福建师范大学第二附属中学2025-2026学年高二数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc

福建师范大学第二附属中学2025-2026学年高二数学第一学期期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线，点，连接交抛物线于点，，则的面积为（）
A.4 B.9
C. D.
2．已知抛物线的焦点为F，直线l经过点F交抛物线C于A，B两点，交抛物浅C的准线于点P，若，则为（）
A.2 B.3
C.4 D.6
3．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4．点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（）
A.880 B.622
C.311 D.220
6．设太阳光线垂直于平面，在阳光下任意转动棱长为一个单位的立方体，则它在平面上的投影面积的最大值是（）
A.1 B.
C. D.
7．已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若 (为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）.
A. B.
C. D.
9．椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是（）
A. B.
C. D.
10．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔为（）
A.40 B.30
C.20 D.12
11．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A.1 B.
C. D.
12．设数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，则（ ）
A.255 B.257
C.127 D.129
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．以正方体的对角线的交点为坐标原点O建立右手系的空间直角坐标系，其中，，，则点的坐标为______
14．已知函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，则的外接圆E的方程是________
15．已知数列满足，且，则______，数列的通项_____
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设：实数满足，：实数满足
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围
18．（12分）已知等比数列{}的各项均为正数，，，成等差数列，，数列{}的前n项和，且.
（1）求{}和{}的通项公式；
（2）设，记数列{}的前n项和为.求证：.
19．（12分）已知圆
（1）若直线与圆C相交于A、B两点,当弦长最短时,求直线l的方程;
（2）若与圆C相外切且与y轴相切的圆的圆心记为D,求D点的轨迹方程
20．（12分）平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
（1）求椭圆M的方程；
（2）C，D为椭圆M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD与AB垂直，求四边形ACBD面积的最大值.
21．（12分）已知直线与圆.
（1）当直线l恰好平分圆C的周长时，求m的值；
（2）当直线l被圆C截得的弦长为时，求m的值.
22．（10分）已知函数
（1）若在上不单调，求a的范围；
（2）试讨论函数的零点个数
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据题意求得抛物线的方程为和焦点为，由，得到为的中点，得到，代入抛物线方程，求得，进而求得的面积.
【详解】由直线是抛物线的准线，可得，即，
所以抛物线的方程为，其焦点为，
因为，可得
可得三点共线，且为的中点，
又因为，，所以，
将点代入抛物线，可得，
所以的面积为.
故选：D.
2、C
【解析】由题意可知设,由可得，可求得,，根据模长公式计算即可得出结果.
【详解】由题意可知，准线方程为，设,
可知，

，解得：，代入到抛物线方程可得：.
,
故选:C
3、A
【解析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围.
【详解】∵直线的斜率,，
设直线的倾斜角为，则，
解得.
故选：A.
4、A
【解析】由，当三点共线时，取得最值
【详解】设是椭圆的右焦点，则
又因为，，
所以，则
故选：A
5、C
【解析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合，即可求出.
【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，
由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，
则，解得：
又，
则与第四个单音的频率最接近的是311,
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.
6、C
【解析】确定正方体投影面积最大时,是投影面与平面AB' C平行，从而求出投影面积的最大值.
【详解】设正方体投影最大时，是投影面与平面AB' C平行，
三个面的投影为两个全等的菱形，其对角线为，即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形，如图所示，

所以投影面积为
故选：C
7、A
【解析】由，可得等比数列公比q=2，利用等比数列求和公式和通项公式即可求.
【详解】设等比数列的公比为q，则，
.
故选：A.
8、A
【解析】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由，可知为的三等分点，用两种方式表示，可得关于的方程组，结合即可得到双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，

由到渐近线的距离为，
所以，又，所以，
因为，
所以，整理可得：，
即，所以，可得，所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：A.
9、B
【解析】利用椭圆的定义可得结果.
【详解】在椭圆中，，由椭圆的定义可知，到另一个焦点的距离是.
故选：B.
10、B
【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果.
【详解】由总数为1200，样本容量为40，
所以抽样距为：
故选：B
【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.
11、C
【解析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】解：因为，，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：C
12、C
【解析】由题设可得，再由即可求值.
【详解】由数列是公比为2的等比数列，且，
∴，即，
∴.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据已知点的坐标，确定出坐标系即可得
【详解】如图，由已知得坐标系如图所示，轴过正方形的对角线交点，轴过中点，轴过中点，因此可知坐标为
故答案为：

14、
【解析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求.
【详解】令，得或，
则，
∴外接圆的圆心的横坐标为2，设，半径为r，
由，得，
则，即，
得，.
∴的外接圆的方程为.
故答案为：.
15、 ①. ②.
【解析】判断出是等差数列，由此求得，利用累加法求得.
【详解】依题意，
则，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，，
当时，，

，
也符合上式，
所以.
故答案为：；
16、
【解析】设，，因为点是线段中点，所以有，代入坐标求出点的轨迹为圆，因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，利用点到直线的距离求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.
【详解】解：设，，因为点是线段的中点，所以有，即有，因为点在圆上，所以满足：，代入可得：，即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示：

因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：圆心到渐近线的距离为，
因为，所以，即，且，所以，此时，，当时，渐近线与圆有公共点，.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p，q为真时实数x的取值范围，再求交集即可；
（2）先求得，再根据是的必要不充分条件可得，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可
【小问1详解】
当时，，解得，即p为真时，实数x的取值范围为．由，解得，即q为真时，实数x的取值范围为
若为真，则，解得实数x的取值范围为
【小问2详解】
若p是q的必要不充分条件，则且
设，，则，又
由，得，因为，则，有，解得
因此a的取值范围为
18、（1）
（2）证明见解析
【解析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，解得．由，利用通项公式解得，可得．由数列的前项和，且，时，，化简整理即可得出；
（2），利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明结论
【小问1详解】
设等比数列的公比为，，，成等差数列，
，即，化为：，解得
，，即，解得，

数列的前项和，且，
时，，化为：，
，数列是每项都为1的常数列，
，化为
【小问2详解】
证明：，
数列的前项和为，

19、（1）
（2）
【解析】(1)先求出直线过的定点,再根据弦长|AB|最短时,求解.
(2)用直译法求解
【小问1详解】
直线即,所以直线过定点.
当弦长|AB|最短时,
因为直线PC的斜率
所以此时直线的斜率
所以当弦长|AB|最短时,求直线的方程为,即
【小问2详解】

设,易知圆心D在轴上方,圆D半径为
因为圆与圆外切,所以
即
整理得点的轨迹方程为
20、（1）
（2）
【解析】（1）设，，的中点为，利用“点差法”求解；
（2）由求得A，B的坐标，进而得到的长，再根据，设直线的方程为，由，求得的长，然后由四边形的面积为求解.
【小问1详解】
解：把右焦点代入直线，得，
设，，的中点为，
则，，相减得，
即，
即，即.
又，，则.
又，解得，，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
联立消去，可得，解得或，
故交点为，.
所以.
因为，所以可设直线的方程为，，，
联立消去，得到，
因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，
解得，且，
又，则.
故四边形的面积为，
故当时，取得最大值，最大值为.所以四边形的面积的最大值为.
21、（1）；
（2）1.
【解析】(1)将圆C的圆心坐标代入直线l的方程计算作答.
(2)由给定条件求出圆心C到直线l的距离，再利用点到直线距离公式计算作答.
【小问1详解】
圆的圆心，半径，
因直线l平分圆C的周长，则直线l过圆心，即，解得，
所以m的值是.
【小问2详解】
由(1)知，圆C的圆心，半径，
因直线l被圆C截得的弦长为，则有圆心C到直线l的距离，
因此，，解得，
所以m的值是1.
22、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）由：存在使来求得的取值范围.
（2）利用分离常数法，结合导数来求得零点个数.
【小问1详解】
，在上递增，
由于在上不单调，
所以存使，
，所以.
【小问2详解】
，
令，
当时，，
构造函数，，
所以在递减；在递增，
当时，；当时，；.
由此画出大致图象如下图所示，
所以，当时，有个零点，
当时，没有零点，
当时，有个零点.