2025年河北省石家庄市晋州一中数学高一上期末监测试题含解析.doc

2025年河北省石家庄市晋州一中数学高一上期末监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，则集合
A. B.
C. D.
2．下列函数，表示相同函数的是（）
A.， B.，
C.， D.，
3．函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为（ ）
A.-8 B.-9
C. D.
4．函数的值域为（ ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，1）
C.（1，＋∞） D.（0，1）
5．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
x
1.0
2.0
4.0
8.0
y
0.01
0.99
2.02
3
现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（ ）
A. B.
C. D.
6．如图是某班名学生身高的频率分布直方图，那么该班身高在区间内的学生人数为

A. B.
C. D.
7．下列说法正确的有（）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8．已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
9．若函数y=|x|（x-1）的图象与直线y=2（x-t）有且只有2个公共点，则实数t的所有取值之和为（　　）
A.2 B.
C.1 D.
10．已知直线与直线平行且与圆：相切,则直线的方程是
A. B.或
C. D.或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数，其中,,的图象如图所示，求的解析式____

12．函数是奇函数，则实数__________.
13．已知幂函数的图象经过点，且满足条件，则实数的取值范围是___
14．已知扇形的周长是2022，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是___________.
15．已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________
16．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年
（1）求森林面积的年增长率；
（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据：，，，，，，）
（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数）
18．已知，，求以及的值
19．已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围；
20．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6点—8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7点—9点之间.
问：离家前不能看到报纸（称事件）的概率是多少？（须有过程）
21．已知不等式.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，不等式 总成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合，利用并集的定义求解即可.
【详解】由一元二次方程的解法化简集合，
或，
，
或，故选B.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.
2、B
【解析】由两个函数相同的定义，定义域相同且对应法则相同，依次判断即可
【详解】选项A，一个为指数运算、一个为对数运算，对应法则不同，因此不为相同函数；
选项B，，为相同函数；
选项C，函数定义域为，函数定义域为，因此不为相同函数；
选项D，与函数对应法则不同，因此不为相同函数
故选：B
3、A
【解析】令，可得点，设，把代入可得，从而可得的值.
【详解】∵，令，得，
∴，
∴的图象恒过点，
设，把代入得，
∴，∴，∴.
故选：A
4、D
【解析】将函数解析式变形为，再根据指数函数的值域可得结果.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以函数的值域为.
故选：D
5、A
【解析】由表中数据的增大趋势和函数的单调性判断可得选项.
【详解】解：由表中的数据看出：y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，
而函数，在的增大幅度越来越大，函数呈线性增大，只有函数与已知数据的增大趋势接近，
故选：A.
6、C
【解析】身高在区间内的频率为 人数为 ，选C.
点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.
7、A
【解析】对于①：利用棱台的定义进行判断；
对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.即可判断；
对于③：举反例：底面的菱形，各侧面都是正方形的四棱柱不是正方体.即可判断；
对于④：利用圆锥的性质直接判断.
【详解】对于①：棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的.而两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，把梯形的腰延长后，有可能不交于一点，就不是棱台.故①错误；
对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.故②错误；
对于③：各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方体.故③错误；
对于④：圆锥的轴截面是等腰三角形.是正确的.故④正确.
故选：A
8、B
【解析】由在上最大值为，讨论可求出，从而，若有4个零点，则函数与有4个交点，画出图象，结合图象求解即可
【详解】若，则函数在上单调递增，
所以的最小值为，不合题意，则，
要使函数在上的最大值为
如果，即，则，解得，不合题意；
若，即，则解得即，
则
如图所示，若有4个零点，则函数与有4个交点，
只有函数的图象开口向上，即
当与）有一个交点时，方程有一个根，
得，此时函数有二个不同的零点，
要使函数有四个不同的零点，与有两个交点，则抛物线的图象开口要比的图象开口大，可得，
所以，即实数a的取值范围为
故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出的值，然后将问题转化为函数与有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题
9、C
【解析】可直接根据题意转化为方程有两个根，然后利用分类讨论思想去掉绝对值再利用判别式即可求得各个t的值
【详解】由题意得方程有两个不等实根，
当方程有两个非负根时，
令 时，则方程为，整理得
，解得；
当时，
，解得，故不满足满足题意；
当方程有一个正跟一个负根时，
当时，，
，解得，
当时，方程为，
，解得；
当方程有两个负根时，
令，则方程为，
解得，
当，
，解得，不满足题意
综上，t的取值为 和，
因此t的所有取值之和为1，故选C
【点睛】本题是在二次函数的基础上加了绝对值，所以首先需解决绝对值，关于去绝对值直接用分类讨论思想即可；
关于二次函数根的分布需结合对称轴，判别式，进而判断，必要时可结合进行判断
10、D
【解析】圆的圆心为，半径为，因为直线，所以，设直线的方程为，由题意得或
所以，直线的方程或

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】首先根据函数的最高点与最低点求出A，b，然后由图像求出函数周期从而计算出，再由函数过点求出.
【详解】，
，，解得，
则，因为函数过点，
所以，，解得
因为，所以， .
故答案为：
【点睛】本题考查由图像确定正弦型函数的解析式，第一步通过图像的最值确定A，b的值，第二步通过周期确定的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及
12、
【解析】根据给定条件利用奇函数的定义计算作答.
【详解】因函数是奇函数，其定义域为R，
则对，，即，整理得：，
而不恒为0，于得，
所以实数.
故答案为：
13、
【解析】首先求得函数的解析式，然后求解实数的取值范围即可.
【详解】设幂函数的解析式为，由题意可得：，
即幂函数的解析式为：，则即：，
据此有：，求解不等式组可得实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查幂函数的定义及其应用，属于基础题.
14、2
【解析】设扇形的弧长为，半径为，则，将面积最值转化为一元二次函数的最值；
【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，
，
当时，扇形面积最大时，
此时，
故答案为：
15、##
【解析】根据幂函数的定义设函数解析式，将点的坐标代入求解即可.
【详解】由题意知，
设幂函数的解析式为为常数)，
则，解得，
所以.
故答案为：
16、（1）；
（2）5年；（3）17年.
【解析】（1）设森林面积的年增长率为，则，解出，即可求解；
（2）设该地已经植树造林年，则，解出的值，即可求解；
（3）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，再结合对数函数的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设森林面积的年增长率为，则，解得
【小问2详解】
解：设该地已经植树造林年，则，
，解得，
故该地已经植树造林5年
【小问3详解】
解：设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，
则，，
，
，即取17，
故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林17年

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）应选模型为，理由见解析；
（2）
【解析】（1）根据增长速度可知应选，根据已知数据可构造方程组求得，进而得到函数模型；
（2）根据函数模型可直接构造不等式，结合参考数据计算可得，由此可得结论.
小问1详解】
的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，
应选模型为；
则，解得：，，又，
函数模型为；
【小问2详解】
由题意得：，即，，
，，
至少经过培养基中菌落面积能超过.
18、
【解析】根据同角三角函数，求出，；再利用两角和差公式求解.
【详解】，
，

【点睛】本题考查同角三角函数和两角和差公式，解决此类问题要注意在求解同角三角函数值时，角所处的范围会影响到函数值的正负.
19、（1）,(2)
【解析】（1）计算得到，，计算得到答案.
（2）所以，讨论和两种情况计算得到答案.
【详解】（1）因为，所以，
因为，
所以
（2）因为，所以，
当时，，即；
当时，，即.
综上所述：a的取值范围为.
【点睛】本题考查了集合的运算，根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集是容易发生的错误.
20、.
【解析】设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}一个正方形区域，求出其面积，事件A表示小王离家前不能看到报纸，所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X＞Y} 求出其面积，根据几何概型的概率公式解之即可；
试题解析：

如图，设送报人到达的时间为，小王离家去工作的时间为.（，）可以看成平面中的点，
试验的全部结果所构成的区域为一个正方形区域，面积为，
事件表示小王离家前不能看到报纸，
所构成的区域为即图中的阴影部分，面积为.
这是一个几何概型，所以.
答：小王离家前不能看到报纸的概率是0.125.
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率
21、（1）；（2）.
【解析】（1）利用对数函数的单调性以及真数大于零得出关于实数的不等式组，解出即可；
（2）令，利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由已知可得：，因此，原不等式解集为；
（2）令，则原问题等价，
且，令，
可得，
当时，即当时，函数取得最小值，即，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了指数不等式恒成立问题，将问题在转化为二次不等式在区间上恒成立是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.