2025年四川省广安市邻水实验中学高一数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2025年四川省广安市邻水实验中学高一数学第一学期期末检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．sin210°·cos120°的值为（ ）
A. B.
C. D.
2．若，且，则的值是　　
A. B.
C. D.
3．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
4．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是 （ ）
A. B.
C. D.
5．已知是定义在区间上的奇函数，当时，.则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
6．设P为函数图象上一点，O为坐标原点，则的最小值为（）
A.2 B.
C. D.
7．已知关于的方程的两个实数根分别是、，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是
A. B.
C. D.
9．已知函数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10．已知，，，则()
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式________
12．过点P(4,2)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）________.
13．已知直线过两直线和的交点，且原点到该直线的距离为，则该直线的方程为_____.
14．计算=_______________
15．半径为2cm，圆心角为的扇形面积为.
16．设函数，则____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量满足，.
(1)若的夹角为，求；
(2)若，求与的夹角.
18．已知集合，集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19． “绿水青山就是金山银山”．某企业决定开发生产一款大型净水设备，生产这款设备的年固定成本为600万元，每生产台需要另投入成本万元．当年产量x不足100台时，；当年产量x不少于100台时，．若每台设备的售价为100万元时，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）当年产量x为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是多少万元？
20．设函数.
(1)当时，求函数最小值；
(2)若函数 的零点都在区间内，求的取值范围.
21．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上（含端点），且，且（、为常数），设，.

（Ⅰ）试用、表示和；
（Ⅱ）若，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】直接诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.
【详解】,
故选：A.
2、B
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可得解
【详解】由题意，知，且，
所以，则，

故选B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3、D
【解析】
表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分
作出曲线的图象，在同一坐标系中，再作出斜率是1的直线，由左向右移动，
可发现，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，
直线与曲线相切时m值为，直线与曲线有两个交点时的m值为1，
则
故选D
4、D
【解析】由正切函数的性质，可以得到函数的周期，进而可以求出解析式，然后求出即可
【详解】由题意知函数的周期为，则，所以，则.
故选D.
【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题
5、A
【解析】分析：根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化为一般的不等式求解即可
详解：∵，函数f(x)为奇函数，
∴，
又f(x)是定义在[−1,1]上的减函数，
∴ ，即，解得
∴不等式的解集为
故选A
点睛：解题的关键是根据函数的奇偶性将不等式化为或的形式，然后再根据单调性将函数不等式化为一般的不等式求解，解题时不要忘了函数定义域的限制
6、D
【解析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解
【详解】为函数的图象上一点，
可设，
，
当且仅当，即时，等号成立
故的最小值为
故选：
7、D
【解析】利用韦达定理结合对数的运算性质可求得的值，再由可求得实数的取值范围.
【详解】由题意，知，因为，所以.
又有两个实根、，所以，解得.
故选：D.
8、D
【解析】选项A为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减；选项B，y＝x3为奇函数；选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性；选项D满足题意
【详解】选项A，y＝ln为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，故错误；
选项B，y＝x3为奇函数，故错误；
选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性，故错误；
选项D，y＝2|x|为偶函数，当x＞0时，解析式可化为y＝2x，显然满足在区间（0，+∞）上单调递增，故正确
故选D
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题
9、B
【解析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，即得.
【详解】∵函数，
令，则，
∴的定义域为，，
所以函数为奇函数，
又，
当增大时，增大，即在上递增，
由，可得，即，
∴，
∴，即.
故选：B.
10、A
【解析】比较a、b、c与中间值0和1的大小即可﹒
【详解】，
，
，
∴﹒
故选：A﹒

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式.
【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，.
因此，所求函数解析式为.
故答案为：.
12、或
【解析】根据直线在两坐标轴上截距相等，则截距可能为也可能不为，再结合直线方程求法，即可对本题求解
【详解】由题意，设直线在两坐标轴上的截距均为，
当时，设直线方程为：，
因为直线过点，所以，即，
所以直线方程为：,即： ，
当时，直线过点，且又过点，
所以直线的方程为，即：，
综上，直线的方程为：或.
故答案为：或
【点睛】本题考查直线方程的求解，考查能力辨析能力，应特别注意，截距相等，要分截距均为和均不为两种情况分别讨论.
13、或
【解析】先求两直线和的交点，再分类讨论，先分析所求直线斜率不存在时是否符合题意，再分析直线斜率存在时，设斜率为，再由原点到该直线的距离为，求出，得到答案.
【详解】由和，得，即交点坐标为，
（1）当所求直线斜率不存在时，直线方程为，此时原点到直线的距离为，
符合题意；
（2）当所求直线斜率存在时，设过该点的直线方程为，
化为一般式得，由原点到直线的距离为，
则，解得，得所求直线的方程为.
综上可得，所求直线的方程为或
故答案为：或
【点睛】本题考查了求两直线的交点坐标，由点到直线的距离求参，还考查了对直线的斜率是否存在分类讨论的思想，属于中档题.
三、
14、
【解析】原式
考点：三角函数化简与求值
15、
【解析】求出扇形的弧长,利用扇形面积公式求解即可.
【详解】因为半径为,圆心角为的扇形,弧长为,
所以扇形面积为:
故答案为.
【点睛】本题考查扇形的面积公式的应用,考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】依据分段函数定义去求的值即可.
【详解】由，可得，则
由，可得
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】（1）利用公式即可求得;
（2）利用向量垂直的等价条件以及夹角公式即可求解.
【详解】解：（1）由已知，得，
所以
，
所以.
（2）因为，所以.
所以，
即，
所以.
又，
所以，即与的夹角为.
【点睛】主要考查向量模、夹角的求解，数量积的计算以及向量垂直的等价条件的运用.属于基础题.
18、（1）或
（2）
【解析】（1）根据分式不等式的解法求出集合，利用集合间的基本关系即可求得的取值范围；
（2）根据必要不充分条件的定义可得Ü，由一元二次不等式的解法求出集合，利用集合间的基本关系即可求出a的取值范围.
【小问1详解】
解：解不等式得或，所以或，
因为，所以所以或，解得或，
所以实数的取值范围为或.
【小问2详解】
解：是的必要不充分条件，所以Ü，
解不等式，得，所以，
所以且，解得，
所以实数的取值范围.
19、（1）
（2）年产量为102台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是2798万元
【解析】（1）根据利润=销售额−成本，通过分类讨论，即可求出年利润关于年产量的函数关系式；
（2）通过求分段函数的最大值即可得出答案.
【小问1详解】
由条件可得年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式：

化简得：
【小问2详解】
当时，,，
当时，取最大值（万元）
当时，,，
（万元）
当时，即台时，取最大值2798万元
综上：年产量为102台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是2798万元
20、（1）；（2）
【解析】（1）分类讨论得；（2）由题意，得到等价不等式，解得的取值范围是
试题解析：
(1)∵函数.
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，.
综上，
(2)∵函数的零点都在区间内，
等价于函数的图象与轴的交点都在区间内.
∴
故的取值范围是
21、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）过点作，交于点，证明出，从而得出，然后利用向量加法的三角形法则可将和用、表示；
（Ⅱ）计算出、和的值，由得出，且有，然后利用向量数量积的运算律将表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.
【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点作，交于点，

由于为等腰梯形，则，且，
，即，又，所以，四边形为平行四边形，
则，所以，为等边三角形，且，
，，
，
；
（Ⅱ），，，
由题意可知，，由得出，
所以，，
，
令，则函数在区间上单调递减，
所以，，因此，的最小值为.
【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.