安徽省合肥市新城高升学校2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

安徽省合肥市新城高升学校2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．点关于直线的对称点是
A. B.
C. D.
2．已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
3．设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
4．使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（　　）
A. B.
C. D.2
5．已知集合，a=3．则下列关系式成立的是
A.aA
B.aA
C.{a}A
D.{a}∈A
6．不等式的解集是（）
A B.
C.或 D.或
7．圆O1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆O2：x2+y2﹣14x﹣2y+14＝0的位置关系是（　　）
A.相离 B.内含
C.外切 D.内切
8．函数的最小正周期为
A. B.
C.2 D.4
9．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为
A. B.
C. D.
10．若则函数的图象必不经过（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调递增区间为_____________
12．设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的取值集合为________，_______
13．函数的定义域为___
14．下列四个命题：
①函数与的图象相同；
②函数的最小正周期是；
③函数的图象关于直线对称；
④函数在区间上是减函数
其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）
15．函数的定义域为______
16．已知，是相互独立事件，且，，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（Ⅰ）对任意的实数，恒有成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数取最小值时，讨论函数在时的零点个数.
18．已知函数.
（1）求函数的最大值及相应的取值；
（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
19．（1）已知，，，求的最小值；
（2）把角化成的形式.
20．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为 .三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜.若这六匹马比赛的优劣程度可以用以下不等式表示：.
（1）如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；
（2）为了得到更大的获胜概率，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马，那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大？最大概率是多少？
21．已知函数.
（1）若函数的定义域为，求集合；
（2）若集合，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】设对称点为，则，则，故选A.
2、A
【解析】表示的是方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心.
【详解】如图，设，，
已知均为单位向量，

故四边形为菱形，所以平分，
由
得，又与有公共点，
故三点共线，
所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.
故选：A.
3、B
【解析】先求出集合B，再根据交集补集定义即可求出.
【详解】，，
，.
故选：B.
4、B
【解析】根据幂函数的性质确定正确选项.
【详解】A选项，是奇函数，不符合题意.
B选项，为偶函数，且在上是减函数，符合题意.
C选项，是非奇非偶函数，不符合题意.
D选项，，在上递增，不符合题意.
故选：B
5、C
【解析】集合，，
所以 {a}A
故选C.
6、D
【解析】将分式不等式移项、通分，再转化为等价一元二次不等式，解得即可；
【详解】解：∵，，即，等价于且，解得或，∴所求不等式的解集为或，
故选：D.
7、D
【解析】先求出两圆的圆心距，再比较圆心距和两个半径的关系得解.
【详解】由题得圆O1：它表示圆心为O1（3,-2）半径为1的圆；
圆O2：，它表示圆心为O2（7,1），半径为6的圆.
两圆圆心距为，
所以两圆内切.
故选：D
【点睛】本题主要考查两圆位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8、C
【解析】分析：根据正切函数的周期求解即可
详解：由题意得函数的最小正周期为
故选C
点睛：本题考查函数的最小正周期，解答此类问题时根据公式求解即可
9、A
【解析】分别考查函数的奇偶性和函数的单调性即可求得最终结果.
【详解】逐一考查所给的函数的性质：
A.，函数为偶函数，在区间上单调递减；
B.，函数为非奇非偶函数，在区间上单调递增；
C.，函数为奇函数，在区间上单调递减；
D.，函数为偶函数，在区间上单调递增；
据此可得满足题意的函数只有A选项.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10、B
【解析】令，则的图像如图所示，

不经过第二象限，故选B.
考点：1、指数函数图像；2、特例法解题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得.
【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是，
函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，
于是得在是单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
12、 ①. ②.
【解析】利用辅助角公式可将问题转化为在上直线与三角函数图象的恰有三个交点，利用数形结合可确定的取值；由的取值可求得的取值集合，从而确定的值，进而得到结果.
【详解】，
方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点，

由图象可知：当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
即实数的取值集合为；
，或，
即或，
此时，，，.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：本题考查与三角函数有关的方程根的个数问题，解决方程根的个数的基本思路是将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.
13、
【解析】解不等式组即得解.
【详解】解：由题得且,
所以函数的定义域为.
故答案为：
14、①②④
【解析】首先需要对命题逐个分析，利用三角函数的相关性质求得结果.
【详解】对于①，，所以两个函数的图象相同，所以①对；
对于②，
，所以最小正周期是，所以②对；
对于③，因为，所以，，，
因为，所以函数的图象不关于直线对称，所以③错，
对于④，，
当时，，
所以函数在区间上是减函数，所以④对，
故答案为①②④
【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有利用诱导公式化简函数解析式，余弦函数的周期，正弦型函数的单调性，属于简单题目.
15、
【解析】由对数的真数大于零、二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得答案
【详解】由题意得
，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
16、
【解析】由相互独立事件的性质和定义求解即可
【详解】因为，是相互独立事件，所以，也是相互独立事件，
因为，，
所以，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）由可知，区间是不等式解集的子集，由此可得出实数的不等式，解出即可；
（Ⅱ）由题意可知，，则，令，可得出，令，对实数的取值范围进行分类讨论，先讨论方程的根的个数及根的范围，进而得出方程的根个数，由此可得出结论.
【详解】（Ⅰ），，
对任意的实数，恒有成立，
则区间是不等式解集的子集，，解得，
因此，实数的取值范围是；
（Ⅱ），由题意可知，，，
令，得，令，
则，作出函数和函数在时的图象如下图所示：

作出函数在时的图象如下图所示：

①当或时，即当或时，方程无实根，
此时，函数无零点；
②当时，即当时，方程根为，
而方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；
③当时，即当时，方程有两根、，
且，，
方程在区间上有两个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有四个零点；
④当时，即当时，方程有两根分别为、，
方程在区间上只有一个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有三个零点；
⑤当时，即当时，方程只有一个实根，且，
方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；
⑥当时，即当时，方程只有一个实根，
方程在区间上只有一个实根，此时，函数只有一个零点.
综上所述，当或时，函数无零点；
当时，函数只有一个零点；
当或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点；
当时，函数有四个零点.
【点睛】本题考查利用二次不等式求参数，同时也考查了复合型二次函数的零点个数的分类讨论，解题时要将函数分解为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.
18、（1）2，
（2）或
（3）存在，
【解析】（1）由三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数性质可求得答案；
（2）将问题转化为函数与函数在上只有一个交点.由函数的单调性和最值可求得实数的取值范围；
（3）由（1）可知，由已知得，成立，令，其对称轴，分，，讨论函数的最小值，建立不等式，求解即可.
【小问1详解】
解：由得.
令，解得，
∴函数的最大值为2，此时；
【小问2详解】
解：方程在上有且有一个解，即函数与函数在上只有一个交点.
∵，∴.
∵函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，.
∴或；
【小问3详解】
解：由（1）可知，∴.
实数满足对任意，都存在，使得成立，即成立，
令，其对称轴，∵，
∴①当时，即，，∴；
②当，即时，，∴；
③当，即时，，∴.
综上可得，存在满足题意的实数，的取值范围是.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）利用基本不等式可求得的最小值；
（2）将角度化为弧度，再将弧度化为的形式即可.
【详解】解：（1）因为，，，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为；
（2），.
20、 (1) （2）田忌按或的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大
【解析】（1）齐王与田忌赛马，有六种情况，田忌获胜的只有一种，故田忌获胜的槪率为.（2）因齐王第一场必出上等马，若田忌第一场必出上等马或中等马，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马，在余下的两场比赛中，田忌获胜的概率为（余下两场是齐王的中马对田忌上马和齐王的下马对田忌的上马；齐王的中马对田忌下马和齐王的下马对田忌的中马，前者田忌赢，后者田忌输）
解析：记与比赛为，其它同理.
（1）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
；；
；；
；；
其中田忌获胜的只有一种：.故田忌获胜的槪率为.
（2）已知齐王第一场必出上等马，若田忌第一场必出上等马或中等马，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马，后两场有两种情形：
①若齐王第二场派出中等马，可能的对阵为：或.田忌获胜的概率为，
②若齐王第二场派出下等马，可能的对阵为：或.田忌获胜的概率也为.
所以，田忌按或的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大.
21、 (1) ;(2) .
【解析】⑴满足函数有意义的条件为，求出结果即可；⑵根据已知条件及并集的运算法则可得结果；
解析：（1)要使函数有意义，
则要，得.
所以.
（2）∵，∴