江苏省南京市秦淮中学2026届数学高一第一学期期末综合测试试题含解析.doc

江苏省南京市秦淮中学2026届数学高一第一学期期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的图像恒过定点，则的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
2．设，则“”是“”（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知，，且，则的最小值为（）
A.2 B.3
C.4 D.8
4．已知，则的大小关系为（）
A B.
C. D.
5．已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　）
A. B.
C. D.
6．如图，的斜二测直观图为等腰，其中，则原的面积为（）

A.2 B.4
C. D.
7．已知，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则（）
A.0 B.1
C.7 D.8
9．已知函数，，的图象的3个交点可以构成一个等腰直角三角形，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
10．函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）
A.16 B.8
C.4 D.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，均为锐角，，，则的值为______
12．声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）.声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的______倍.
13．化简的结果为______.
14．如图，矩形中，，，与交于点，过点作，垂足为，则______.

15．已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_________
16． “”是“”的______条件.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：（1）.
（2）（是自然对数的底数）.
18．已知函数，.
（1）在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：

0
2
0

0
完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；

（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的值域.
19．化简求值：
（1）；
（2）已知，求的值
20．设全集，集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围
21．已知函数，.
（1）求函数图形的对称轴；
（2）若，不等式的解集为，，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用指数函数的性质即可得出结果.
【详解】由指数函数恒过定点，
所以函数的图像恒过定点.
故选：D
2、A
【解析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.
【详解】由得，
由得，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3、C
【解析】根据条件,变形后，利用均值不等式求最值.
【详解】因为，
所以.
因为，，
所以，当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为4.
故选：C
4、B
【解析】观察题中，不妨先构造函数比较大小，再利用中间量“1”比较与大小即可得出答案.
【详解】由题意得，，
由函数在上是增函数可得，
由对数性质可知，，
所以，
故选:B
5、B
【解析】令，由此判断出正确选项.
【详解】令，则，故B选项符合.
故选：B
【点睛】本小题主要考查用图像表示角的范围，考查终边相同的角的概念，属于基础题.
6、D
【解析】首先算出直观图面积，再根据平面图形与直观图面积比为求解即可.
【详解】因为等腰是一平面图形的直观图，直角边，
所以直角三角形的面积是.
又因为平面图形与直观图面积比为，
所以原平面图形的面积是.
故选：D
7、A
【解析】先判断“”成立时，“”是否成立，反之，再看“”成立，能否推出“”，即可得答案.
【详解】“”成立时，，故“”成立，
即“”是“”的充分条件；
“”成立时，或，此时推不出“”成立，
故“”不是“”的必要条件，
故选：A.
8、D
【解析】根据函数的新定义求解即可.
【详解】由题意可知4－(－4)＝8.
故选：D.
9、C
【解析】先根据函数值相等求出，可得，由此可知等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，令底边的一个端点为，则另一个端点为，由此可知，可得，据此即可求出结果.
【详解】令和相等可得，即；
此时，即等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，
令底边的一个端点为，则另一个端点为，
所以，即，
当时，的最小值，最小值为
故选：C
10、A
【解析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
【详解】当时，，
所以函数的图像恒过定点
记，则有，解得
所以.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接利用两角的和的正切关系式，即可求出结果
【详解】已知，均锐角，，，则，
所以：，
故
故答案为
【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，以及两角和的正切关系式的应用，其中解答中熟记两角和的正切的公式，准确运算是解答的关键，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
12、1000
【解析】根据已知公式，应用指对数的关系及运算性质求60dB、30dB对应的声强，即可得结果.
【详解】由题设，，可得，
，可得，
∴声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的倍.
故答案为：1000.
13、0
【解析】由对数的运算求解即可.
【详解】
故答案为：
14、
【解析】先求得，然后利用向量运算求得
【详解】，
，
所以，

.
故答案为：
15、4
【解析】由题意可知，当时，有，所以，
所以
点睛：本题考查基本不等式的应用．本题中，关于的不等式恒成立，则当时，有，得到，所以．本题的关键是理解条件中的恒成立
16、充分不必要
【解析】解方程，即可判断出“”是“”的充分不必要条件关系.
【详解】解方程，得或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为充分不必要.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般转化为集合的包含关系来判断，考查推理能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）4.
【解析】（1）根据指数幂的运算法则逐一进行化简；
（2）根据对数幂的运算法则进行化简；
【详解】解：（1）原式；
（2）原式.
【点睛】指数幂运算的一般原则
（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
18、（1）答案见解析
（2）单调递增区间：，
（3）
【解析】(1)利用给定的角依次求出对应的三角函数值，进而填表，结合“五点法”画出图象即可；
(2)根据正弦函数的单调增区间计算即可；
(3)根据x的范围求出的范围，即可利用正弦函数的单调性求出函数的值域.
【小问1详解】

0

x

0
2
0
-2
0
函数图象如图所示，
【小问2详解】
令，，
得，.
所以函数的单调递增区间：，.
【小问3详解】
因为，所以.
所以.
当，即时，；
当，即时，.
所以函数在区间上的值域为.
19、（1）；（2）.
【解析】(1)根据指数与对数的运算公式求解即可；
(2)根据诱导公式，转化为其次问题进行求解即可.
【详解】(1)原式

.
(2)原式

.
20、（1）或；（2）
【解析】（1）由得到，然后利用集合的补集和交集运算求解.
（2）化简集合,根据,分和两种情况求解.
【详解】（1）当时，

或，
或.
（2）,
若,
则当时，,
不成立
，
解得，
的取值范围是.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）利用余弦的降幂扩角公式化简为标准正弦型函数，进而求解对称轴即可；
（2）求得函数在区间上的值域，以及绝对值不等式的解集，根据集合之间的包含关系，即可求得参数的取值范围.
【详解】（1）

，
解得：；
（2），，
，
又解得
而
，得.
【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及三角函数对称轴和值域的求解，涉及根据集合之间的关系求参数的取值范围，属综合中档题.