：（1）设熊猫居室的宽为（单位），由于可供建造围墙的材料总长是，则每间熊猫居室的长为（单位m）
所以每间熊猫居室的面积
又得

（2）
二次函数图象开口向下，对称轴且，
当时，，
所以使每间熊猫居室的宽为，每间居室的长为15m时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150
点睛：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题
21、 (1)见解析(2)3
【解析】（1）根据面面平行的性质，两个平行平面，被第三个平面所截，截得的交线互相平行，故得到就是应画的线；（2）几何体是由三棱锥和四棱锥组成，分割成两个棱锥求体积即可
解析：
（1）连接,则就是应画的线；
事实上，连接,在四棱柱中，
因为分别为的中点，
所以，，
所以平行四边形,所以，
又在四棱柱中，
所以，
所以点共面，
又面，所以就是应画线.

（2）几何体是由三棱锥和四棱锥组成.
因为底面是边长为的菱形，，平面，
连接， 即为三棱锥的高，
又，所以，
连接，为四棱锥的高,
又，所以,
所以几何体的体积为.