衡水市重点中学2026届数学高一上期末综合测试模拟试题含解析.doc

衡水市重点中学2026届数学高一上期末综合测试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为　　
A. B.
C. D.1
2．向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．设集合U=,则
A. B.
C. D.
4．下面四个不等式中不正确的为
A. B.
C. D.
5．已知集合，，全集，则（）
A. B.
C. D.I
6．已知，且，则（）
A. B.
C. D.
7．若函数，则的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
8．设，，若，则的最小值为（）
A. B.6
C. D.
9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数为
A. B.
C. D.
10．已知直线和直线，则与之间的距离是（）
A. B.
C.2 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数则________
12．设函数，则当时，的最小值为______；若恰有两个零点，则实数所在的区间是______.
13．已知在同一平面内，为锐角,则实数组成的集合为_________
14．圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________
15．设函数（e为自然对数的底数，a为常数），若为偶函数，则实数______；若对，恒成立，则实数a的取值范围是______
16．函数的定义域为_____________________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．新冠病毒怕什么？怕我们身体的抵抗力和免疫力！适当锻炼，合理休息，能够提高我们身体的免疫力，抵抗各种病毒．某小区为了调查居民的锻炼身体情况，从该小区随机抽取了100为居民，记录了他们某天的平均锻炼时间，其频率分别直方图如下：

（1）求图中的值和平均锻炼时间超过40分钟的人数；
（2）估计这100位居民锻炼时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数
18．平面内给定三个向量，，
(1)求满足的实数；
(2)若，求实数.
19．已知不等式的解集为或.
（1）求b和c的值；
（2）求不等式的解集.
20．已知能表示成一个奇函数和一个偶函数的和.
（1）请分别求出与的解析式；
（2）记，请判断函数的奇偶性和单调性，并分别说明理由.
（3）若存在，使得不等式能成立，请求出实数的取值范围.
21．已知函数.
（1）求、、的值；
（2）若，求a的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可．
【详解】圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形， 所以弦所对的圆心角为．
故选C．
【点睛】本题考查扇形圆心角的求法，是基本知识的考查．
2、A
【解析】利用向量的线性运算的几何表示及充分条件，必要条件的概念即得.
【详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“| +|<||+||”成立，即充分性成立，
当“，方向相反”时，满足“| +| < ||+||”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，
故向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的充分不必要条件.
故选：A.
3、D
【解析】
4、B
【解析】A，利用三角函数线比较大小；B，取中间值1和这两个数比较；C，利用对数函数图象比较这两个数的大小；D，取中间值1和这两个数比较
【详解】解：A，如图，利用三角函数线可知，所对的弧长为，，
∴，A对；

B，由于，B错；
C，如图，，则，C对；

D，，D对；
故选：B
【点睛】本题主要考查比较两个数的大小，考查三角函数线的作用，考查指对数式的大小，属于基础题
5、B
【解析】根据并集、补集的概念，计算即可得答案.
【详解】由题意得，所以
故选：B
6、B
【解析】利用角的关系，再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】，，

.
故选：B
7、A
【解析】令，则，根据解析式，先求出函数定义域，结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出结果.
【详解】令，则，由真数得，
∵抛物线的开口向下，对称轴，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又∵在定义域上单调递减，
由复合函数的单调性可得：
的单调递增区间为.
故选：A.
8、C
【解析】由已知可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】，，，由可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9、C
【解析】选项A中，函数的定义域为,不合题意，故A不正确；
选项B中，函数的定义域为,无奇偶性，故B不正确；
选项C中，函数为偶函数，且当x>0时，，为增函数，故C正确；
选项D中，函数为偶函数，但在不是增函数，故D不正确
选C
10、A
【解析】利用平行线间的距离公式计算即可
【详解】由平行线间的距离公式得
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】利用分段函数的解析式，代入求解.
【详解】因为函数
所以
故答案为：
12、 ①. ②.
【解析】当时得到，令，再利用定义法证明在上单调递减，从而得到，令，，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分别求出与的零点，根据恰有两个零点，即可求出的取值范围；
【详解】解：当时，令，，设且，则

因为且，所以，，所以，所以，所以在上单调递减，所以，令，，函数在定义域上单调递增，所以，所以的最小值为；
对于，令，即，解得，对于，令，即，解得或或，因为恰有两个零点，则和一定为的零点，不为的零点，所以，即；
故答案为：；；
13、
【解析】分析：根据夹角为锐角得向量数量积大于零且向量不共线，解得实数组成的集合.
详解：因为为锐角，所以且不共线，
所以
因此实数组成的集合为，
点睛：向量夹角为锐角的充要条件为向量数量积大于零且向量不共线，向量夹角为钝角的充要条件为向量数量积小于零且向量不共线.
14、或
【解析】有两种形式的圆柱的展开图,分别求出底面半径和高,分别求出体积.
【详解】圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形,
当母线为a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱体积是；
当母线为2a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱的体积是,
综上所求圆柱的体积是:或，
故答案为或;
本题考查圆柱的侧面展开图,圆柱的体积,容易疏忽一种情况,导致错误.
15、 ①.1 ②.
【解析】第一空根据偶函数的定义求参数，第二空为恒成立问题，参变分离后转化成求函数最值
【详解】由，即，关于恒成立，故
恒成立，等价于恒成立
令，，，故a的取值范围是
故答案为：1，
16、
【解析】，区间为.
考点：函数的定义域

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），平均锻炼时间超过40分钟的人数为18人
（2）100位居民锻炼时间的平均数为分钟，中位数约为分钟
【解析】（1）由频率和为1，列方程求解出的值，由频率分布直方图求出平均锻炼时间超过40分钟的频率，再由频率乘以100可得结果，
（2）利用平均数定义直接求解，由频率分直方图判断出中位数在30-40分钟这一组，然后列方程求解即可
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，
解得，
由频率分布直方图求出平均锻炼时间超过40分钟的频率为，
所以平均锻炼时间超过40分钟的人数为人，
【小问2详解】
这100位居民锻炼时间的平均数为
（分钟），
因为，，
所以中位数在锻炼时间为30-40分钟这一组，设中位数为，则
，解得（分钟）
18、（1）；（2）11
【解析】（1）利用向量的坐标运算和平面向量基本定理即可得出；
（2）利用向量共线定理即可得出.
【详解】(1) 由题意得，，
∴
解得，
(2) ∵向量，，
∴
则时，
解得：
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、平面向量基本定理、向量共线定理，考查了计算能力，属于基础题
19、（1）；；（2）
【解析】（1）利用二次不等式的解集与相应的二次方程的根的关系，判断出1，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出，的值
（2）将，的值代入不等式，将不等式因式分解，求出二次不等式的解集
【详解】解：（1）不等式的解集为或
，2是方程的两个根
由根与系数的关系得到：；；
（2）因为，所以
所以，所以
所以的解集为
20、（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）由函数方程组可求与的解析式.
（2）利用奇函数的定义和函数单调性定义可证明为奇函数且为上的增函数.
（3）根据（2）中的结果可以得到在上有解，参变分离后利用换元法可求的取值范围.
【详解】（1）由已知可得，则，
由为奇函数和为偶函数，上式可化为，
联合，
解得.
（2）由（1）得定义域，
①由，可知为上的奇函数.
②由，
设，则，
因为，故，，
故即，故在上单调递增
（3）由为上的奇函数，
则等价于
，
又由在上单调递增，则上式等价于，
即，
记，令，
可得，易得当时，即时，
由题意知，，故所求实数的取值范围是.
【点睛】本题考查与指数函数有关的复合函数的单调性和奇偶性以及函数不等式有解，前者根据定义进行判断，后者利用单调性和奇偶性可转化为常见不等式有解，本题综合性较高.
21、（1），，；（2）5.
【解析】（1）根据自变量的范围选择相应的解析式可求得结果；
（2）按照三种情况，，，选择相应的解析式代入解方程可得结果.
【详解】（1），，，
则；
（2）当时，，解得（舍），
当时，，则（舍），
当时，，则，
所以a的值为5.
【点睛】方法点睛：（1）计算分段函数函数值时，要根据自变量的不同取值范围选取相应的解析式计算.；（2）已知函数值求自变量的值时，要根据自变量的不同取值范围进行分类讨论，从而正确求出自变量的值.