陕西省黄陵中学新部2025-2026学年高一上数学期末检测试题含解析.doc

陕西省黄陵中学新部2025-2026学年高一上数学期末检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，，，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
2．下列哪一项是“”的必要条件
A. B.
C. D.
3．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（）
A.17 B.18
C.19 D.20
4．函数的零点所在区间为　　
A. B.
C. D.
5．与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A. B.
C. D.
6．和函数是同一函数的是（　）
A. B.
C. D.
7．已知，其中a，b为常数，若，则（）
A. B.
C.10 D.2
8．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A.13 B.14
C.15 D.16
9．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）
A. B.
C. D.
10．某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．当时x≠0时的最小值是____.
12．已知角的终边过点，则___________.
13．已知函数的图像恒过定点，则的坐标为_____________.
14．已知，点在直线上，且，则点的坐标为________
15．函数的值域为_______________.
16．若，则_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调增区间；
（3）若，求的值.
18．已知全集，集合，
（1）当时，求；
（2）如果，求实数的取值范围
19．如图所示，已知平面平面，平面平面，，求证:平面.

20．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点
（1）求的值；
（2）已知，求
21．溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
（1）根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，计算胃酸的.（精确到）（参考数据：）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性即可判断.
【详解】，，
，，
.
故选：D.
2、D
【解析】根据必要条件的定义可知：“”能推出的范围是“”的必要条件，再根据“小推大”的原则去判断.
【详解】由题意，“选项”是“”的必要条件，表示“”推出“选项”，所以正确选项为D.
【点睛】推出关系能满足的时候，一定是小范围推出大范围，也就是“小推大”.
3、D
【解析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.
【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，
则，整理得：，
当时，，当时，，因此，由得：，解得，
所以此户居民本月的用水量为.
故选：D
4、C
【解析】要判断函数的零点位置，我们可以根据零点存在定理，依次判断区间的两个端点对应的函数值，然后根据连续函数在区间上零点，则与异号进行判断
【详解】，，
故函数的零点必落在区间
故选C
【点睛】本题考查的知识点是函数的零点，解答的关键是零点存在定理：即连续函数在区间上与异号，则函数在区间上有零点
5、C
【解析】由题意求函数的定义域，即可求得与函数图象不相交的直线.
【详解】函数的定义域是，
解得： ，
当时，，
函数的图象不相交的一条直线是.
故选：C
【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于简单题型.
6、D
【解析】根据相同的函数定义域，对应法则，值域都相同可知ABC不符合要求，D满足.
【详解】的定义域为，值域为，
对于A，与的对应法则不同，故不是同一个函数；
对于B，的值域为，故不是同一个函数；
对于C，的定义域为，故不是同一个函数；
对于D, ，故与是同一个函数.
故选：D
7、A
【解析】计算出，结合可求得的值.
【详解】因为，所以，
若，则.
故选: A
8、D
【解析】用分离参数法转化为恒成立，只需，
再利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】因为，所以，
所以恒成立，只需
因为，
所以，
当且仅当时，即时取等号.
所以.
即的最大值为16.
故选：D
9、B
【解析】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，
所以

即：
，
化简得：
故选
10、A
【解析】根据题意，找到螺线画法的规律，由此对选项逐一分析，从而得到答案
【详解】第1次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第2次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计1次；
第3次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为3，交累计2次；
第4次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第5次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计3次；
前5次累计画线；
第6次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线；
第7次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第8次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计5次；
第9次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计6次，累计画线，故选项A正确
故选：A
另解：由前三次规律可发现，每画三次，与l产生两个交点，故要产生6个交点，需要画9次；每一次画的圆弧长度是以为首项，为公差的等差数列，所以前9项之和为：﹒
故选：A﹒

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接利用基本不等式的应用求出结果
【详解】解：由于，
所以（当且仅当时，等号成立）
故最小值为
故答案为：
12、
【解析】根据角终边所过的点,求得三角函数,即可求解.
【详解】因为角的终边过点
则

所以
故答案为:
【点睛】本题考查了已知终边所过的点,求三角函数的方法,属于基础题.
13、
【解析】由过定点（0,1），借助于图像平移即可.
【详解】过定点（0,1），
而可以看成的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，
所以函数的图像恒过定点
即A
故答案为：
【点睛】指数函数图像恒过（0,1），对数函数图像恒过（1,0）.
14、，
【解析】设点,得出向量,代入坐标运算即得的坐标，得到关于的方程，从而可得结果.
【详解】设点,
因为点在直线,且,
,
或, ，
即或,
解得或;
即点的坐标是，.
【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.
15、
【解析】先求出，再结合二次函数的内容求解.
【详解】由得，，
故当时，有最小值，当时，有最大值.
故答案为：.
16、
【解析】首先求函数，再求的值.
【详解】设，则
所以，即，，
.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），；（3）.
【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数转化为，再利用正弦函数的周期公式求解；
（2）利用正弦函数的性质，令，求解；
（3）由，得到，再利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】（1），
，
，
∴.
（2）令，.
解得：，，
增区间是，.
（3）∵，
则，，
∴，
.
18、（1）或；（2）（-∞，2）.
【解析】先解出集合A
（1）时，求出B,再求和；
（2）把转化为，分和进行讨论.
【详解】
（1）当时，，
∴
∴或.
（2）∵，∴.
当时，有，解得：；
当时，因为，只需，
解得：；
综上：,
故实数的取值范围（-∞，2）.
【点睛】（1）集合的交并补运算：①离散型的数集用韦恩图；②连续型的数集用数轴；
（2）由求参数的范围容易漏掉的情况
19、见解析
【解析】平面内取一点，作于点，于点，可证出平面，从而，同理可证，故平面.
【详解】证明：如图所示，

在平面内取一点，作于点，于点．因为平面平面，且交线为，所以平面．因为平面，所以
同理可证．又，都在平面内，且，所以平面
【点睛】本题主要考查了两个平面垂直的性质，线面垂直的性质，判定，属于中档题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角函数的定义求得，利用和差角公式展开代入求解；
（2）利用三角函数的定义求得利用和差角公式展开代入求解.
【小问1详解】
由角的终边过点，得

【小问2详解】
（2）由角的终边过点，得且

21、（1）溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强
（2）
【解析】（1）根据复合函数的单调性判断说明；
（2）由已知公式计算
【小问1详解】
根据对数的运算性质，有.
在上，随着的增大，减小，
相应地，也减小，即减小，
所以，随着的增大，减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
【小问2详解】
当时，.