甘肃省武威十八中2025年数学高二第一学期期末检测试题含解析.doc

甘肃省武威十八中2025年数学高二第一学期期末检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则的形状为（）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
2． “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第n项，则的值为（）

A.1225 B.1275
C.1326 D.1362
3．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）
A.或 B.或
C. D.
5．已知关于x的不等式的解集为空集，则的最小值为（ ）
A. B.2
C. D.4
6．设函数，，，则（）
A. B.
C. D.
7．已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且，则的面积等于（ ）
A.6 B.
C. D.
8．在等比数列中，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
9．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2)=2, ，则f(x)＞x的解集是（ ）
A. B.
C. D.
11．若抛物线的焦点与椭圆的下焦点重合，则m的值为（）
A.4 B.2
C. D.
12．已如双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．教育部门对某校学生的阅读素养进行调研，在该校随机抽取了100 名学生进 行百分制检测，现将所得的成绩按照 ，分成 6 组，并根据所得数据作出了频率分布直方图 (如图所示)，则成绩在这组的学生人数是________.

14．椭圆的离心率是______
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上的点P满足轴，，则该椭圆的离心率为___________
16．已知正方体的棱长为6，E为棱的中点，F为棱上的点，且，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列为等差数列，公差，前项和为，，且成等比数列
（1）求数列的通项公式
（2）设，求数列的前项和
18．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2

（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值
19．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点为椭圆C上一点
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，求证：直线MN的斜率为定值
20．（12分）已知点，圆
（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆相交于A，两点，弦的长为，求的值
21．（12分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，成等比数列且满足________.请在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22．（10分）如图，在四棱锥中，底面四边形为角梯形，，，，O为的中点，，.

（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】直接利用正弦定理以及已知条件，求出、、的关系，即可判断三角形的形状
【详解】解：在中，已知，，，分别为角，，的对边），
由正弦定理可知：，
所以，解得，所以为等边三角形
故选：
【点睛】本题考查三角形的形状的判断，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题
2、B
【解析】观察前4项可得，从而可求得结果
【详解】由题意可得，
……，
观察规律可得，
所以，
故选：B
3、D
【解析】先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.
【详解】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，

由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，
∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件，进而即可得到动点满足条件的图形，问题即可解决.
4、B
【解析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解.
【详解】由可得：，
由可得，所以直线：过定点，
作出图象如图所示：

，，
若直线与线段相交，则或，
所以实数的取值范围是或，
故选：B
5、D
【解析】根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零，根的判别式小于零，可得出，再将化为，由和均值不等式可求得最小值.
【详解】由题意可得：，，可以得到，
而，
可以令，
则有，
当且仅当取等号，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查均值不等式，关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出的关系，再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数，运用均值不等式，是中档题.
6、A
【解析】根据导数得出在的单调性，进而由单调性得出大小关系.
【详解】因为，所以在上单调递增.
因为，所以，而，所以.
因为，且，所以.
即.
故选：A
7、B
【解析】根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解
【详解】由与是椭圆上一点，∴，
两边平方可得，即，
由于，，∴根据余弦定理可得，
综上可解得，∴的面积等于，
故选：B
8、C
【解析】根据，然后与，可得，最后简单计算，可得结果.
【详解】在等比数列中，
由
所以，又，
所以
所以
故选：C
【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当，在等差数列中有，在等比数列中，灵活应用，属基础题.
9、C
【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.
【详解】由，，
视为原点到直线上点的距离的平方，
根据点到直线垂线段最短，
可得，
所有的取值范围为，
故选：C.
10、D
【解析】构造，结合已知有在R上递增且，原不等式等价于，利用单调性求解集.
【详解】令，由题设知：，即在R上递增，
又，所以f(x)＞x等价于，即.
故选：D
11、D
【解析】求出椭圆的下焦点，即抛物线的焦点，即可得解.
【详解】解：椭圆的下焦点为，
即为抛物线焦点，∴，∴.
故选：D.
12、A
【解析】先作辅助线，设出边长，结合题干条件得到，，利用勾股定理得到关于的等量关系，求出离心率.
【详解】连接，设，则根据可知，，因为，由勾股定理得：，由双曲线定义可知：，，解得：，，从而，解得：，所以，，由勾股定理得：，从而，即该双曲线的离心率为.

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、20
【解析】根据频率分布直方图求出成绩在这组的频率，从而可得出答案.
【详解】解：由频率分布直方图可知，
成绩在这组的频率为，
所以成绩在这组的学生人数为（人）.
故答案为：20.
14、
【解析】求出、、的值，即可得出椭圆的离心率.
【详解】在椭圆中，，，，
因此，椭圆的离心率是.
故答案为：.
15、
【解析】由题意分析为直角三角形，得到关于a、c的齐次式，即可求出离心率.
【详解】设，则.
由椭圆的定义可知：，所以.
所以
因轴，所以为直角三角形，
由勾股定理得：，
即，即，
所以离心率.
故答案为：
16、18
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算求解.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：

则，
所以，
所以，
故答案为：18

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）根据成等比数列，有，即求解.
（2）由（1）可得，，∴，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由成等比数列，得，
即，
整理得，∵，∴，
∴，即
（2）由（1）可得，，∴，
故
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面与平面所成角的余弦值.
【小问1详解】
由于平面，所以，
由于,
所以平面.
【小问2详解】
建立如图所示空间直角坐标系，
平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
设平面与平面所成角为，
则.

19、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据角平分线的性质，结合一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行求解即可.
【小问1详解】
椭圆的离心率，又，∴
∵椭圆C：经过点，解得，
∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
∵∠MPN的角平分线总垂直于y轴，∴MP与NP所在直线关于直线对称．设直线MP的斜率为k，则直线NP的斜率为
∴设直线MP的方程为，直线NP的方程为
设点，
由消去y，得
∵点在椭圆C上，则有，即
同理可得
∴，又
∴直线MN的斜率为
【点睛】关键点睛：由∠MPN的角平分线总垂直于y轴，得到MP与NP所在直线关于直线对称是解题的关键.
20、（1）或；（2）
【解析】（1）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当当过点的直线存在斜率时，设方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求得k，即可得出答案；
（2）求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得出答案.
【详解】解：（1）由题意知圆心的坐标为，半径，
当过点的直线斜率不存在时，方程为，
由圆心到直线的距离知，直线与圆相切，
当过点的直线存在斜率时，
设方程为，即
由题意知，
解得，
直线的方程为
故过点的圆的切线方程为或
（2）圆心到直线的距离为，
，
解得
21、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）首先由，，成等比数列，求出，再由①或②或③求出数列的首项和公差，即可求得的通项公式；
（2）求得的通项公式，结合裂项相消法求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，即，∵，故，
选①: 由，可得，解得，所以数列的通项公式为
选②: 由，可得，即，所以，解得，所以；
选③: 由，可得，即，所以，解得，所以；
【小问2详解】
由（1）可得，所以.
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）连接，可通过证明，得平面；
（2）以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.
【小问1详解】
如图，连接，在中，由可得.
因为，，
所以，，
因为，，，
所以，所以.
又因为，平面，，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）可知，，，两两垂直，
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
由，有，则，
设平面的法向量为，
由，，有，
取，则，，
可得平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
由，，有，
取，则，，
可得平面的一个法向量为.
由，，，
可得平面与平面所成夹角的余弦值为
.