天津市红桥区2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

天津市红桥区2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在平行四边形中，，则（ ）
A. B.
C.2 D.4
2．已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（）
A.4 B.-4
C. D.不确定
3．下列函数中，在区间上是增函数是
A. B.
C. D.
4．函数的定义域是（ ）
A.（-2，] B.（-2，）
C.（-2，＋∞） D.（，＋∞）
5．在下列区间中函数的零点所在的区间为（）
A. B.
C. D.
6．已知点A（2，0）和点B（﹣4，2），则|AB|＝（ ）
A. B.2
C. D.2
7．设集合，若，则实数（）
A.0 B.1
C. D.2
8．设全集U=N*，集合A={1，2，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）

A. B.4，
C. D.3，
9．已知角终边上A点的坐标为，则（）
A.330 B.300
C.120 D.60
10．，，且（3） (λ），则λ等于（　　）
A. B.－
C.± D.1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知是半径为，圆角为扇形,是扇形弧上的动点，是扇形的接矩形，则的最大值为________.

12．将函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为 _________.
13．已知函数，则当_______时，函数取得最小值为_________.
14．已知扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，则扇形的面积为______.
15．已知且，函数的图像恒过定点，若在幂函数的图像上，则__________
16．已知函数，又有定义在R上函数满足：（1），
，均恒成立；
（2）当时，，则_____，
函数在区间中的所有零点之和为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知在正四棱锥中，为侧棱的中点， 连接相交于点
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）设,若质点从点沿平面与平面的表 面运动到点的最短路径恰好经过点，求正四棱锥的体积

18．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上中线所在的直线方程为
（1）求直线的方程；
（2）求点的坐标．
19．已知函数的部分图象如图所示

（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在区间上不单调，求的取值范围
20．已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围.
21．为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费5万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.45万元，使用年时，总的维修费用为万元，问：
（1）设年平均费用为y万元，写出y关于x的表达式；（年平均费用=）
（2）这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的年平均费用最少）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由条件根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得，，然后转化求解即可
【详解】可得，
，
两式平方相加可得
故选：

2、B
【解析】利用三角函数的定义求得.
【详解】依题意是第四象限角，所以，
.
故选：B
3、A
【解析】由题意得函数在上为增函数，函数在上都为减函数．选A
4、B
【解析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解
【详解】解：由，解得
函数的定义域是
故选：B
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题
5、A
【解析】根据解析式判断函数单调性，再结合零点存在定理，即可判断零点所处区间.
【详解】因为是单调增函数，故是单调增函数，至多一个零点，
又，故的零点所在的区间为.
故选：A.
6、D
【解析】由平面两点的距离公式 计算可得所求值.
【详解】由点A（2，0）和点B（﹣4，2）,
所以
故选：D
【点睛】本题考查平面上两点间的距离，直接用平面上两点间的距离公式解决，属于基础题.
7、B
【解析】可根据已知条件，先求解出的值，然后分别带入集合A和集合B中去验证是否满足条件，即可完成求解.
【详解】集合，，所以，
①当时，集合，此时，成立；
②当时，集合，此时，不满足题意，排除.
故选：B.
8、C
【解析】由集合，，结合图形即可写出阴影部分表示的集合
【详解】解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为 ，
故选．
【点睛】考查列举法的定义，以及图表示集合的方法,属于基础题．
9、A
【解析】根据特殊角的三角函数值求出点的坐标，再根据任意角三角函数的定义求出的值.
【详解】，，即，
该点在第四象限，由，，
得.
故选：A.
10、A
【解析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律展开并代值，即可求出λ
【详解】∵，∴=0，∵(3)⊥(λ)，∴（3）•（λ）=0，
即3λ2+（2λ﹣3）﹣22=0，∴12λ﹣18=0，解得λ=
故选A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值.
【详解】设
扇形的半径为,是扇形的接矩形
则

,所以
则
所以

因为,所以
所以当时, 取得最大值
故答案为:
【点睛】本题考查了三角函数的应用,将边长转化为三角函数式,结合辅助角公式求得最值是常用方法,属于中档题.
12、
【解析】利用相位变换直接求得.
【详解】按照相位变换，
把函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到.
故答案为：.
13、 ①.## ②.
【解析】根据求出的范围，根据余弦函数的图像性质即可求其最小值.
【详解】∵，∴，
∴当，即时，取得最小值为，
∴当时，最小值为.
故答案为：；－3.
14、2
【解析】首先由扇形的弧长与圆心角求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】解：因为扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，所以扇形的半径cm，所以扇形的面积；
故答案为：
15、
【解析】由题意得
16、 ①.1 ②.42
【解析】求出的周期和对称轴，再结合图象即可.
【详解】由条件可知函数的图象关于对称轴对称，
由可知，，则周期，
即，
函数在区间中的所有零点之和即为函数与函数
图象的交点的横坐标之和，
当时，为单调递增函数，，
，且区间关于对称，
又∵由已知得也是的对称轴，∴只需用研究直线左侧部分即可，
由图象可知左侧有7个交点，则右侧也有7个交点，将这14个交点的横坐标从小到大排列，第个数记为，由对称性可知，则，
同理，…，，
∴.
故答案为：，.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）由中位线定理可得线线平面，从而有线面平行；
（2）正四棱锥中，底面是正方形，因此有，又PO是正四棱锥的高，从而有PO⊥AC，这样就有AC与平面PBD垂直，从而得面面垂直；
（3）把与沿PD摊平，由A、M、C共线，因此新的平面图形是平行四边形，从而为菱形，M到底面ABCD的距离为原正四棱锥高PO的一半，计算可得体积
试题解析：
(1) 证明：连接OM，
∵O，M分别为BD，PD的中点，
∴在△PBD中，OM//PB，
又PB面ACM，OM面ACM，
∴ PB//面ACM
(2) 证明：连接PO.
∵在正四棱锥中，PA=PC，O为AC的中点，
∴PO⊥AC，BD⊥AC，
又PO∩BD=O，AC⊥平面PBD，
又AC平面ACM，∴平面ACM ⊥平面PBD
(3) 如图，把△PAD与 △PCD沿PD展开成平面四边形PADC1
由题意可知A，M，C1三点共线，
∵△PAD≌△PCD, M为PD的中点，
∴AM=MC1，即M为AC1中点，
∴平面四边形PADC1为平行四边形，
又PA= PC, ∴平面四边形PADC1为菱形，
∴正四棱锥的侧棱长为2
∵PO⊥AC，PO⊥BD，PO⊥面ABCD，∴PO为正四棱锥的高

18、（1）；（2）
【解析】(1)由,知两条直线的斜率乘积为-1,进而由点斜式求直线即可;
(2) 设，则，代入方程求解即可.
试题解析：
（1）∵,且直线的斜率为，
∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即
（2）设，则，
∴，解得，∴
19、（1）；（2）
【解析】（1）利用最值求出，根据得出，再由特殊值求出即可求解.
（2）根据三角函数的图象变换得出，再由正弦函数在上单调即可求解.
【详解】解：（1）由图可知，
最小正周期，所以
因为，
所以，，，
又，所以，
故
（2）由题可知，
当时，
因为在区间上不单调，
所以，解得
故的取值范围为
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）由对数函数的性质可得，再解含指数的一元二次方程，结合指数的性质即可得解.
（2）由题设有在上恒成立，判断的单调性并确定其值域，即可求k的范围.
【小问1详解】
由题设，令，则，
∴，可得或（舍），
∴，故的零点为.
【小问2详解】
由，则，即在上恒成立，
∵在上均递减，
∴在上递减，则，
∴k的取值范围为.
21、（1）
（2）最多使用10年报废
【解析】（1）根据题意，即可求得年平均费用y关于x的表达式；
（2）由，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，设备每年的管理费是0.45万元，使用年时，总的维修费用为万元，
所以关于的表达式为.
【小问2详解】
解：因为，所以，
当且仅当时取等号，即时，函数有最小值，即这套设备最多使用10年报废.