2025-2026学年湖北省黄冈中学高一上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025-2026学年湖北省黄冈中学高一上数学期末质量跟踪监视模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，AB是⊙O直径，C是圆周上不同于A、B的任意一点，PA与平面ABC垂直，则四面体P_ABC的四个面中，直角三角形的个数有（）

A.4个 B.3个
C.1个 D.2个
2．已知，，则“使得”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是　　
A. B.
C. D.
4．若定义在上的函数的值域为，则取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
6．角的终边落在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7．为了得到函数的图像，可以将函数的图像
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
8．已知集合，，若，则a的取值范围是　　
A B.
C. D.
9．函数（，）在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把图象上所有的点（）

A.向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B.向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D.向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
10．等于
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．新高考选课走班“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门学科为必考科目，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、思想政治、地理四门科目选两门．已知在一次选课过程中，甲、乙两同学选择科目之间没有影响，在物理和历史两门科目中，甲同学选择历史的概率为，乙同学选择物理的概率为，那么在物理和历史两门科目中甲、乙两同学至少有1人选择物理的概率为______
12．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是________
13．设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的取值集合为________，_______
14．中，若，则角的取值集合为_________.
15．已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数，现有以下几种说法：
①；
②若今天值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时 (注：)
则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)
16．的化简结果为____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设矩形的周长为，其中，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，.

（1）将表示成的函数，并求定义域；
（2）求面积的最大值.
18．已知，．若，求的取值范围.
19．如图所示四棱锥中，底面，四边形中，，，，

求四棱锥的体积；
求证：平面；
在棱上是否存在点异于点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由
20．已知函数，若区间上有最大值5，最小值2.
（1）求的值
（2）若，在上单调，求的取值范围.
21．已知非空集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】AB是圆O的直径,可得出三角形是直角三角形，由圆O所在的平面，根据线垂直于面性质得出三角形和三角形是直角三角形，同理可得三角形是直角三角形.
【详解】∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=，即,三角形是直角三角形.
又∵圆O所在的平面，∴三角形和三角形是直角三角形,且BC在此平面中，∴平面,∴三角形是直角三角形.
综上，三角形，三角形，三角形，三角形.直角三角形数量为4.
故选：A.
【点睛】考查线面垂直的判定定理和应用，知识点较为基础.需多理解.难度一般.
2、C
【解析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.
【详解】若使得，则有成立；
若，则有使得成立.
则“使得”是“”的充要条件
故选：C
3、A
【解析】由幂函数，指数函数与对数函数的性质可得
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，其定义域为R，在R上既是奇函数又是增函数，符合题意；
对于B，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，，为指数函数，不为奇函数；
对于D，，为反比例函数，其定义域为，在其定义域上不是增函数，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，是基础题，掌握幂函数，指数函数与对数函数的性质是解题关键
4、C
【解析】作函数图象，观察图象确定m的范围.
【详解】函数的图象是对称轴为，顶点为的开口向上的抛物线，当时，；当时，.
作其图象，如图所示：

又函数在上值域为，
所以观察图象可得
∴取值范围是，
故选：C.
5、A
【解析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.
【详解】因为，所以，
即；
由正弦定理可得，所以
；
当时，取到最大值.
故选：A.
6、A
【解析】根据角的定义判断即可
【详解】，故为第一象限角，故选A
【点睛】判断角的象限，将大角转化为一个周期内的角即可
7、B
【解析】因为，
所以为了得到函数的图像，可以将函数
的图像向右平移个单位长度即可．选B
8、D
【解析】化简集合A，根据，得出且，从而求a的取值范围，得到答案
详解】由题意，集合或，
；
若，则且，解得，
所以实数的取值范围为
故选D
【点睛】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及集合的运算问题，其中解答中正确求解集合A，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、B
【解析】先利用图像求出函数的解析式，在对四个选项，利用图像变换一一验证即可.
【详解】由图像可知：，所以,所以，解得：.
所以.
又图像经过，所以，解得：，
所以
对于A：把图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到.故A错误；
对于B：把图象上所有点向右平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.故B正确；
对于C：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.故C错误；
对于D：把图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到.故D错误；
故选：B
10、A
【解析】分析：由条件利用诱导公式、两角和差的余弦公式化简所给的式子，可得结果.
详解：

.
故选：A.
点睛：本题主要考查诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】至少1人选择物理即为1人选择物理或2人都选择物理，由题分别得到甲选择物理的概率与乙选择历史的概率，进而求解即可.
【详解】由题，设“在物理和历史两门科目中甲、乙两同学至少有1人选择物理”事件，则包括有1人选择物理，或2人都选择物理，
因为甲同学选择历史的概率为，则甲同学选择物理的概率为，
因为乙同学选择物理的概率为，则乙同学选择历史的概率为，
故，
故答案为：
12、
【解析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.
【详解】
为恒过的直线
则曲线图象如下图所示：

由图象可知，当直线斜率时，曲线与直线有两个相异交点
与半圆相切，可得：
解得：
又
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线的范围，误认为曲线为圆.
13、 ①. ②.
【解析】利用辅助角公式可将问题转化为在上直线与三角函数图象的恰有三个交点，利用数形结合可确定的取值；由的取值可求得的取值集合，从而确定的值，进而得到结果.
【详解】，
方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点，

由图象可知：当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
即实数的取值集合为；
，或，
即或，
此时，，，.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：本题考查与三角函数有关的方程根的个数问题，解决方程根的个数的基本思路是将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.
14、
【解析】△ABC中，由tanA=1，求得A的值
【详解】∵△ABC中，tanA=1>0，故
∴A=
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数的化简，及与三角形的综合，应注意三角形内角的范围
15、③
【解析】对于①通过取特殊值即可排除，对于②③直接带入计算即可.
【详解】当nA＝1时，PA＝0，故①错误；
若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；
B菌的个数为nB＝5×104，
∴，∴.
又∵，∴
故选③
16、18
【解析】由指数幂的运算与对数运算法则，即可求出结果.
【详解】因为.
故答案为18
【点睛】本题主要考查指数幂运算以及对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）
【解析】（1）由题意得，则，根据，可得，所以，化简整理，即可求得y与x的关系，根据，即可求得x的范围，即可得答案；
（2）由（1）可得，，则的面积，根据x的范围，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得：，则，
因为在和中，，
所以，即，
所以在中，，
所以，
化简可得，
因为，所以，解得，
所以，；
（2）由（1）可得，，
所以面积，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时面积，
即面积最大值为
【点睛】解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
18、.
【解析】
利用对函数数的性质化简，利用一元二次不等式的解法，讨论，， 三种情况，分别分析集合，再结合，解得的取值范围
【详解】由，得，
解得，即，
由，得，
当时，是空集，不满足，不符合题意，舍去；
当时，，不满足，不符合题意，舍去；
当时，解得，因为，
所以的取值范围是.
19、（1）4；（2）见解析；（3）不存在.
【解析】利用四边形是直角梯形，求出，结合底面，利用棱锥的体积公式求解即可求；先证明，，结合，利用线面垂直的判定定理可得平面；用反证法证明，假设存在点异于点使得平面证明平面平面，与平面与平面相交相矛盾，从而可得结论
【详解】显然四边形ABCD是直角梯形，

又底面

平面ABCD，平面ABCD，
在直角梯形ABCD中，，
，，即
又，
平面；
不存在，下面用反证法进行证明
假设存在点异于点使得平面PAD
，且平面PAD，
平面PAD，
平面PAD
又，
平面平面PAD
而平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力，逻辑推理能力．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
20、（1）或；（2）.
【解析】（1）分和两种情况讨论，根据单调性的不同分别代入求值即可；
（2）易知也为二次函数，若要在区间上单调，则对称轴在区间外即可.
【详解】（1）由可得二次函数的对称轴为，
①当时，在上为增函数，
可得，所以，
当时，在上为减函数，
可得，解得；
（2）
即，
在上单调，
或即或，
故的取值范围为.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）时，先解一元二次不等式，化简集合A和B，再进行交集运算即可；
（2）根据子集关系列不等式，解不等式即得结果.
【详解】解：（1）当时，，
由，解得，，
；
（2）由（1）知，
，解得，
实数的取值范围为.