北京市顺义牛栏山第一中学2026届数学高一第一学期期末考试试题含解析.doc

北京市顺义牛栏山第一中学2026届数学高一第一学期期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．命题“”的否定为（）
A. B.
C. D.
2．设全集，集合，则（）
A.{3，5} B.{2，4}
C.{1，2，3，4，5} D.{2，3，4，5，6}
3．方程的实数根所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
4．关于的一元二次不等式的解集为（）
A.或 B.
C.或 D.
5．已知幂函数在上单调递减，则的值为
A. B.
C.或 D.
6．已知实数，，且，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
7．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（）

A. B.
C. D.
8．函数与（且）在同一坐标系中的图象可能是（）
A. B.
C. D.
9．已知，，且，，则的值是
A. B.
C. D.
10．已知实数，，，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，
其中正确命题的个数是________
12．已知一组数据，，…，的平均数，方差，则另外一组数据，，…，的平均数为______，方差为______
13．已知幂函数的图象过点，则________
14．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.
15．已知角的终边经过点，则的值是______.
16．设定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，，则＝________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数是增函数，对于任意都有
（1）写一个满足条件的；
（2）证明是奇函数；
（3）解不等式
18．已知函数的值域为,函数.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时,若函数有零点,求的取值范围,并讨论零点的个数.
19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点.求证：

（1）平面AB1F1∥平面C1BF；
（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
20．已知函数的定义域为
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；
（3）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值
21．已知函数
（1）利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
（2）若对任意，恒成立，求实数取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】“若，则”的否定为“且”
【详解】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“”
故选：C
2、D
【解析】先求补集，再求并集.
详解】，则.
故选：D
3、B
【解析】令，因为，且函数在定义域内单调递增，故方程的解所在的区间是，故选B.
4、A
【解析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.
【详解】由得，解得或.
即原不等式的解集为或.
故选：A.
5、A
【解析】由函数为幂函数得，即，解得或．当时，，符合题意．当时，，不和题意
综上．选A
6、C
【解析】由题可得，则由展开利用基本不等式可求.
【详解】，，且，则，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C.
7、C
【解析】观察图象可得函数的最大值，最小值，周期，由此可求函数的解析式，根据三角函数变换结论，求出平移后的函数解析式，根据平移后函数图象关于轴对称，列方程求的值，由此确定其最小值.
【详解】根据函数的部分图象，
可得，，∴
因，可得，又，
求得，故
将的图象向右平移个单位长度后得到的函数的图象，
因为的图象关于直线轴对称，
故，即，
故的最小值为，
故选：C
8、B
【解析】分析一次函数的单调性，可判断AD选项，然后由指数函数的单调性求得的范围，结合直线与轴的交点与点的位置关系可得出合适的选项.
【详解】因为一次函数为直线，且函数单调递增，排除AD选项.
对于B选项，指数函数单调递减，则，可得，
此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的上方，合乎题意；
对于C选项，指数函数单调递减，则，可得，
此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的下方，不合乎题意.
故选：B.
9、B
【解析】由，得，所以，
，得，
，
所以，从而有，

.
故选：B
10、A
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a三个数与0、1的大小关系，
由此可得出a、b、c大小关系.
【详解】解析：由题，，，即有.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】如图所示，
∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.
故答案为：3.
12、 ①.11 ②.54
【解析】由平均数与方差的性质即可求解.
【详解】解：由题意，数据，，…，的平均数为，方差为
故答案：11，54.
13、3
【解析】先求得幂函数的解析式，再去求函数值即可.
【详解】设幂函数，则，则，
则，则
故答案为：3
14、-1
【解析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.
【详解】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.
故答案为：-1.
15、##
【解析】根据三角函数定义得到，，进而得到答案.
【详解】角的终边经过点，
，，
.
故答案为：.
16、
【解析】利用周期性和奇偶性，直接将的值转化到上的函数值，再利用解析式计算，即可求出结果
【详解】依题意知：函数为奇函数且周期为2，
则，，即 .

【点睛】本题主要考查函数性质——奇偶性和周期性的应用，以及已知解析式，求函数值，同时，考查了转化思想的应用

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）见解析（3）
【解析】（1）满足是增函数，对于任意都有的函数
（2）利用函数的奇偶性的定义转化求解即可
（3）利用已知条件转化不等式，通过函数的单调性转化求解即可
【小问1详解】
因为函数是增函数，对于任意都有，这样的函数很多，其中一种为：，证明如下：
函数满足是增函数，，所以满足题意.
【小问2详解】
令，则由
得，
即得，故是奇函数
【小问3详解】
，所以，则
，因为，所以
，所以，又因为函数是增函数，所以
，所以或.所以的解集为：.
18、（Ⅰ);(Ⅱ)答案见详解.
【解析】
(Ⅰ)对分段函数求值域,分别求出每一段函数的值域,再求其并集即可;
(Ⅱ)函数有零点,即表示方程有根,
与函数图像有交点,因而将换元,利用二次函数性质求出其值域,再数形结合讨论零点个数即可.
【详解】(Ⅰ)如下图所示:

当时,;当时,,
所以函数的值域为;
(Ⅱ)若函数有零点,
即方程有根,
即与函数图像有交点,
令,,
当时,,
此时,
即函数值域为,
故而:当时,函数有零点,
且当或时,函数有一个零点;
当时,函数有两个零点.
【点睛】(1)对分段函数求值域,先求出每一段函数的值域,再求其并集即可,也可利用函数图像去求;
(2)函数零点问题一般可以转换为方程的根,或者两函数图像交点的问题,在答题时,需要根据实际情况进行转换,本题利用了转化及数形结合的思想,属于中档题.
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由棱柱的性质及中点得B1F1∥BF，AF1∥C1F.，从而有线面平行，再有面面平行；
（2）先证明B1F1⊥平面ACC1A1，然后可得面面垂直
【详解】证明：（1）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，连接，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
，，，
∴是平行四边形，是平行四边形，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
　平面，平面，∴平面，
同理平面，
又∵B1F1∩AF1＝F1，平面，平面，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.

（2）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，平面，∴B1F1⊥AA1.
又是等边三角形，是中点，∴B1F1⊥A1C1，而A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
【点睛】本题考查证明面面平行和面面垂直，掌握面面平行和面面垂直的判定定理是解题关键
20、（1）；（2）；（3）见解析
【解析】（1）函数，所以函数的值域为
（2）若函数在定义域上是减函数，则任取且都有 成立，即，只要即可，由，故， 所以，故的取值范围是；
（3）当时，函数在上单调增，无最小值，当时取得最大值；由（2）得当时，在上单调减，无最大值，当时取得最小值； 当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，当 时取得最小值.
【点睛】利用函数的单调性求值域是求值域的一种重要方法．特别注意当函数含有参数时，而参数又会影响了函数的单调性，从而需要分类讨论求函数的值域
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.
（2）令，根据x的范围，可得t的范围，原式等价为，，只需即可，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案.
【小问1详解】
由已知可得的定义域为，
任取，且，
则，
因为，，，
所以，即，
所以在上是单调递增函数
【小问2详解】
，
令，则当时，，
所以
令，，
则只需
当，即时，在上单调递增，
所以，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当即时，在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，舍去
综上，实数的取值范围是