黑龙江省佳木斯中学2025年高二上数学期末综合测试试题含解析.doc

黑龙江省佳木斯中学2025年高二上数学期末综合测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线：和圆的位置关系是（）
A.相离 B.相切或相交
C.相交 D.相切
2．设等差数列，的前n项和分别是，若，则（）
A. B.
C. D.
3．下列函数的求导正确的是（）
A. B.
C. D.
4．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）海里.

A. B.
C. D.10
5．已知双曲线C：(a>0，b>0)，斜率为的直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为P(2，4)，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
6．已知四棱锥，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.椭圆的一部分
C.圆 D.不完整的圆
7．若两直线与互相垂直，则k的值为（ ）
A.1 B.-1
C.-1或1 D.2
8．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（）
A.-1 B.1
C.-3 D.3
9．如图，在棱长为2的正方体中，点P在截面上（含边界），则线段的最小值等于（）

A. B.
C. D.
10．下列抛物线中，以点为焦点的是（ ）
A. B.
C. D.
11．在直三棱柱中，侧面是边长为的正方形，，，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
12．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（）
A.24 B.22
C.20 D.16
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线的准线方程为_____
14．双曲线的渐近线方程是____________
15．已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是______
16．已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）求满足下列条件的圆锥曲线方程的标准方程.
（1）经过点，两点的椭圆；
（2）与双曲线－＝1有相同的渐近线且经过点 的双曲线.
18．（12分）已知数列的前n项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前n项和
19．（12分）已知数列的通项公式为：，其中．记为数列的前项和
（1）求，；
（2）数列的通项公式为，求的前项和
20．（12分）已知函数.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数在上的单调性.
21．（12分）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点

（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值
22．（10分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答
①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直
问题：已知直线过点M（3，5），且______
（1）求的方程；
（2）若与圆相交于点A、B，求弦AB的长
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，直线的斜率存在，故可知直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系
【详解】圆C：x2+y2﹣2y＝0可化为x2+（y﹣1）2＝1
∴圆心为（0，1），半径为1
∵直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上且直线的斜率存在
∴直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系是相交，
故选C
【点睛】本题考查的重点是直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线恒过定点，此题易误选B，忽视直线的斜率存在
2、C
【解析】结合等差数列前项和公式求得正确答案.
【详解】依题意等差数列，的前n项和分别是，
由于，
故可设，，
当时，，
，
所以，
所以.
故选：C
3、B
【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B
4、C
【解析】分别在和中，求得的长度，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，可得，
所以，
在中，可得，
在直角中，因为，所以，
在中，由余弦定理可得
，
所以.
故选：C.

5、C
【解析】设，代入双曲线方程相减后可求得，从而得渐近线方程
【详解】设，则，相减得，
∴，又线段的中点为P(2，4)，的斜率为1，
∴，，∴渐近线方程为
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的渐近线方程，已知弦的中点（或涉及到中点），可设弦两端点的坐标，代入双曲线方程后作差，作差后式子中有直线的斜率，弦中点坐标，有．这种方法叫点差法
6、D
【解析】根据题意，分析得动点满足的条件，结合圆以及椭圆的方程，以及点的限制条件，即可判断轨迹.
【详解】因为平面PAB，平面PAB，则//，
又面面，故可得；
因为，故可得，
则，
综上所述：动点在垂直的平面中，且满足；
为方便研究，不妨建立平面直角坐标系进行说明，
在平面中，因为，以中点为坐标原点，
以为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下所示：

因为，故可得，
整理得：，
故动点的轨迹是一个圆；
又当三点共线时，几何体不是空间几何体，
故动点的轨迹是一个不完整的圆.
故选：.
【点睛】本题考察立体几何中动点的轨迹问题，处理的关键是利用立体几何知识，找到动点满足的条件，进而求解轨迹.
7、B
【解析】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可.
【详解】由，因此直线的斜率为，
直线的斜率为，
因为两直线与互相垂直，
所以，
故选：B
8、B
【解析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.
【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，
所以，，所以且，即.
故选：B.
9、B
【解析】根据体积法求得到平面的距离即可得
【详解】由题意的最小值就是到平面的距离
正方体棱长为2，则，，
设到平面的距离为，由得
，解得
故选：B
10、A
【解析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程.
【详解】∵抛物线为，
∴可设抛物线方程为，
∴即，
∴抛物线方程为，
故选：A.
11、C
【解析】分析得出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角.
【详解】由题意可知，，因为，，则，，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则点、、、，，，
，
因此，异面直线与所成的角为.
故选：C.
12、A
【解析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.
【详解】设直线，的斜率分别为，
由抛物线的性质可得，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程
【详解】由抛物线方程可知，抛物线的准线方程为：
故答案为
【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题
14、
【解析】由双曲线的方程可知，，即可直接写出其渐近线的方程.
【详解】由双曲线的方程为，可知，；
则双曲线的渐近线方程为.
故答案：.
15、
【解析】分析可知，由可求得结果.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由题意可知，.
故答案为：.
16、
【解析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数计算最值作答.
【详解】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且，
于是得，
因，则当时，，
所以的最大值为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）
【解析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程，
（2）由题意设双曲线的共渐近线方程为,再将的坐标代入方程可求出的值，从而可求出双曲线方程
【小问1详解】
因为，
所以P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设与双曲线共渐近线的方程为,
代入点，解得m=2,
所以双曲线的标准方程为
18、（1）；（2）
【解析】（1）将代入可求得.根据通项公式与前项和的关系,可得数列为等比数列,由等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）可得数列的通项公式,代入中,结合裂项法求和即可得前n项和.
【详解】（1）当时,由得；
当时,由
得
是首项为3,公比为3的等比数列

当,满足此式
所以
（2）由（1）可知

,

【点睛】本题考查了通项公式与前项和的关系,裂项法求和的应用,属于基础题.
19、（1）；；
（2）.
【解析】（1）验证可知数列是以为周期的周期数列，则，；
（2）由（1）可求得，利用错位相减法可求得结果.
【小问1详解】
当时，；当时，；当时，；
数列是以为周期的周期数列；
，；
【小问2详解】
由（1）得：，，
，
，
两式作差得：.
20、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）求出导函数后计算得斜率，由点斜式得直线方程并整理；
（2）求出导函数，然后分类讨论它在上的正负得单调性
【小问1详解】
当时，，则，
故切线的斜率.
又.
所以函数在处的切线方程为：.
【小问2详解】
由，得
①当时，在上单调递减；
②当时，在上单调递减；
③当时，令，得
当时，在上单调递减；
当时，在单调递增；
④当时，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增.
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）证明，则，可证明，由平面，可得，再由线面垂直的判定定理即可求证；
（2）连结，可知，所以或其补角即为异面直线与所成的角，在中由余弦定理计算的值即可求解.
【小问1详解】
在正方形中，，分别为棱，的中点，
则，，，
所以，则，
所以，
即，
又因为平面，面，所以，
因为，所以平面
【小问2详解】
连结，，可知，
所以或其补角即为异面直线与所成的角，
令，则，，，
在中，由余弦定理可得：，
故异面直线与所成角的余弦值为.

22、（1）
（2）
【解析】(1)可依次根据直线方程的点斜式、“两直线平行，斜率相等”、“两直线垂直，斜率相乘为－1”求直线l的方程；
(2)利用垂径定理即可求圆的弦长.
【小问1详解】
选条件①：
∵直线过点(3，5)及(－1，2)，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
选条件②：
∵直线的斜率为，
直线与直线平行，∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为；
即；
选条件③：
∵直线的斜率为，
直线与直线垂直，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
【小问2详解】

圆心为(2，3)，半径为2，
圆心到直线的距离为
∴