云南省玉溪市易门一中2026届高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

云南省玉溪市易门一中2026届高二数学第一学期期末教学质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C：（）的长轴的长为4，焦距为2，则C的方程为（）
A B.
C. D.
2．等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则　　
A.12 B.10
C.5 D.
3．“x>1”是“x>0”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过双曲线上一点作轴的垂线足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
5．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：

①正方体在每个顶点的曲率均为；
②任意四棱锥总曲率均为；
③若某类多面体的顶点数，棱数，面数满足，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确结论的序号是（）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
6．已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
7．已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8．已知，命题“若，则，全为0”的否命题是（ ）
A.若，则，全不为0. B.若，不全为0，则.
C.若，则，不全为0. D.若，则，全不为0.
9．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是 （ ）
A. B.
C. D.
10．若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A. B.
C. D.
12．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知P是椭圆的上顶点，过原点的直线l交C于A，B两点，若的面积为，则l的斜率为____________
14．抛物线的焦点到准线的距离等于__________.
15．已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为__________.
16．四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥体积为_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线(的斜率存在)交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由.
18．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，过点作交于点.求证：

（1）平面；
（2）平面.
19．（12分）已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程
20．（12分）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的值域
21．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求当的面积取得最大值时的值
22．（10分）甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为，求：
（1）甲、乙恰好有一人击中的概率；
（2）目标被击中的概率
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由题设可得求出椭圆参数，即可得方程.
【详解】由题设，知：，可得，则，
∴C的方程为.
故选：D.
2、C
【解析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出
【详解】向量＝（，），＝（，），且•＝4，
∴+＝4，
由等比数列的性质可得：＝……＝＝＝2，
则log2（•）＝
故选C
【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题
3、A
【解析】根据充分、必要条件间的推出关系，判断“x>1”与“x>0”的关系.
【详解】“x>1”，则“x>0”，反之不成立.
∴“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.
故选：A.
4、A
【解析】根据条件可知四边形为正方形，从而根据边长相等，列式求双曲线的离心率.
【详解】不妨设在第一象限，则，根据题意，四边形为正方形，于是，即，化简得，解得（负值舍去）.
故选：A.
5、D
【解析】根据曲率的定义依次判断即可.
【详解】①根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为，故①正确；
②由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为，故②正确；
③设每个面记为边形，
则所有的面角和为，
根据定义可得该类多面体的总曲率为常数，故③正确.
故选：D.
6、C
【解析】建立空间直角坐标系，设直线与所成角为，由求解.
【详解】∵长方体中，，，
∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
则，，，，
所以，，
设直线与所成角为，
则，
∴直线和夹角余弦值是.
故选：C.
7、D
【解析】由题设易知四边形为矩形，可得，结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.
【详解】由椭圆的对称性知：，而，
又，即四边形为矩形，
所以，则且M在第一象限，整理得，
所以，又即，
综上，，整理得，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性及矩形性质可得，由已知条件得到，进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.
8、C
【解析】根据四种命题的关系求解.
【详解】因为否命题是否定原命题的条件和结论，
所以命题“若，则，全为0”的否命题是：
若，则，不全为0，
故选：C
9、C
【解析】根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.
【详解】，
故选：C.
10、B
【解析】首先求出两平行直线间的距离，即可求出圆的半径，设圆心坐标为，，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出的值，即可得解；
【详解】解：因为直线：和：的距离，由圆C与直线：和：都相切，所以圆的半径为，又圆心在轴上，设圆心坐标为，，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或（舍去），所以圆心坐标为，故圆的方程为；
故选：B
11、D
【解析】原不等式等价于，根据的图象判断函数的单调性，可得和的解集，再分情况或解不等式即可求解.
【详解】由函数的图象可知：
在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，；当时，；
由可得，
所以或，
即或，解得：或，
所以原不等式的解集为：，
故选：D.
12、B
【解析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设出直线AB的方程，联立椭圆方程得到A点横坐标满足，再利用，解方程即可得到答案.
【详解】设直线AB的方程为：，，
由，得，
所以，又
所以，解得.
故答案为：
14、
【解析】先将抛物线方程，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可.
【详解】因为抛物线方程是，
转化为标准方程得：，
所以抛物线开口方向向右，焦点坐标 准线方程为：，
所以焦点到准线的距离等于.
故答案为：
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
15、或10.
【解析】对参数a进行讨论，考虑曲线是椭圆和双曲线的情况，进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.
【详解】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；
若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16，所以，舍去；
若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.
故答案为：或10.
16、
【解析】计算，，得到底面，计算，，计算体积得到答案.
【详解】由，，所以底面，
，
故，
体积为.
故答案为：16.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）是定值，定值为4
【解析】（1）根据正三角形性质与面积可求得即可求得方程；
（2）当直线斜率不为0时，设其方程代入椭圆方程利用韦达定理求得两根关系式，进而求得的表达式，最后求比值即可；当直线斜率为0时直接求解即可
【详解】（1）为正三角形，，可得，
且，∴椭圆的方程为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线斜率不为0时，设其方程为，且，
联立，消去得，
则，且，
∴弦的中点的坐标为，
则弦的垂直平分线为，
令，得，，
又
，
；
②当直线斜率为0时，则，，则.
综合①②得是定值且为4
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）连结、，交于点，连结，通过即可证明；
（2）通过， 可证平面，即得，进而通过平面得，结合即证.
详解】证明：（1）连结、，交于点，连结，

底面正方形，∴是中点，
点是的中点，.
平面， 平面，
∴平面.
（2），点是的中点，.
底面是正方形，侧棱底面，
∴， ，且 ，
∴平面，∴，
又，∴平面，
∴，
，，
平面.
【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.
19、；
【解析】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.
【详解】解：过的两点式方程为，整理得
即边所在直线的方程为，
边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，
由中点坐标公式可得点M的坐标为，即
过，的直线的方程为，即
整理得
所以边上中线所在直线的方程为
20、（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可
【详解】解：（1）由题意得，，令，得，
令，得或，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）易知，
因为
,
所以
（或由，可得）,
又当时，，
所以函数在区间上的值域为
【点睛】确定函数单调区间的步骤：
第一步，确定函数的定义域；
第二步，求；
第三步，解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间
21、（1）；（2）.
【解析】（1）由短轴长得，由离心率处也的关系，从而可求得，得椭圆方程；
（2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式得弦长，求出原点到直线的距离，得出三角形面积为的函数，用换元法，基本不等式求得最大值，得值
【详解】解：（1）由题意得，，
所以，，椭圆的方程为
（2）直线的方程为，代入椭圆的方程，
整理得
由题意，，
设，
则，
弦长，
点到直线的距离，
所以的面积，
令，则，
当且仅当时取等号．所以，
对应的，可解得，满足题意
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；
（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案.
【小问1详解】
设甲、乙分别击中目标为事件，，易知，相互独立且，，甲、乙恰好有一人击中的概率为.
【小问2详解】
目标被击中的概率为.