重庆市黔江新华中学校2025年数学高一上期末学业水平测试试题含解析.doc

重庆市黔江新华中学校2025年数学高一上期末学业水平测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，，下列不等式正确个数有（）
①，②，③，④.
A.1 B.2
C.3 D.4
2．函数的最小正周期是（ ）
A.π B.2π
C.3π D.4π
3．已知命题p：，，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
4．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数是偶函数，且，则（）
A. B.0
C.2 D.4
6．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）
A. B.
C. D.
7．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（　　）
A. B.
C. D.
8．若直线l1：2x+y-1=0与l2：y=kx-1平行，则l1，l2之间的距离等于（　　）
A. B.
C. D.
9．设，则
A. B.
C. D.
10．函数的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如果二次函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为________
12．写出一个周期为且值域为的函数解析式：_________
13．计算：_______
14．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.
15．函数的最小正周期是________.
16．已知函数，若，不等式恒成立，则的取值范围是___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）若正数a，b满足，求的最小值，并求出对应的a，b的值；
（2）若正数x，y满足，求的取值范围
18．（1）计算：.
（2）化简：.
19．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且
求二面角的正切值；
求三棱锥的体积

20．求值：
（1）；
（2）.
21．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）当时，讨论的单调性并求其值域
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由于，得，根据基本不等式对选项一一判断即可
【详解】因，，，
所以，得，当且仅当时取等号，②对；
由，当且仅当时取等号，①对；
由得，所以，当且仅当时取等号，③对；
由，当且仅当时取等号，④对
故选：D
2、A
【解析】化简得出，即可求出最小正周期.
【详解】，
最小正周期.
故选：A.
3、A
【解析】直接利用全称命题的否定即可得到结论
【详解】因为命题p：，，所以：，.
故选：A.
4、B
【解析】首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解；
【详解】解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.
故选：B
5、D
【解析】由偶函数定义可得，代入可求得结果.
【详解】为偶函数，
，
，

故选：D
6、D
【解析】函数分别是上的奇函数、偶函数,
，
由，得，
，
，
解方程组得，
代入计算比较大小可得.
考点：函数奇偶性及函数求解析式
7、A
【解析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再求出其对称中心，确定选项
【详解】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为
再向右平移个单位得到图象的解析式为
令，得，所以函数的对称中心为
观察选项只有A符合
故选A
【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高
8、B
【解析】根据两直线平行求得k的值，再求两直线之间的距离
【详解】直线l2的方程可化为kx-y-1=0，
由两直线平行得，k=-2；
∴l2的方程为2x+y+1=0，
∴l1，l2之间的距离为
故选B
【点睛】本题考查了直线平行以及平行线之间的距离应用问题，是基础题
9、B
【解析】函数在上单调递减，所以，函数在上单调递减，所以，所以，
答案为B
考点：比较大小
10、C
【解析】根据正弦型函数周期的求法即可得到答案.
【详解】
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】函数对称轴为，则由题意可得，解出不等式即可.
【详解】∵函数的对称轴为且在区间上是增函数，
∴，即.
【点睛】已知函数在某个区间上的单调性，则这个区间是这个函数对应单调区间的子集.
12、
【解析】根据函数的周期性和值域，在三角函数中确定一个解析式即可
【详解】解：函数的周期为，值域为,，
则的值域为,，
故答案为：
13、
【解析】求出的值，求解计算即可.
【详解】
故答案为：
14、
【解析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将
整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决.
【详解】由题意得，即或，
的图象如图所示，

关于的方程有5个不同的实数根，
则或，解得，
故答案为：
15、
【解析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可.
【详解】函数中，
.
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题.
16、
【解析】原问题等价于时，恒成立和时，恒成立，从而即可求解.
【详解】解：由题意，因为，不等式恒成立，
所以时，恒成立，即，所以；
时，恒成立，即，
令，则，
由对勾函数的单调性知在上单调递增，在上单调递减，
所以时，，
所以；
综上，.
所以的取值范围是.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）当且仅当时，取得最小值为18 ；（2）
【解析】（1）化简得，再利用基本不等式求最值；
（2）由题得，再解一元二次不等式得解.
【详解】（1）原式，
当且仅当时取等号，
所以最小值为18.
（2），
即，即，解得，
所以，当且仅当取等号
所以的取值范围为
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得；
（2）利用诱导公式及特殊值的三角函数值计算可得；
【详解】解：（1）

（2）

19、（1）2（2）
【解析】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正切值
三棱锥的体积，由此能求出结果
【详解】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，
由正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且
以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则3，，0，，0，，0，，
所以0，，3，，
其中平面ABD的法向量1，，
设平面的法向量y，，则，
取，得1，，
设二面角的平面角为，则，则，
则，所以二面角的正切值为2
由（1）可得平面，所以是三棱锥的高，且,
所以三棱锥的体积：

【点睛】本题主要考查了二面角的求解，及空间几何体的体积的计算，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解二面角问题是求解空间角的常用方法，同时注意“等体积法”在求解三棱锥体积中的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题
20、（1）112（2）3
【解析】（1）依据幂的运算性质即可解决；
（2）依据对数的运算性质及换底公式即可解决.
【小问1详解】

【小问2详解】

21、（1）
（2）时，单调递增，时，单调递减，值域为
【解析】（1）对化简后得到，利用求最小正周期；（2）整体法求解函数单调性及其值域.
【小问1详解】

所以的最小正周期为
【小问2详解】
当时，
故当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减
当时，，
所以，即的值域为