吉林大学附属中学2026届数学高一第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

吉林大学附属中学2026届数学高一第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设则的大小关系是
A. B.
C. D.
2．已知函数为奇函数，则（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.2
3．已知则当最小时的值时
A.﹣3 B.3
C.﹣1 D.1
4．如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是

A. B.
C. D.
5．对于实数x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（）条件
A.充要 B.既不充分也不必要
C.必要不充分 D.充分不必要
6．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（）
A. B.
C. D.
7．设命题，使得，则命题为的否定为（ ）
A.， B.，使得
C.， D.，使得
8．与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知向量，，若，则（）
A. B.
C.2 D.3
10．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为14人，则样本中的中年职工人数为（）
A.10 B.30
C.50 D.70
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.
12．已知，均为锐角，，，则的值为______
13．设，则__________
14．漏斗作为中国传统器具而存在于日常生活之中，某漏斗有盖的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该漏斗的容积为不考虑漏斗的厚度______，若该漏斗存在外接球，则______.

15．若一个扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__________
16．已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，求实数x的取值范围.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，平面底面ABCD，M是棱PC上的点.

（1）证明：底面；
（2）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值.
19．已知函数，求：
（1）的最小正周期及最大值；
（2）若且，求的值；
（3）若，在有两个不等的实数根，求的取值范围.
20．已知集合，集合
（1）当时，求和
（2）若，求实数m的取值范围
21．已知函数
（1）求的解析式，并证明为R上的增函数；
（2）当时，且的图象关于点对称．若，对，使得成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.
考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.
2、C
【解析】利用函数是奇函数得到，然后利用方程求解，，则答案可求
【详解】解：函数为奇函数，
当时，，所以，
所以，，
故
故选：C.
3、B
【解析】由题目已知可得：

当时，的值最小
故选
4、D
【解析】连接，设正方体棱长为1.
∵平面，∴∠为与平面所成角.
∴
故选D
5、D
【解析】从充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.
【详解】若，则一定有，故充分性满足；
若，不一定有，
例如，满足，但不满足，故必要性不满足；
故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件.
故选：.
6、C
【解析】根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式.
【详解】长、宽、高之和不超过，.
故选：.
7、C
【解析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答.
【详解】依题意，命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题的否定是：，.
故选：C
8、A
【解析】设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.
【详解】由题意，圆的圆心坐标，
设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，
满足，解得，
即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，
所以所求圆方程为，故选A.
【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、A
【解析】先计算的坐标，再利用可得，即可求解.
【详解】，
因为，所以，
解得：，
故选：A
10、A
【解析】利用分层抽样的等比例性质，结合已知求样本中中年职工人数.
【详解】由题意知，青年职工人数：中年职工人数：老年职工人数＝350：250：150＝7：5：3
由样本中的青年职工为14人，可得中年职工人数为10
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.
【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得，
故答案为:
12、
【解析】直接利用两角的和的正切关系式，即可求出结果
【详解】已知，均锐角，，，则，
所以：，
故
故答案为
【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，以及两角和的正切关系式的应用，其中解答中熟记两角和的正切的公式，准确运算是解答的关键，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
13、2
【解析】由函数的解析式可知，∴
考点：分段函数求函数值
点评：对于分段函数，求函数的关键是要代入到对应的函数解析式中进行求值
14、 ①. ②.0.5
【解析】先将三视图还原几何体，然后利用长方体和锥体的体积公式求解容积即可；设该漏斗外接球的半径为，设球心为，利用，列式求解的值即可.
【详解】
由题中的三视图可得，原几何体如图所示，
其中，，正四棱锥的高为，
，
，
所以该漏斗的容积为；
正视图为该几何体的轴截面，
设该漏斗外接球的半径为，设球心为，
则，
因为，
又，
所以，
整理可得，解得，
所以该漏斗存在外接球，则
故答案为：①；②.
15、4
【解析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积
【详解】设扇形的半径为：R，所以2R+2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为：4，半径为2，
扇形的面积为：4（cm2）
故答案为4
【点睛】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力
16、8
【解析】根据，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：，
当且仅当，即时，取等号，
所以xy的最大值为8.
故答案为：8.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、或
【解析】利用函数单调性解决抽象不等式.
试题解析：
因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，
且f(1)＝ln 1＋2＝2，
所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，
所以0<x2－4<1，
解得－<x<－2或2<x<.
18、（1）详见解析；
（2）.
【解析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得平面，然后利用线面垂直的判定定理即证；
（2）由题可得，进而可得，即得.
【小问1详解】
∵，平面底面ABCD，
∴，平面底面ABCD=AD，底面ABCD，
∴平面，平面，
∴PD，又，
∴，，
∴底面；
【小问2详解】
设，M到底面ABCD的距离为，
∵三棱锥的体积是四棱锥体积的，
∴，
又，，
∴，故，
又，
所以.
19、（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）；（3）.
【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，利用正弦函数的有界性可求得函数的最大值；
（2）求出的取值范围，由可得出，可得出，进而可求得角的值；
（3）令，由可求得，由可得出，问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1），
所以，函数的最小正周期为，最大值为；
（2），则，
，可得，，解得；
（3）当时，，令，则.
由可得，即，即，
所以，直线与曲线在上的图象有两个交点，如下图所示：

由上图可知，当时，即当时，
直线与曲线在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
【点睛】通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好
20、（1）（或者）；
（或者）
（2）
【解析】（1）代入，结合集合的并、补运算即得解；
（2）分，两种情况讨论，列出不等关系，计算即得解
【小问1详解】
当时，

所以 （或者）；
（或者）
【小问2详解】
当时，则，解得
当时，则，解得，所以m不存在
综上所述，
21、（1）；证明见解析.
（2）
【解析】（1）由求出后可得的解析式，按照增函数的定义证明即可；
（2）求出函数在上的值域为，求出在上的最值，根据的最值都属于列式可求出结果.
【小问1详解】
依题意可得，解得，所以.
证明：任取，且，
则
，
因为，，所以，
所以为R上的增函数.
【小问2详解】
依题意，即，
当时，为增函数，，，
所以在上的值域为，
因为在上的最值只可能在或或处取得，
所以在上的最值只可能在或或处取得，
所以在上的最值只可能是或或，
因为的图像关于点对称，所以在上的最值只可能是或或，
所以在上的最值只可能是或或或或，
若，对，使得成立，
则的最值都属于，
所以，即，所以，所以，
又，所以.
【点睛】关键点点睛：（2）中，求出在上的最值，根据题意转化为的最值都属于是解题关键.