2025-2026学年安徽省淮北市濉溪中学数学高一上期末检测试题含解析.doc

2025-2026学年安徽省淮北市濉溪中学数学高一上期末检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设集合，则
A. B.
C. D.
2．已知函数（，且）的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（ ）
A. B.
C. D.
3．将的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则　　
A. B.
C. D.
4．已知角α的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
5．已知等边的边长为2，为内（包括三条边上）一点，则的最大值是
A.2 B.
C.0 D.
6．下列四个函数，最小正周期是的是（）
A. B.
C. D.
7．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏让沙漏在偏离平衡位置一定角度后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．设线长为，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，．若，要使沙漏摆动的最小正周期是，则线长约为（）

A.5m B.
C. D.20m
8．与-2022°终边相同的最小正角是（）
A.138° B.132°
C.58° D.42°
9．函数f(x)=ln(-x)-x-2的零点所在区间为（ ）
A.(-3，-e) B.(-4，-3)
C.(-e，-2) D.(-2，-1)
10．设函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数________________的图象，再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数________________的图象
12．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是_____________.

13．已知函数是定义在的偶函数，且当时，若函数有8个零点，分别记为，，，，，，，，则的取值范围是______.
14．已知，若，则________
15．若幂函数的图象经过点，则的值等于_________.
16．经过点作圆的切线，则切线的方程为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P=3-6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q=a+2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司的总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?
18．已知平面上点，且.
（1）求；
（2）若点，用基底表示.
19．已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
20．设，且.
（1）求a的值及的定义域；
（2）求在区间上的值域.
21．给出以下四个式子：
①；
②；
③；
④.
（1）已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个， 求出这个常数；
（2）分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】集合，根据元素和集合的关系知道
故答案为C
2、A
【解析】由题可得点，再利用三角函数的定义即求.
【详解】令，则，
所以函数（，且）的图象恒过点，
又角的终边经过点，
所以，
故选：A.
3、A
【解析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向左平移个单位，即可得到的图象，得解
【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，
再把所得图象向左平移个单位，得到，
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题
4、D
【解析】推导出，，，再由，求出结果
【详解】∵角的终边经过点，
∴，，，
∴
故选：D
5、A
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点P的坐标为，
则
故
令，则t表示内（包括三条边上）上的一点与点间的距离的平方．结合图形可得当点与点B或C重合时t可取得最大值，且最大值为，故的最大值为．选A
点睛：
通过建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可使得本题的解答代数化，在得到向量数量积的表达式后，根据表达式的特征再利用数形结合的思路求解是解题的关键，借助图形的直观性可容易得到答案
6、C
【解析】依次计算周期即可.
【详解】A选项：，错误；B选项：，错误；
C选项：，正确；D选项：，错误.
故选：C.
7、A
【解析】根据余弦函数的周期公式计算，即可求得答案.
【详解】因为函数最小正周期是，
故 ，即 ，
解得（m）,
故选：A
8、A
【解析】根据任意角的周期性，将-2022°化为，即可确定最小正角.
【详解】由-2022°，
所以与-2022°终边相同的最小正角是138°.
故选：A
9、A
【解析】先计算，，根据函数的零点存在性定理可得函数的零点所在的区间
【详解】函数，时函数是连续函数，
，
，
故有，根据函数零点存在性定理可得，
函数的零点所在的区间为，
故选：
【点睛】本题主要考查函数的零点存在性定理的应用，不等式的性质，属于基础题
10、C
【解析】根据函数的解析式，结合零点的存在定理，进行分类讨论判定，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，且的零点为，
即，解得，
又因为，
可得中，有1个负数、两个正数，或3个都负数，
若中，有1个负数、两个正数，
可得，即，
根据零点的存在定理，可得或；
若中，3个都是负数，则满足，
即，此时函数的零点.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】根据三角函数的图象变换可得变换后函数的解析式.
【详解】由三角函数的图象变换可知，
函数的图象先向右平移可得，
再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）可得，
故答案为：；
12、##
【解析】根据单位圆上点的坐标求出，从而求出，从而求出点P的纵坐标.
【详解】因为位于第一象限，且，故，所以，故，所以点P的纵坐标
故答案为：
13、
【解析】由偶函数的对称性，将转化为，再根据二次函数的对称性及对数函数的性质可进一步转化为，结合利用二次函数的性质即可求解.
【详解】解：因为函数有8个零点，
所以直线与函数图像交点有8个，如图所示：

设，
因为函数是定义在的偶函数，
所以函数的图像关于轴对称，
所以，且由二次函数对称性有，
由有，
所以
又，所以，
所以，
故答案为：.
14、1
【解析】由已知条件可得，构造函数，求导后可判断函数在上单调递增，再由，得，从而可求得答案
【详解】由题意得，
，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，
所以，所以，
故答案为：1
15、
【解析】设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可求解.
【详解】设，函数图像经过，
可得，解得，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
16、
【解析】点在圆上，由，则切线斜率为2，由点斜式写出直线方程.
【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，
故切线方程为，整理得
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）43.5(万元)；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元.
【解析】（1）直接代入收益公式进行计算即可.
（2）由收益公式写出f(x)=-x+3+26，令t=，将函数转为关于t的二次函数求最值即可.
【详解】（1）当x=50时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元，所以公司的总收益为
3-6+×70+2=43.5(万元).
（2）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资(120-x)万元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，
依题意得解得40≤x≤80.
故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).
令t=，则t∈[2，4]，
所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.
当t=6，即x=72万元时，y的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.
【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数最值的求解，属于基础题.
18、（1）；（2）
【解析】（1）设，根据向量相等的坐标表示可得答案；
（2）设，建立方程，解之可得答案
【详解】解：（1）设，由点，所以，
又，所以，解得所以点，所以；
（2）若点，所以，，
设，即，解得
所以用基底表示
19、（1）
（2）或
【解析】(1)根据奇偶函数的定义可得，列出方程，结合对数运算公式解方程即可；
(2)根据指数、对数函数的性质求出函数，进而得到，解不等式即可.
【小问1详解】
∵是偶函数，
∴，
即，∴
【小问2详解】
由(1)知，
∴
又由
解得，
∴当且仅当x=0时等号成立，
∴
∴
又∵恒成立，
∴
∴m≤－1或m≥3
20、（1），；（2）
【解析】（1）由代入计算可得的值，根据对数的真数大于零，求出函数的定义域；
（2）由（1）可知，设，则，由的取值范围求出的范围，即可求出的值域；
【详解】解：（1）∵，∴，∴，
则由，解得，即，所以的定义域为
（2），设，则，，当时，，
而，，∴，，

所以在区间上的值域为
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，对数型复合函数的值域，属于中档题.
21、（1）；（2）见解析
【解析】分析：(1)利用第二个式子，结合同角三角函数的平方关系，以及正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，求得结果；
(2)根据题中所给的角之间的关系，归纳推理得到结果，证明过程应用相关公式证明即可.
详解：（1） .
（2）.
证明如下：

.
点睛：该题考查是有关三角公式的问题，涉及到的知识点有同角三角函数的关系式，正弦的倍角公式，余弦的差角公式等，正确使用公式是解题的关键.