重庆市渝东六校2025年数学高二第一学期期末检测试题含解析.doc

重庆市渝东六校2025年数学高二第一学期期末检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于A，B两点，则的最小值为（）
A. B.2
C.4 D.
2．已知数列满足，则满足的的最大取值为（）
A.6 B.7
C.8 D.9
3．已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2﹣＝1的离心率是（　　）
A.或 B.
C. D.或
4． “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）
A. B.
C. D.
5．已知命题“若，则”，命题“若，则”，则下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
6．已知对任意实数，有，且时，则时
A. B.
C. D.
7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
8．沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）

A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B.这一年的总利润超过400万元
C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.7月份的利润最大
9．用数学归纳法证明“”时，由假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）
A. B.
C. D.
10．函数的导函数为，若已知图象如图，则下列说法正确的是（）

A.存在极大值点 B.在单调递增
C.一定有最小值 D.不等式一定有解
11．命题p：存在一个实数﹐它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是（）
A.：任意实数，它的绝对值是正数，为假命题
B.：任意实数，它的绝对值不是正数，为假命题
C.：存在一个实数，它的绝对值是正数，为真命题
D.：存在一个实数，它的绝对值是负数，为真命题
12．如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．从编号为01，02，…，60的60个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为02，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是_________
14．函数的单调递减区间是____
15．已知双曲线C：的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为__________
16．“五经”是《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》的合称，贵为中国文化经典著作，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.某校计划开展“五经”经典诵读比赛活动，某班有、两位同学参赛，比赛时每位同学从这本书中随机抽取本选择其中的内容诵读，则、两位同学抽到同一本书的概率为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点、分别是椭圆C：）的左、右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
19．（12分）已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且.
（1）求的通项公式及的值；
（2）设数列的通项，求证是等比数列，并求的前项和.
20．（12分）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，为的中点，为的中点

（1）证明：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值
21．（12分）为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：

（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间内的概率；
（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；
22．（10分）已知动点M到定点和的距离之和为4
（1）求动点轨迹的方程；
（2）若直线交椭圆于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据将最小值问题转化为d取得最大值问题，然后结合图形可解.
【详解】将，变形为，故直线恒过点，
圆心，半径，已知点P在圆内，
过点作直线与圆相交于A，两点，记圆心到直线的距离为d，则，所以当d取得最大值时，有最小值，
结合图形易知，当直线与线段垂直的时候，d取得最大值，即取得最小值，
此时，
所以.
故选：A.

2、B
【解析】首先地推公式变形，得，，求得数列的通项公式后，再解不等式.
【详解】因为，两边取倒数，得，
整理为：，，
所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，
，，
因为，即，得，
解得：，,
所以的最大值是7.
故选：B
3、A
【解析】利用等比数列求出m，然后求解圆锥曲线的离心率即可
【详解】解：m是2与8的等比中项，可得m＝±4，
当m=4时,圆锥曲线为双曲线x2﹣＝1, 它的离心率为：,
当m=-4时，圆锥曲线x2﹣＝1为椭圆，离心率：，
故选：A
4、C
【解析】由题设且，应用不等式求的范围，即可确定项数.
【详解】由题设，且，
所以，可得且.
所以此数列的项数为.
故选：C
5、D
【解析】利用指数函数的单调性可判断命题的真假，利用特殊值法可判断命题的真假，结合复合命题的真假可判断出各选项中命题的真假.
【详解】对于命题，由于函数为上的增函数，当时，，命题为真命题；
对于命题，若，取，，则，命题为假命题.
所以，、、均为假命题，为真命题.
故选：D.
【点睛】本题考查简单命题和复合命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.
6、B
【解析】，所以是奇函数，关于原点对称，是偶函数，关于y轴对称，时则都是增函数，由对称性可知时递增，递减，所以
考点：函数奇偶性单调性
7、D
【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴取值范围是．故选D
考点：利用导数研究函数的单调性.
8、B
【解析】根据图形和中位数、众数的概念依次判断选项即可.
【详解】A：由图可知，月收入的最大值为90，最小值为30，故A正确；
B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，
所以总利润为20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(万元)，故B错误；
C：这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确；
D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确.
故选：B
9、C
【解析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可
【详解】从到成立时，左边增加的项为，
因此增加的项数是，
故选：C
10、C
【解析】根据图象可得的符号，从而可得的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.
【详解】由所给的图象，可得当时，，当时，，
当时，，当时，，
可得在递减，递增；在递减，在递增，B错误，
且知，所以存在极小值和，无极大值，A错误，
同时无论是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.
故选：C.
11、A
【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断，再利用特殊值判断命题的真假；
【详解】解：因为命题p“存在一个实数﹐它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其否定为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为，所以为假命题；
故选：A
12、D
【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.
【详解】如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、56
【解析】根据系统抽样的定义得到编号之间的关系，即可得到结论.
【详解】由已知样本中的前两个编号分别为02，08，
则样本数据间距为，则样本容量为，
则对应的号码数，
则当时，x取得最大值为56
故答案为:56
14、
【解析】求导，根据可得答案.
【详解】由题意，可得，
令，即，解得，即函数的递减区间为.
故答案为：.
【点睛】本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题.
15、
【解析】根据双曲线的定义由焦点坐标求出，即可得到双曲线方程，从而得到其渐近线方程；
【详解】解：因为双曲线C：的一个焦点坐标为，即，，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线为；
故答案为：
16、##
【解析】计算出、两位同学各随机抽出一本书的结果种数，以及、两位同学抽到同一本书的结果种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】、两位同学抽到的结果都有种，
由分步乘法计数原理可知，、两位同学各随机抽出一本书，共有种结果，
而、两位同学抽到同一本书的结果有种，故所求概率为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）3
【解析】（1）根据焦点三角形的性质可求出，从而可得标准方程,
（2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用公式表示三角形面积，从而可求面积的最大值.
小问1详解】
△PF1F2面积达到最大时为椭圆的上顶点或下顶点，
而此时∠PF1F2=，故面积最大时为等边三角形，
故，因面积的最大值为，故，
故，
故椭圆的标准方程为：.
【小问2详解】
设，则由可得，
此时恒成立.
而，
到的距离为,
故的面积，
令，设，则，
故在上为增函数，故即的最大值为3.
18、（1）
（2）是，证明见解析
【解析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求解；
（2）根据题意分别设出直线MA、MB，与椭圆联立后得到相关点的坐标，再通过斜率公式计算即可证明.
【小问1详解】
由，得，所以a2 =9b2①，
又椭圆过点，则②，
由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为
【小问2详解】
设直线MA的斜率为k，点， 因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.
联立直线MA与椭圆方程，得
整理，得，
所以，同理可得，
所以，
又

所以为定值.
19、（1），
（2）证明见解析，
【解析】(1)直接利用等差中项的应用求出的值，进一步求出数列的通项公式和的值；
(2)利用等比数列的定义即可证明数列为等比数列，进一步求出数列的和.
【小问1详解】
等差数列的前三项依次为，4，，
∴，解得；
故首项为2，公差为2，
故，
前项和为，且，整理得，
解得或－11(负值舍去).
∴，k＝10.
【小问2详解】
由(1)得：，
故(常数)，故数列是等比数列；
∴.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取的中点，连接交于，连接，，由平面几何得，再根据线面平行的判定可得证；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得结果.
【小问1详解】
取的中点，连接交于，连接，
在三棱柱中，为的中点，，
为的中点，且，且，
四边形为平行四边形，
又平面，平面，平面；
【小问2详解】
平面，，平面，
，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，则即
取，则，，
又是平面的一个法向量，
，
故平面和平面夹角的余弦值为
21、（1）
（2）平均数为；中位数为.
【解析】（1）直接根据概率和为1计算得到答案.
（2）根据平均数和中位数的定义直接计算得到答案.
【小问1详解】
该居民收入在区间内的概率为：

【小问2详解】
居民月收入的平均数为：
.
第一组概率为，第二组概率为，第三组概率为，
设居民月收入的中位数为，则，解得.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用椭圆的定义即求；
（2）由直线方程与椭圆方程联立，可解得点，再利用三角形面积公式即求.
【小问1详解】
∵动点M到定点和的距离之和为4，
∴动点M的轨迹是以和为焦点的椭圆，可设方程为，
则，
故动点轨迹的方程为；
【小问2详解】
由可得，
∴或，
∴，又O是坐标原点，

∴的面积为.