2025-2026学年江苏省淮安市高中校协作体高一数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025-2026学年江苏省淮安市高中校协作体高一数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数表示为

设，的值域为，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2．平行四边形中，，，，点满足，则　　
A.1 B.
C.4 D.
3．已知直线和直线，则与之间的距离是（）
A. B.
C.2 D.
4．已知的三个顶点、、及平面内一点满足，则点与的关系是（）
A.在的内部 B.在的外部
C.是边上的一个三等分点 D.是边上的一个三等分点
5．设、是两个非零向量，下列结论一定成立的是（）
A.若，则
B.若，则存在实数，使得
C若，则
D.若存在实数，使得，则|
6．已知函数，则的大致图像为（）
A. B.
C. D.
7．对于函数，若存在，使，则称点是曲线“优美点”.已知，则曲线的“优美点”个数为
A.1 B.2
C.4 D.6
8．已知，方程有三个实根，若，则实数
A. B.
C. D.
9．下列函数中，与函数的定义域与值域相同的是（ ）
A.y=sinx B.
C. D.
10．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（   ）
A.1：3 B.1：（ ）
C.1：9 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数（且）的图象必经过点___________.
12．写出一个定义域为，周期为的偶函数________
13．___________，__________
14．设函数，则当时，的最小值为______；若恰有两个零点，则实数所在的区间是______.
15．直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则__________
16．若函数（，且）在上是减函数，则实数的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，（a为常数，且），若
（1）求a的值；
（2）解不等式
18．计算题

19．已知是定义在上的奇函数.
（1）求实数和的值；
（2）根据单调性的定义证明：在定义域上为增函数.
20．已知集合，，.
（1）求，
（2）若，求实数a的取值范围
21．2019年是中华人民共和国成立70周年，70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就，为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊，某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单，已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊，现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作，设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为(小时)，制作完书刊所需时间为(小时).
（1）试比较与的大小，并写出完成订单所需时间(小时)的表达式；
（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据所给函数可得答案.
【详解】根据题意得，的值域为.
故选：A .
2、B
【解析】选取，为基向量，将，用基向量表示后，再利用平面向量数量积的运算法则求解数量积.
【详解】
，
，

，故选B
【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算，属中档题．向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
3、A
【解析】利用平行线间的距离公式计算即可
【详解】由平行线间的距离公式得
故选：A
4、D
【解析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论
【详解】解：，
，
∴是边上的一个三等分点
故选：D
【点睛】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件，属于基础题
5、B
【解析】利用向量共线定理、垂直数量积为0来综合判断.
【详解】A：当、方向相反且时，就可成立，A错误；
B：若，则、方向相反，故存在实数，使得，B正确；
C：若，则说明，不一定有，C错误；
D：若存在实数，使得，则，D错误.
故选：B
6、B
【解析】计算的值即可判断得解.
【详解】解：由题得，所以排除选项A,D.
,所以排除选项C.
故选：B
7、C
【解析】曲线的“优美点”个数，就是的函数关于原点对称的函数图象，与的图象的交点个数，求出的函数关于原点对称的函数解析式，与联立，解方程可得交点个数
【详解】曲线的“优美点”个数，
就是的函数关于原点对称的函数图象，与的图象的交点个数，
由可得，
关于原点对称的函数，，
联立和，
解得或，
则存在点和为“优美点”，
曲线的“优美点”个数为4，故选C
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和方程思想，属于难题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
8、B
【解析】判断f（x）与2 的大小，化简方程求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2＝2（x2﹣x1）得出a的值
【详解】由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1，，
当x＜0时，由f（x）＝2，即﹣2x＝2
得x2＝1﹣x2，即2x2＝1，x2，则x，
①当﹣1≤x时，有f（x）≥2，
原方程可化为f（x）+2f（x）﹣22ax﹣4＝0，
即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x，由﹣1
解得：0≤a≤22
②当x≤1时，f（x）＜2，原方程可化为42ax﹣4＝0，
化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x，
又0≤a≤22，∴0
∴x1，x2，x3＝0
由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得2（），
解得a（舍）或a
因此，所求实数a
故选B
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据分段函数的表达式结合绝对值的应用，确定三个根x1、x2、x3的值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大
9、D
【解析】由函数的定义域为，值域依次对各选项判断即可
【详解】解：由函数的定义域为，值域，
对于定义域为，值域，，错误；
对于的定义域为，值域，错误；
对于的定义域为，，值域，，错误；
对于的定义域为，值域，正确，
故选：
10、B
【解析】平行于底面的平面截圆锥可以得到一个小圆锥，利用它的底面与原圆锥的底面的面积之比得到相应的母线长之比，故可得截面分母线段长所成的两段长度之比.
【详解】设截面圆的半径为，原圆锥的底面半径为，则，所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为，故截面把圆锥母线段分成的两段比是.选B.
【点睛】在平面几何中，如果两个三角形相似，那么它们的面积之比为相似比的平方，类似地，在立体几何中，平行于底面的平面截圆锥所得的小圆锥与原来的圆锥的底面积之比为，体积之比为（分别为小圆锥的底面半径和原圆锥的底面半径）.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】令得，把代入函数的解析式得，即得解.
【详解】解：因为函数，其中，，
令得，把代入函数的解析式得，
所以函数 (且)的图像必经过点的坐标为.
故答案为：
12、（答案不唯一）
【解析】结合定义域与周期与奇偶性，写出符合要求的三角函数即可.
【详解】满足定义域为R，最小正周期，且为偶函数，符合要求.
故答案为：
13、 ①.##-0.5 ②.2
【解析】根据诱导公式计算即可求出；根据对数运算性质可得

【详解】由题意知，
；

故答案为：
14、 ①. ②.
【解析】当时得到，令，再利用定义法证明在上单调递减，从而得到，令，，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分别求出与的零点，根据恰有两个零点，即可求出的取值范围；
【详解】解：当时，令，，设且，则

因为且，所以，，所以，所以，所以在上单调递减，所以，令，，函数在定义域上单调递增，所以，所以的最小值为；
对于，令，即，解得，对于，令，即，解得或或，因为恰有两个零点，则和一定为的零点，不为的零点，所以，即；
故答案为：；；
15、
【解析】，所以，，故．填
16、
【解析】根据分段函数的单调性，列出式子，进行求解即可.
【详解】由题可知：函数在上是减函数
所以，即
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3；（2）.
【解析】（1）由即得；
（2）利用指数函数单调性即求.
【小问1详解】
∵函数，，
∴，
∴.
小问2详解】
由（1）知，
由，得
∴，即，
∴解集为.
18、2
【解析】直接利用指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.
【详解】化简

.
【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于中档题.指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）
19、（1）；
（2）见详解2.
【解析】（1）由可得，再求值.
（2）设，作差与零比较.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，，
，

【小问2详解】
设，则
，
，，，
所以，，
故在定义域上为增函数.
20、（1）；；
（2）.
【解析】(1)解不等式化简集合B，再利用交集、并集、补集的定义直接计算作答.
(2)由已知可得，再利用集合的包含关系列式计算作答.
【小问1详解】
解得：，则，而，
所以，或，.
【小问2详解】
，因，则，于是得，
所以实数a的取值范围是.
21、（1）当时，；当时，；；（2）安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短.
【解析】（1）由题意得，，利用作差法可比较出与的大小，然后可得的表达式；
（2）利用反比例函数的知识求出的最小值即可.
【详解】（1）由题意得，，
所以，.
所以当时，；
当时，，
所以完成订单所需时间.
（2）当时，为减函数，此时；
当时，为增函数，此时.
因为，
所以当时，取得最小值.
所以安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短.