江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2025-2026学年数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2025-2026学年数学高一上期末质量跟踪监视试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直线，圆．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为．当四边形面积最小时，直线方程是（）
A. B.
C. D.
2．已知，则
A. B.
C. D.
3．已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若是的一个单调区间，则的最大值为
A.18 B.17
C.15 D.13
4．已知集合，，则
A. B.
C. D.
5．命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
6．函数，则的大致图象是（）
A. B.
C. D.
7．设集合，3，，则正确的是　　
A.3， B.3，
C. D.
8．已知函数若，则实数的值是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
9．函数的定义域为（）
A B.
C. D.
10．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下（单位：）：
甲：9，10，11，12，10，20；
乙：8，14，13，10，12，21.
根据所抽取的甲、乙两种麦苗的株高数据，给出下面四个结论，其中正确的结论是（）
A.甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值
B.甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差
C.甲种麦苗样本株高的75%分位数为10
D.甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11． =___________
12．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:
①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)
13．若函数满足以下三个条件：①定义域为R且函数图象连续不断；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个符合要求的函数___________.
14．已知扇形的弧长为，半径为1，则扇形的面积为___________.
15．幂函数的图像在第___________象限.
16．已知半径为3的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为 ________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数
18．已知函数是R上的奇函数.
（1）求a的值，并判断的单调性；
（2）若存在，使不等式成立，求实数b的取值范围.
19．如图1所示，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使如图2所示.

（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）线段上是否存在点，使平面？请说明理由.
20．已知函数的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上.
（1）求实数a的值；
（2）若函数有两个零点，求实数b的取值范围.
21．定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，求实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】求得点C到直线l的距离d ，根据，等号成立时，求得点P，进而求得过的圆的方程，与已知圆的方程联立求解.
【详解】设点C到直线l的距离为，
由，
此时，，
方程为，即，
与直线联立得，
因为共圆，其圆心为，半径为，
圆的方程为,
与联立，
化简整理得，
答案：B
2、D
【解析】
考点：同角间三角函数关系
3、D
【解析】由已知可得，结合，得到（），再由是的一个单调区间，可得T，即，进一步得到，然后对逐一取值，分类求解得答案
【详解】由题意，得，∴，
又，∴（）
∵是一个单调区间，∴T，即，
∵，∴，即
①当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，
∴不符合题意；
②当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，
∴不符合题意；
③当，即时，，，∴，
∵，∴，此时在上单调递增，
∴符合题意，故选D
【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性，对周期的影响，零点与对称轴之间的距离与周期的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合选项逐步对系数进行讨论是解决该题的关键，属于中档题.
4、C
【解析】先写出A的补集，再根据交集运算求解即可.
【详解】因为，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于容易题.
5、C
【解析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，
考点：全称命题与特称命题
6、D
【解析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论
【详解】，为偶函数，排除BC，
又时，，时，，排除A，
故选：D
7、D
【解析】根据集合的定义与运算法则，对选项中的结论判断正误即可
【详解】解：集合，3，，
则，选项A错误；
2，3，，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确
故选D
【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，属于基础题
8、B
【解析】根据分段函数分段处理的原则，求出，
代入即可求解.
【详解】由题意可知，，，
又因为，所以，解得.
故选：B.
9、D
【解析】由函数解析式可得关于自变量的不等式组，其解集为函数的定义域.
【详解】由题设可得：，故，
故选：D.
10、B
【解析】对A，由平均数求法直接判断即可；由极差概念可判断B，结合百分位数概念可求C；将甲乙两组数据排序，可判断D.
【详解】甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，故A错误；
甲种麦苗样本株高的极差为11，乙种麦苗样本株高的极差为13，故B正确；
，故甲种麦苗样本株高的75%分位数为第5位数，为12，故C错误；
甲种麦苗样本株高的中位数为，乙种麦苗样本株高的中位数为，故D错误.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】tan240°=tan（180°+60°）=tan60°=，故答案为：
12、②③##③②
【解析】画出的图象，即可判断四个选项的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.

故答案为：②③
13、（答案不止一个）
【解析】根据偶函数和零点的定义进行求解即可.
详解】函数符合题目要求，理由如下：
该函数显然满足①；
当时，，所以有，
当时，，所以有，因此该函数是偶函数，所以满足②
当时，，或，
当时，，或舍去，所以该函数有3个零点，满足③，
故答案为：
14、##
【解析】利用扇形面积公式进行计算.
【详解】即，，由扇形面积公式得：.
故答案为：
15、【解析】根据幂函数的定义域及对应值域，即可确定图像所在的象限.
【详解】由解析式知：定义域为，且值域，
∴函数图像在一、二象限.
故答案为：一、二.
16、
【解析】由扇形的面积公式直接求解.
【详解】由扇形面积公式，
可得圆心角，
故答案为：.
【点睛】(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷
(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，
（2）利用函数单调性的定义证明，先取值，再作差变形，判断符号，然后得出结论
【详解】解：（1）根据题意，函数为偶函数，
证明：，其定义域为，
有，则是偶函数；
（2）证明：设，
则，
又由，则，
必有，
故在上是减函数
18、（1），为上的增函数；
（2）.
【解析】（1）由奇函数的定义即可求解的值，因为，所以由复合函数单调性的判断法则即可判断的单调性；
（2）由题意，原问题等价于，令，则，利用二次函数的性质可求得的最小值，从而即可得答案.
【小问1详解】
解：∵函数是R上的奇函数，
∴，即对任意恒成立，
∴，
∵，
又在上单调递增且，且在单调递增，
所以为上的增函数；
【小问2详解】
解：由已知在内有解，即在有解，
令，则，
因为在上单调递减，
所以，
所以，
所以实数b的取值范围为.
19、（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）∵DE∥BC，由线面平行的判定定理得出
（2）可以先证，得出，∵ ∴
∴
(3)Q为的中点，由上问 ，易知,取 中点P，连接DP和QP，不难证出，∴∴ ,又∵∴
20、（1）
（2）
【解析】（1）由函数图象的平移变换可得点A坐标，然后代入函数可解；
（2）将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作图可解.
【小问1详解】
函数的图象可由指数函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到.
因为函数的图象过定点，故函数的图象恒过定点，
又因为A点在图象上，则
∴解得
【小问2详解】
，
若函数有两个零点，则方程有两个不等实根，
令，，则它们的函数图象有两个交点，
由图可知：，故b的取值范围为.

21、
【解析】结合奇函数性质以及单调性，去掉外层函数，变成一元二次不等式进行求解.
【详解】由题即
根据奇函数定义可知原不等式为
又因为单调递减函数，故，解得或
又因为函数定义域为故，解得,
所以
综上得的范围为.