云南省楚雄市古城中学2026届数学高一上期末达标测试试题含解析.doc

云南省楚雄市古城中学2026届数学高一上期末达标测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，则（）
A B.
C. D.{1，2，3}
2．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）

A. B.
C. D.
3．已知，则的最小值为（）
A. B.2
C. D.4
4．函数的最大值为
A.2 B.
C. D.4
5．如图，在平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

A. B.
C. D.
6．函数，的最小正周期是（）
A. B.
C. D.
7．已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
8．函数的零点所在的区间为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数是定义在R上的减函数，实数a，b，c满足，且，若是函数的一个零点，则下列结论中一定不正确的是（）
A. B.
C. D.
10．使得成立的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的值域是____.
12．已知，则__________
13．已知函数若，则实数___________.
14．命题“，”的否定是_________.
15．若函数满足以下三个条件：①定义域为R且函数图象连续不断；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个符合要求的函数___________.
16．函数的最大值是____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，，当时，恒有
（1）求的表达式及定义域；
（2）若方程有解，求实数的取值范围；
（3）若方程的解集为，求实数的取值范围
18．设，函数
（1）若，判断并证明函数的单调性；
（2）若，函数在区间（）上的取值范围是（），求的范围
19．旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元.旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过人时，飞机票每张元；若旅行团的人数多于人时，则予以优惠，每多人，每个人的机票费减少元，但旅行团的人数最多不超过人.设旅行团的人数为人，飞机票价格元，旅行社的利润为元.
（1）写出每张飞机票价格元与旅行团人数之间的函数关系式；
（2）当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.
20．人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系．指数模型是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况．其中x是圈层序号，将圈层序号是x的区域称为“x环”（时，1环表示距离城市中心0～3公里的圈层；时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）；是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里），为x环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b为常数；．下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：
年份

b
2006
2.2
0.13
2016
2.3
0.10
（1）求该市2006年2环处的人口密度（参考数据：，结果保留一位小数）；
（2）2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，求该环是这个城市的多少环．（参考数据：）
21．已知函数.
（1）判断函数f (x) 的奇偶性；
（2）讨论f (x) 的单调性；
（3）解不等式 .
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用并集概念进行计算.
【详解】.
故选：A
2、C
【解析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出.
【详解】由题意可得：，且，
所以，
所以，
故选：C
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.
3、C
【解析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：C
4、B
【解析】根据两角和的正弦公式得到函数的解析式，结合函数的性质得到结果.
【详解】函数根据两角和的正弦公式得到，因为x根据正弦函数的性质得到最大值为.
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和的正弦公式的应用，以及函数的图像的性质的应用，题型较为基础.
5、B
【解析】由题意，的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积
【详解】解：由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，
所以的中点就是球心，所以，球的半径为：，
所以球的表面积为：
故选B
【点睛】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力
6、C
【解析】利用正弦型函数周期公式直接计算作答.
【详解】函数的最小正周期.
故选：C
7、A
【解析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得：，则.
故选：A.
8、C
【解析】分析函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.
【详解】函数的定义域为，且在上单调递增，
而，，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：C
9、B
【解析】根据函数的单调性可得，再分和两种情况讨论，结合零点的存在性定理即可得出结论.
【详解】解：∵是定义在R上的减函数，，
∴，
∵，
∴或，，，
当时，，；
当，，时，；
∴是不可能的.
故选：B
10、C
【解析】由不等式、正弦函数、指数函数、对数函数的性质，结合充分、必要性的定义判断选项条件与已知条件的关系.
【详解】A：不一定有不成立，而有成立，故为必要不充分条件；
B：不一定成立，而也不一定有，故为既不充分也不必要条件；
C：必有成立，当不一定有成立，故为充分不必要条件；
D：必有成立，同时必有，故为充要条件.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】由余弦函数的有界性求解即可
【详解】因为，所以，
所以，故函数的值域为，
故答案为：
12、
【解析】将题干中的两个等式先平方再相加，利用两角差的余弦公式可求得结果.
【详解】由，
，
两式相加有，
可得
故答案为：.
13、2
【解析】先计算，再计算即得解.
【详解】解：，所以.
故答案为：2
14、，##
【解析】根据全称量词命题的否定即可得出结果.
【详解】由题意知，
命题“”的否定为：
.
故答案为：.
15、（答案不止一个）
【解析】根据偶函数和零点的定义进行求解即可.
详解】函数符合题目要求，理由如下：
该函数显然满足①；
当时，，所以有，
当时，，所以有，因此该函数是偶函数，所以满足②
当时，，或，
当时，，或舍去，所以该函数有3个零点，满足③，
故答案为：
16、
【解析】把函数化为的形式，然后结合辅助角公式可得
【详解】由已知，
令，，，则，
所以
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）；（3）
【解析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式；
（2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围.
（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程
的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.
【详解】（1）∵当时，
，
即，
即，
整理得恒成立，∴，
又，即，从而
∴，
∵，∴，或，
∴的定义域为
（2）方程有解，即，
∴，∴，∴，
∴，或，
解得或，
∴实数的取值范围
（3）方程的解集为，
∴，∴，
∴，
方程的解集为，故有两种情况：
①方程无解，即，得，
②方程有解，
两根均在内，，
则解得
综合①②得实数的取值范围是
【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.
18、（1）在上递增，证明见解析.
（2）
【解析】（1）根据函数单调性的定义计算的符号，从而判断出的单调性.
（2）对进行分类讨论，结合一元二次方程根的分布来求得的范围.
【小问1详解】
，
当时，的定义域为，
在上递增，证明如下：
任取，
由于，所以，所以在上递增.
【小问2详解】
由于，所以，，
由知，所以.
由于，所以或.
当时，由（1）可知在上递增.
所以，从而①有两个不同的实数根，
令，①可化为，
其中，
所以，，
，解得.
当时，函数的定义域为，
函数在上递减.
若，则，于是，这与矛盾，故舍去.
所以，则，
于是，
两式相减并化简得，由于，
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】函数在区间上单调，则其值域和单调性有关，若在区间上递增，则值域为；若在区间上递减，则值域为.
19、（1）；（2）当旅游团人数为或时，旅行社可获得最大利润为元.
【解析】（1）讨论和两种情况，分别计算得到答案.
（2），分别计算最值得到答案.
【详解】（1）依题意得，当时，.
当时，；
∴
（2）设利润为，则.
当且时，，
当且时，，其对称轴为
因为，所以当或时，.
故当旅游团人数为或时，旅行社可获得最大利润为元.
【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.
20、（1）1.7（2）4
【解析】（2）根据表中数据，由求解；
（2）根据2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，由求解.
【小问1详解】
解：由表中数据得：；
【小问2详解】
因为2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，
所以，即，
所以，解得，
所以该环是这个城市的4环.
21、（1）奇函数（2）在上单调递增
（3）
【解析】（1）依据奇偶函数定义去判断即可；
（2）以定义法去证明函数的单调性；
（3）把抽象不等式转化为整式不等式再去求解即可.
【小问1详解】
由得，所以函数f (x)的定义域为，关于原点对称
又因为，
故函数为奇函数
【小问2详解】
设任意，，则

又，
则，则
，即
故在上单调递增
【小问3详解】
由（2）知，函数在上单调递增，
所以由，可得，
解得，所以不等式的解集为