2025-2026学年河北省衡水高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025-2026学年河北省衡水高一数学第一学期期末统考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，则（ ）
A.0 B.1
C.2 D.10
2．已知函数，若正数，，满足，则（）
A.
B.
C.
D.
3．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
4．已知的定义域为，则函数的定义域为
A. B.
C. D.
5．函数的零点所在区间为（）
A. B.
C. D.
6．已知函数的值域是（）
A. B.
C. D.
7．的值是
A. B.
C. D.
8．若，求（）
A. B.
C. D.
9．已知是定义在上的奇函数且单调递增，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的部分图象如图所示．若，且，则_____________

12．若直线经过点，且与斜率为的直线垂直，则直线的方程为__________
13．点关于直线的对称点的坐标为______.
14．函数的最小值为________
15．若“”是“”的必要条件，则的取值范围是________
16．已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示四棱锥中，底面，四边形中，，，，

求四棱锥的体积；
求证：平面；
在棱上是否存在点异于点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由
18．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）

(1)若,,求花坛的面积；
(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大？
19．已知函数是定义在上的奇函数
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并利用定义证明
20．已知函数为奇函数
（1）求实数k值；
（2）设，证明：函数在上是减函数；
（3）若函数，且在上只有一个零点，求实数m的取值范围
21．已知函数.
（1）当时，试判断并证明其单调性.
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据分段函数的解析式直接计算即可.
【详解】.
故选：B.
2、B
【解析】首先判断函数在上单调递增；然后根据，同时结合函数的单调性及放缩法即可证明选项B；通过举例说明可判断选项A，C，D.
【详解】因为，所以函数在上单调递增；
因为，，，均为正数，所以，
又，所以，
所以，所以，
又因为
，所以，选项B正确；
当时，满足，但不满足，故选项A错误；
当时，满足，但此时，不满足，故选项C错误；
当时，满足，但此时，不满足，故选项D错误.
故选：B.
3、A
【解析】令幂函数且过 (2,)，即有，进而可求的值
【详解】令，由图象过(2,)
∴，可得
故
∴
故选：A
【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题
4、B
【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B
考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域
5、B
【解析】由零点存在定理判定可得答案.
【详解】因为在上单调递减，
且，，
所以的零点所在区间为
故选：B
6、B
【解析】由于，进而得，即函数的值域是
【详解】解：因为,
所以
所以函数的值域是
故选：B
7、B
【解析】利用诱导公式求解.
【详解】解：由诱导公式得，
故选：B.
8、A
【解析】根据，求得，再利用指数幂及对数的运算即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
所以.
故选：A.
9、A
【解析】根据函数的奇偶性，把不等式转化为，再结合函数的单调性，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，所以，
则不等式，可得，
又因为单调递增，所以，解得，
故选：.
【点睛】求解函数不等式的方法：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
10、C
【解析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果.
【详解】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，
得，由得，
所以，故函数在之间至少存在一个零点，
由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点，
所以函数在之间至少存在3个零点.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】根据函数的图象求出该函数的解析式，结合图象可知，点、关于直线对称，进而得出.
【详解】由图象可知， ，即，
则，
此时，，
由于，
所以，即.
，且，
由图象可知，，
则.
故答案为：.
12、
【解析】与斜率为的直线垂直，故得到直线斜率为又因为直线经过点，由点斜式故写出直线方程，化简为一般式：
故答案为．
13、
【解析】设点关于直线的对称点为，由垂直的斜率关系，
和线段的中点在直线上列出方程组即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
由对称性知，直线与线段垂直，所以，
所以，又线段的中点在直线上，
即，所以，
由，
所以点关于直线的对称点的坐标为：.
故答案为：.
14、##
【解析】用辅助角公式将函数整理成的形式，即可求出最小值
【详解】，，所以最小值为
故答案为：
15、
【解析】根据题意解得：，得出，由此可得出实数的取值范围.
【详解】根据题意解得：，
由于“”是“”必要条件，则，.
因此，实数的取值范围是：.
故答案为：.
16、
【解析】设，作出函数的图象，可得，利用对称性可得，由可求得，进而可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示：

设，
当时，，
由图象可知，当时，直线与函数的图象有五个交点，
且点、关于直线对称，可得，同理可得，
由，可求得，
所以，
.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）4；（2）见解析；（3）不存在.
【解析】利用四边形是直角梯形，求出，结合底面，利用棱锥的体积公式求解即可求；先证明，，结合，利用线面垂直的判定定理可得平面；用反证法证明，假设存在点异于点使得平面证明平面平面，与平面与平面相交相矛盾，从而可得结论
【详解】显然四边形ABCD是直角梯形，

又底面

平面ABCD，平面ABCD，
在直角梯形ABCD中，，
，，即
又，
平面；
不存在，下面用反证法进行证明
假设存在点异于点使得平面PAD
，且平面PAD，
平面PAD，
平面PAD
又，
平面平面PAD
而平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力，逻辑推理能力．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
18、（1）；（2）当线段的长为5米时，花坛的面积最大.
【解析】(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；
(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD的长度.
【详解】(1)设花坛面积为S平方米.

答：花坛的面积为；
(2) 圆弧长为米，圆弧的长为米，线段的长为米
由题意知，
即 * ，
，
由*式知，，
记则
所以=
当时，取得最大值，即时，花坛的面积最大，
答：当线段的长为5米时，花坛的面积最大.
【点睛】本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.
19、 (1)；(2)为减函数；证明见解析
【解析】(1)根据奇函数的定义，即可求出；
(2)利用定义证明单调性
【详解】解：(1)，
由得，
解得
另解：由，令得代入得：

验证，当时，，满足题意

(2)为减函数
证明：由(1)知，
在上任取两不相等的实数，，且，
，
由为上的增函数，，，，，
则，
函数为减函数
【点睛】定义法证明函数单调性的步骤：
(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)下结论
20、（1）－1； （2）见解析；
（3）.
【解析】(1)由于为奇函数，可得，即可得出；
(2)利用对数函数的单调性和不等式的性质通过作差即可得出；
(3)利用(2)函数的单调性、指数函数的单调性，以及零点存在性定理即可得出m取值范围
【小问1详解】
为奇函数，
，
即，
，整理得，
使无意义而舍去)
【小问2详解】
由(1)，故，
设，
(a)(b)
时，，，，
(a)(b)，
在上时减函数；
【小问3详解】
由(2)知，h(x)在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在递增，
又∵y＝在R上单调递增，
在递增，
在区间上只有一个零点，
(4)(5)≤0，解得.
21、（1）单调递增，证明见解析；
（2）.
【解析】（1）利用单调性定义证明的单调性；
（2）根据奇偶性定义判断奇偶性，结合（1）的区间单调性确定上的单调性，进而求的值域，令将问题转化为求参数范围.
【小问1详解】
在上单调递增，证明如下：
，且，则，
由得：，，
所以，即在上的单调递增
【小问2详解】
由题设，使，
又，即是偶函数，
结合（1）知：在单调递减，在上单调递增，又，
所以，即，
令，则使，可得，
令在单调递增，故；
所以，即.