安徽省合肥市庐江第三中学2025年数学高二上期末教学质量检测试题含解析.doc

安徽省合肥市庐江第三中学2025年数学高二上期末教学质量检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（）
A.有最小值 B.有最大值
C.有最小值 D.有最大值
4．直线的倾斜角的大小为
A. B.
C. D.
5．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（ ）
A. B.
C. D.
6．过双曲线（，）的左焦点作圆：的两条切线，切点分别为，，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
7．，则与分别为（）
A.与 B.与
C.与0 D.0与
8．如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
9． “﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的（）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
10．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的可能为（）

A.9 B.5
C.4 D.3
11．已知直线l：，则下列结论正确的是（）
A.直线l的倾斜角是
B.直线l在x轴上的截距为1
C.若直线m：，则
D.过与直线l平行的直线方程是
12．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（ ）
A.0.0689 B.0.049
C.0.0248 D.0.02
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知A，B为x，y正半轴上的动点，且，O为坐标原点，现以为边长在第一象限做正方形，则的最大值为___________.
14．命题“若，则”的否命题为______
15．已知直线和平面，且；①若异面，则至少有一个与相交；②若垂直，则至少有一个与垂直；对于以上命题中，所有正确的序号是___________.
16．等差数列中，若，，则______，数列的前n项和为，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：

（1）求的值；
（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；
（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：
纤维长度
小于30mm
大于等于30mm，小于40mm
大于等于40mm
等级
二等品
一等品
特等品
从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.
18．（12分）在数列中，，，
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
19．（12分）中，角A，B，C所对的边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
20．（12分）已知圆，是圆上一点，过A作直线l交圆C于另一点B，交x轴正半轴于点D，且A为的中点.
（1）求圆C在点A处的切线方程；
（2）求直线l的方程.
21．（12分）在①，；②，；③，.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：已知数列的前n项和为，，___________.
（1）求数列的通项公式
（2）已知，求数列的前n项和.
22．（10分）已知椭圆 C：，右焦点为 F(，0) ，且离心率为

（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且直线 MN 与圆 O：相切，若 T 为弦 MN的中点，求|OT||MN|的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由，结合基本不等式可得，由此可得，由此说明“”是“”的充分条件，再通过举反例说明“”不是“”的必要条件，由此确定正确选项.
【详解】∵ ，
∴ （当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），
∴ （当且仅当时等号成立），
若，则，
∴ ，
所以“”是“”的充分条件，
当时，，此时，
∴“”不是“”的必要条件，
∴“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
2、B
【解析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
3、C
【解析】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论.
【详解】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为
长方体的底面相邻两边分别为，
，当且仅当时，等号成立，
.
故选:C.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题.
4、A
【解析】考点：直线的倾斜角
专题：计算题
分析：因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以欲求直线的倾斜角，只需求出直线的斜率即可，把直线化为斜截式，可得斜率，问题得解
解答：解：∵x-y+1=0可化为y=x+，
∴斜率k=
设倾斜角为θ，则tanθ=k=，θ∈[0，π）
∴θ=
故选A
点评：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于直线方程的基础题型，需要学生对基础知识熟练掌握
5、B
【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，
其中和为偶数的有共种，
所以所求的概率为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
6、C
【解析】根据，，可以得到，从而得到与的关系式，再由，，的关系，进而可求双曲线的渐近线方程
【详解】解：由，，
则
是圆的切线，，
，，所以，
因为双曲线的渐近线方程为，即为

故选：C
7、C
【解析】利用正弦函数和常数导数公式，结合代入法进行求解即可.
【详解】因为，所以，所以，，
故选：C
8、D
【解析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到\，再在中运用余弦定理得到、的关系，进而求得椭圆的离心率
【详解】由椭圆的定义知，，则，
因为正三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
则，，
故选：D
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题.
9、B
【解析】求出方程表示椭圆的充要条件是且,由此可得答案.
【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是,解得且,
所以“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选:B
【点睛】本题考查了由方程表示椭圆求参数的范围,考查了充要条件和必要不充分条件,本题易错点警示:漏掉,本题属于基础题.
10、D
【解析】根据输出结果可得输出时，结合执行逻辑确定输入k的可能值，即可知答案.
【详解】由，得，则输人的可能为.
∴结合选项知：D符合要求.
故选：D.
11、D
【解析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D.设要求直线的方程为，将代入即可.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；
对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；
对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；
对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；
故选：D
12、C
【解析】根据全概率公式即可求出
【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为
0.0248
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、32
【解析】建立平面直角坐标系，设出角度和边长，表达出点坐标，进而表达出，利用三角函数换元，求出最大值.
【详解】如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，设，（），则由三角形全等可知，设，，则，则，，则，令，，则，当时，取得最大值，最大值为32

故答案为：32
14、若，则
【解析】否命题是对命题的条件和结论同时否定，同时否定和即可.
命题“若，则”的否命题为:若，则
考点：四种命题.
15、① ②
【解析】假设与都不相交得到，得到① 正确，若不垂直，上取一点，作交于，得到，得到② 正确，得到答案.
【详解】若与都不相交，，，则，同理，故，与异面矛盾，① 正确；
若不垂直，上取一点，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，② 正确.
故答案为：① ②.

16、 ①. ②.
【解析】设等差数列公差为d，根据等差数列的性质即可求通项公式；，采用裂项相消的方法求.
【详解】设等差数列公差为d，
，
，
；
∵，
∴.
故答案为：；.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.
（2）根据平均数的公式可得到答案.
（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花
小问1详解】
由解得
【小问2详解】
该样本数据的平均数为：

【小问3详解】
由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：
两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率

18、（1）略（2）
【解析】（1）题中条件，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式转化为的递推公式：，从而，，进而得证；（2）由（1）可得，，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，
②-①得.
试题解析：（1）∵， ，又∵，∴，
，∴则是为首项为公差的等差数列；
由（1）得 ，∴，
∴①，
①得：②，
②-①得.
考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据求出，根据求出，根据正弦定理求出；
（2）先求出，再利用面积公式即可求出.
【详解】（1）在中，由题意知，
又因为，所有，
由正弦定理可得.
（2）由得，由,得.
所以.
因此，的面积.
【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.
20、（1）
（2）或
【解析】（1）以直线方程的点斜式去求圆C在点A处的切线方程；
（2）以A为的中点为突破口，设点法去求直线l的方程简单快捷.
【小问1详解】
圆可化为，圆心
因为直线的斜率为，所以圆C在A点处切线斜率为2，
所以切线方程为即.
【小问2详解】
由题意设
因为是中点，所以
将B代入圆C方程得
解得或
当时，，此时l方程为
当时，，此时l方程为
所以l方程为或
21、（1）
（2）
【解析】（1）选①，利用化已知等式为，得是等差数列，公差，求出其通项公式后，再由求得通项公式，注意　；
选②，由可变形已知条件得是等差数列，从而求得通项公式；
选③，已知式两边同除以，得出，以下同选①；
（2）由错位相减法求和
【小问1详解】
选①，
由得，，
所以，即，
所以是等差数列，公差，
又，，，所以，，
时，也适合
所以；
选②，
由得，所以等差数列，公差为，又，所以；
选③，
由得，以下同选①，
【小问2详解】
由（1），
，
，
两式相减得，
所以
22、（1）；
（2）[，3].
【解析】（1）由题可得，即求；
（2）当直线的斜率不存在或为0，易求，当直线 MN 斜率存在且不为 0 时，设直线 MN 的方程为：，利用直线与圆相切可得，再联立椭圆方程并应用韦达定理求得，然后利用基本不等式即得.
【小问1详解】
由题可得，
∴𝑎 = 2 ，𝑏 =
∴椭圆 C 的方程为：；
小问2详解】
当直线 MN 斜率为 0 时，不妨取直线 MN 为𝑦 = ，则，
此时，则；
当直线 MN 斜率不存在，不妨取直线 MN 为x=，则，
此时，则；
当直线 MN 斜率存在且不为 0 时，设直线 MN 的方程为：，，
因为直线MN 与圆相切，
所以，即，
又因为直线 MN 与椭圆 C 交于 M，N 两点：
由，得，
则，
所以 MN 中点 T 坐标为，
则，

，
所以
又，当且仅当，即 取等号，
∴|OT||MN|；
综上所述：|OT|∙|MN|的取值范围为[，3].