2025年江苏省常熟中学高一数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2025年江苏省常熟中学高一数学第一学期期末质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设常数使方程在区间上恰有三个解且，则实数的值为（　　）
A. B.
C. D.
2．以下四组数中大小比较正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则的最大值是 (　　)
A. B.2
C.4 D.
4．已知函数，则的（ ）
A.最小正周期，最大值为 B.最小正周期为，最大值为
C.最小正周期为，最大值为 D.最小正周期为，最大值为
5．已知，，，则()
A. B.
C. D.
6．已知方程的两根分别为、，且、，则
A. B.或
C.或 D.
7．函数部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
8．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为(　　)

A.2 B.
C.2 D.4
9．定义在上的函数，当时，，若，则、、的大小关系为（）
A. B.
C. D.
10．函数的单调递减区间为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是________________ .
12．给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____
13．计算 _______.
14．已知是第四象限角，，则______
15．经过点作圆的切线，则切线的方程为__________
16．已知函数是偶函数，则实数的值是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数部分图象如图所示，点为函数的图象与y轴的一个交点，点B为函数图象上的一个最高点，且点B的横坐标为，点为函数的图象与x轴的一个交点

（1）求函数的解析式；
（2）已知函数的值域为，求a，b的值
18．已知函数，其中是自然对数的底数，
（1）若函数在区间内有零点，求的取值范围；
（2）当时，，，求实数的取值范围
19．已知函数的图象过点与点.
（1）求，的值；
（2）若，且，满足条件的的值.
20．已知函数（其中），函数（其中）.
（1）若且函数存在零点，求的取值范围；
（2）若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
21．已知定义域为D的函数，若存在实数a，使得，都存在满足，则称函数具有性质.
（1）判断下列函数是否具有性质，说明理由；①；②，.
（2）若函数的定义域为D，且具有性质，则“存在零点”是“”的___________条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
（3）若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】解：分别作出y=cosx，x∈（，3π）与y=m的图象，如图所示，结合图象可得则﹣1＜m＜0，故排除C，D，再分别令m=﹣，m=﹣，求出x1，x2，x3，验证x22=x1•x3是否成立；
【详解】解：分别作出y=cosx，x∈（，3π）与y=m的图象，如图所示，方程cosx=m在区间（，3π）上恰有三个解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣1＜m＜0，故排除C，D，
当m=﹣时，此时cosx=﹣在区间（，3π），
解得x1=π，x2=π，x3=π，
则x22=π2≠x1•x3=π2，故A错误，
当m=﹣时，此时cosx=﹣在区间（，3π），
解得x1=π，x2=π，x3=π，
则x22=π2=x1•x3=π2，故B正确，

故选B
【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合的思想和函数与方程的思想，属于中档题.
2、C
【解析】结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解
详解】对A，，故，错误；
对B，在第一象限为增函数，故，错误；
对C，为增函数，故，正确；
对D，，，故，错误；
故选：C
【点睛】本题考查根据指数函数，对数函数，幂函数性质比较大小，属于基础题
3、B
【解析】,则,则的最大值是2,故选B.
4、B
【解析】利用辅助角公式化简得到，求出最小正周期和最大值.
【详解】
所以最小正周期为,最大值为2.
故选：B
5、A
【解析】比较a、b、c与中间值0和1的大小即可﹒
【详解】，
，
，
∴﹒
故选：A﹒
6、D
【解析】将韦达定理的形式代入两角和差正切公式可求得，根据韦达定理可判断出两角的正切值均小于零，从而可得，进而求得，结合正切值求得结果.
【详解】由韦达定理可知：，

又，
，

本题正确选项：
【点睛】本题考查根据三角函数值求角的问题，涉及到两角和差正切公式的应用，易错点是忽略了两个角所处的范围，从而造成增根出现.
7、A
【解析】根据函数的解析式可判断函数为奇函数，再根据函数的零点个数可得正确的选项.
【详解】因为，所以为奇函数，
图象关于原点对称，故排除B；
令，即，解得，即只有一个零点，故排除C，D
故选：A
8、D
【解析】由斜二测画法原理，把该梯形的直观图还原为原来的梯形，结合图形即可求得面积
【详解】由斜二测画法原理，把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；

设该梯形的上底为a，下底为b，高为h，
则直观图中等腰梯形的高为h′＝hsin45°；
∵等腰梯形的体积为（a+b）h′＝（a+b）•hsin45°＝ ，
∴（a+b）•h＝＝4，∴该梯形的面积为4
故选D
【点睛】本题考查了平面图形的直观图的还原与求解问题，解题时应明确直观图与原来图形的区别和联系，属于基础题
9、C
【解析】令，求得，得到是奇函数，再令，证得在上递减判断.
【详解】因为，
令，得，解得，
令，得，
所以是奇函数，
因时，，则，，
令，
则，，
且，
则，，
所以，即，
即，
所以在上递减，
，
因为，
所以，
故选：C
10、C
【解析】由幂函数的性质知，函数的图像以原点为对称中心，在均是减函数
故答案为C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】因为奇函数的定义域为，若在上单调递减，所以在定义域上递减，且，所以 解得，故填.
点睛：利用奇函数及其增减性解不等式时，一方面要确定函数的增减性，注意奇函数在对称区间上单调性一致，同时还要注意函数的定义域对问题的限制，以免遗漏造成错误.
12、①③
【解析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可
【详解】对①，A＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；
对②，A＝R，B＝ (0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；
对③，A＝ (0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；
故答案为：①③
【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题
13、
【解析】利用指数的运算法则求解即可.
【详解】原式.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.
14、
【解析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，在利用诱导公式可求得结果.
【详解】因为是第四象限角，，则，
所以，.
故答案为：.
15、
【解析】点在圆上，由，则切线斜率为2，由点斜式写出直线方程.
【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，
故切线方程为，整理得
故答案为：
16、1
【解析】函数是偶函数，，即，解得，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】(1)根据图象可得函数的周期，利用求出，根据五点画图法求出，根据点A坐标求出A，进而得出解析式；
(2)根据三角函数的性质求出的值域，由（1）知，对的取值分类讨论，列出方程组，解之即可.
【小问1详解】
由函数的部分图象可知，函数的周期，
可得，
由五点画图法可知，可得，
有，
又由，可得，
故有函数的解析式为；
【小问2详解】
由（1）知，
函数的值域为
①当时，解得；
②当时，解得
由上知或
18、（1）；（2）.
【解析】（1）解法①：讨论或，判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可求解；解法②：将问题转化为在区间上有解，即e有解，讨论或解方程即可求解.
（2）解法①：分离参数可得，令，，求出的最大值即可求解；解法②：不等式转化为恒成立，令，，可得函数，，讨论或即可求解.
【详解】（1）解法①：当时，，没有零点；
当时，函数是增函数，
则需要，解得.
，
满足零点存在定理.
因此函数在区间内有一个零点
综上所述，的取值范围为.
解法②：的零点就是方程的解，
即在区间上有解
方程变形得，
当时，方程无解，
当时，解为，则，解得，
综上所述，的取值范围为
（2）解法①由题意知，，即
因为，则，
又，
令，，
则（当且仅当时等号成立），
所以，即的取值范围是.
解法②由题意知，，即，
令，，即，
当时，显然不成立，因此.
对于函数，，
，
则，解得，即m的取值范围是.
19、（1），；（2）.
【解析】(1)由给定条件列出关于，的方程组，解之即得；
(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.
【详解】（1）由题意可得，解得，，
（2）由（1）可得，而，且，
于是有，设，，
从而得，解得，即，解得，
所以满足条件的.
20、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围；
（2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围.
【小问1详解】
由题意知函数存零点，即有解.
又，
易知在上是减函数，又，，即，
所以，所以的取值范围是.
【小问2详解】
的定义域为，若是偶函数，则，
即解得.
此时，，
所以即为偶函数.
又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解，
即方程有且只有一个实根
令，则方程有且只有一个正根
①当时，，不合题意，
②当时，方程有两相等正根，则，
且，解得，满足题意；
③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，
综上所述：实数的取值范围为或.
【点睛】本题考察利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题.
21、（1）①不具有性质；②具有性质
（2）必要而不充分条件，理由见解析
（3）
【解析】（1）根据举例说明当时不存在；取可知具有性质.（2）分别从存在零点，证明.和若，具有性质时，.两个角度证明“存在零点”是“”的必要而不充分条件.（3）令函数的值域为，的值域.若函数有性质，则有对，使得成立，所以，分情况讨论的范围，从而求出的取值.
【小问1详解】
函数不具有性质.理由如下：
对于，因为，所以不存在满足.
所以函数不具有性质.
函数具有性质.理由如下：
对于，取，则.
因为，
所以函数具有性质.
【小问2详解】
必要而不充分理由如下：
①若存在零点，令，则.
因为，取，则，且.
所以具有性质，但.
②若，因为具有性质，
取，则存在使得.
所以，即存在零点.
综上可知，“存在零点”是“”的必要而不充分条件.
【小问3详解】
记函数的值域为，函数的值域.
因为存在唯一的实数，使得函数有性质，即存在唯一的实数，对，使得成立，所以.
①当时，，其值域.
由得.
②当，且时，是增函数，所以其值域
由得，舍去.
③当时，的最大值为，
最小值为4，
所以的值域.
由得，舍去.
当时，的最大值为，最小值为，
所以的值域.
由得（舍去）.