陕西省汉中市重点中学2026届数学高一第一学期期末统考试题含解析.doc

陕西省汉中市重点中学2026届数学高一第一学期期末统考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．命题：，的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2．下列函数在上是增函数的是　　
A. B.
C. D.
3．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数，若，则x的值是（）
A.3 B.9
C.或1 D.或3
5．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.是的一个周期
C.的图象关于点对称 D.的定义域是
6．已知集合，集合，则（）
A.0 B.
C. D.
7．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（）
A. B.
C.2 D.
8．设函数，点，，在的图像上，且．对于，下列说法正确的是（）
①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形
A①③ B.①④
C.②③ D.②④
9．若函数的三个零点分别是，且，则（　　）
A. B.
C. D.
10．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知过点的直线与轴，轴在第二象限围成的三角形的面积为3，则直线的方程为__________
12．已知且，若，则的值为___________.
13．正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是__

14．已知直线：，直线：，若，则__________
15．函数的最小值为________
16．设A为圆上一动点，则A到直线的最大距离为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求下列关于的不等式的解集：
（1）；
（2）
18．已知.
（1）指出函数的定义域，并求，，，的值；
（2）观察（1）中的函数值，请你猜想函数的一个性质，并证明你的猜想；
（3）解不等式：.
19．已知.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求的值.
20．（1）化简与求值：lg5＋lg2＋＋21n（π-2）0：
（2）已知tanα＝3．求的值.
21．已知正三棱柱，是的中点

求证：（1）平面；
（2）平面平面
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定判断即可.
【详解】由全称量词命题与存在量词命题的否定，可知原命题的否定为，
故选：D
2、A
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，在区间上单调递增，符合题意；
对于B，，为指数函数，在区间上单调递减，不符合题意；
对于C，，为对数函数，在区间上单调递减，不符合题意；
对于D，反比例函数，在区间上单调递减，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查函数单调性的判断，属于基础题
3、A
【解析】先考虑函数在上是增函数，再利用复合函数的单调性得出求解即可.
【详解】设函数

在上是增函数
，解得
故选：A
【点睛】本题主要考查了由复合函数的单调性求参数范围，属于中档题.
4、A
【解析】分段解方程即可.
【详解】当时，，解得（舍去）；
当时，，解得或（舍去）.
故选：A
5、C
【解析】画出函数的图象，观察图象可解答.
【详解】画出函数的图象，易得的周期为 ，且是偶函数，定义域是，故A，B，D正确；
点不是函数的对称中心，C错误.
故选：C

6、B
【解析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.
【详解】由题意，集合，，∴.
故选：B
7、A
【解析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.
【详解】由得，
∴.
故选：A.
8、A
【解析】结合，得到，所以一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到，可判定③正确，④不正确.
【详解】由题意，函数为单调递增函数，
因为点，，在的图像上，且，
不妨设，
可得，
则，
因为，可得，

又由因为，，，，
所以，
所以
所以，所以一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；
由两点间的距离公式，可得，
根据指数函数和一次函数的变化率，可得点到的变化率小于点到点的变化率不相同，所以，所以不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.
故选：A.
9、D
【解析】利用函数的零点列出方程，再结合，得出关于的不等式，解之可得选项
【详解】因为函数的三个零点分别是，且，
所以，，解得，
所以函数，
所以，又，所以，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查函数的零点与方程的根的关系，关键在于准确地运用零点存在定理
10、A
【解析】根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可.
【详解】根据函数平移变换,由变换为,
只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设直线l的方程是y=k（x-3）+4，
它在x轴、y轴上的截距分别是﹣+3，-3k+4，
且﹣+3<0, -3k+4>0
由已知，得（-3k+4）（﹣3）=6，
解得k1=或k2=
所以直线l的方程为：
故答案为
12、##
【解析】根据将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算性质即可得解.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：.
13、（，+∞）
【解析】由正三棱锥可得四边形EFGH为矩形，并可得其边长与三棱锥棱长关系，从而可得面积S的范围.
【详解】∵棱锥P﹣ABC为底面边长为1的正三棱锥
∴AB⊥PC

又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，
∴EH//FG//AB 且EH＝FGAB，
EF//HG //PC且EF＝HGPC
则四边形EFGH为一个矩形
又∵PC，∴EF，
∴S= EFEH，
∴四边形EFGH的面积S的取值范围是（，+∞），
故答案为:（，+∞）
三、
14、1
【解析】根据两直线垂直时，系数间满足的关系列方程即可求解.
【详解】由题意可得：，解得：
故答案为：
【点睛】本题考查直线垂直的位置关系，考查理解辨析能力，属于基础题.
15、##
【解析】用辅助角公式将函数整理成的形式，即可求出最小值
【详解】，，所以最小值为
故答案为：
16、
【解析】求出圆心到直线的距离，进而可得结果.
【详解】依题意可知圆心为，半径为1.
则圆心到直线距离，
则点直线的最大距离为.
故答案：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；
（2）答案见解析.
【解析】（1）将原不等式变形为，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集；
（2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集.
【小问1详解】
解：由得，解得或，
故不等式的解集为或.
【小问2详解】
解：当时，原不等式即为，该不等式的解集为；
当时，，原不等式即为.
①若，则，原不等式的解集为或；
②若，则，原不等式的解集为或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式解集为或.
18、（1）的定义域;;;;;（2）详见详解;（3）
【解析】（1）根据真数大于零,列出不等式组,即可求出定义域;代入函数解析式求出,,,的值.
（2）与,与关系,猜想是奇函数,利用奇函数的定义可证明.
（3）求出,由对数的运算性质和对数的单调性即可得到所求.
【详解】（1）要使函数有意义须,
函数的定义域是；
;;
;.
（2）由从（1）得到=,=,猜想是奇函数,以下证明：
在上任取自变量,
所以是奇函数.
（2）
所以，原不等式等价于

所以原不等式的解集为
【点睛】本题考查函数的定义域的求法和奇偶性的判断与证明,考查不等式的解法,注意应用函数的单调性转化不等式,求解不等式不要忽略了定义域,是解题的易错点,属于中档题.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据诱导公式对进行化简即可
（2）先由求得，再根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解
【详解】（1）
（2），
，
∵ 是第二象限角，
∴，

【点睛】本题考查利用诱导公式进行化简，涉及利用同角三角函数关系由正弦值求余弦值，属综合基础题.
20、（1）；（2）-2
【解析】（1）利用根式和对数运算求解；
（2）利用诱导公式和商数关系求解.
【详解】解：（1），
，
，
；
（2）原式，
，
因为，
所以原式.
21、（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）连接，交于点，连结，由棱柱的性质可得点是的中点，根据三角形中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由正棱柱的性质可得平面，于是，再由正三角形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结论.
试题解析：（1）连接，交于点，连结，
因为正三棱柱，
所以侧面是平行四边形，
故点是的中点，
又因为是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面
（2）因为正三棱柱，所以平面，
又因为平面，所以，
因为正三棱柱，是的中点，
是的中点，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，
所以平面 平面

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直及面面垂直的证明，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题（1）是就是利用方法①证明的.