2026届四川博睿特外国语学校数学高一第一学期期末复习检测试题含解析.doc

2026届四川博睿特外国语学校数学高一第一学期期末复习检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为
A. B.
C. D.
2．已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是　　
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.三种形状都有可能
3．已知函数，函数有三个零点，则取值范围是
A. B.
C. D.
4．下图记录了某景区某年月至月客流量情况：

根据该折线图，下列说法正确的是（）
A.景区客流量逐月增加
B.客流量的中位数为月份对应的游客人数
C.月至月的客流量情况相对于月至月波动性更小，变化比较平稳
D.月至月的客流量增长量与月至月的客流量回落量基本一致
5．函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
6．若，则它是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
7．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的棱长度为（ ）

A. B.
C. D.
9．定义在上的奇函数，当时，，则的值域是
A. B.
C. D.
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.16 B.15
C.18 D.17
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则___________.
12．直线与平行，则的值为_________.
13．已知幂函数y＝xα的图象过点(4，)，则α＝__________.
14．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________.
15．如图所示，中，，边AC上的高，则其水平放置的直观图的面积为______

16．写出一个同时具有下列性质①②的函数______.（注：不是常数函数）
①；②.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.

（1）当时，求的长；
（2）求三角形区域面积的最大值.
18．进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵.经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数
（1）当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？
（2）某条湟鱼想把游速提高，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
19．设全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，求实数的取值范围.
20．已知，
当时，求函数在上的最大值；
对任意的，，都有成立，求实数a的取值范围
21．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积
【详解】根据题意，画出示意图如下图所示

因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题
2、C
【解析】利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状
【详解】解：，

，
为三角形内角，，
为钝角，即三角形为钝角三角形
故选C
【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从的符号中判断的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用
3、D
【解析】根据题意做出函数在定义域内的图像，将函数零点转化成函数与函数图像交点问题，结合图形即可求解.
【详解】解：根据题意画出函数的图象，如图所示：

函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点，
当直线位于直线与直线之间时，符合题意，
由图象可知：，，
所以，
故选：D.
【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
4、C
【解析】根据折线图，由中位数求法、极差的意义，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】A：景区客流量有增有减，故错误；
B：由图知：按各月份客流量排序为且是10个月份的客流量，因此数据的中位数为月份和月份对应客流量的平均数，故错误；
C：由月至月的客流量相对于月至月的客流量：极差较小且各月份数据相对比较集中，故波动性更小，正确；
D：由折线图知：月至月的客流量增长量与月至月的客流量回落量相比明显不同，故错误.
故选：C
5、D
【解析】由题可得定义域为 ，排除A,C;
又由在 上单增 ，所以选D.
6、C
【解析】根据象限角的定义判断
【详解】因为，所以是第三象限角
故选：C
7、B
【解析】可知分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可
【详解】可知函数在R上单调递增，
所以；
对称轴，即；
临界点处，即；
综上所述：
故选：B
8、A
【解析】先由三视图得出该几何体的直观图，结合题意求解即可.
【详解】由三视图可知其直观图，

该几何体为四棱锥P-ABCD，最长的棱为PA，则最长的棱长为，故选A
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，属于基础题型.
9、B
【解析】根据函数为奇函数得到，，再计算时，得到答案.
【详解】定义在上的奇函数，则，；
当时，，则当时，；
故的值域是
故选：
【点睛】本题考查了函数的值域，根据函数的奇偶性得到时，是解题的关键.
10、B
【解析】由三视图还原的几何体如图所示，结合长方体的体积公式计算即可.
【详解】由图可知，该几何体是在一个长方体的右上角挖去一个小长方体，如图，
故该几何体的体积为
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##-0.75
【解析】将代入函数解析式计算即可.
【详解】令，则，
所以.
故答案为：
12、
【解析】根据两直线平行得出实数满足的等式与不等式，解出即可.
【详解】由于直线与平行，则，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题.
13、
【解析】把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出.
【详解】解：由幂函数的图象过点，
所以，
解得.
故答案为：.
14、
【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程
【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，
由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，
故答案为（x-1）2+（y-1）2=25
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径
15、.
【解析】直接根据直观图与原图像面积的关系求解即可.
【详解】的面积为，
由平面图形的面积与直观图的面积间的关系.
故答案为:.
16、
【解析】根据函数值以及函数的周期性进行列举即可
【详解】由知函数的周期是，
则满足条件，
，满足条件，
故答案为：（答案不唯一）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角函数表达出的长；（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值.
【小问1详解】
设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为
【小问2详解】
过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为
，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，

故三角形区域面积的最大值为
18、（1）约为1.17m/s；（2）4.
【解析】（1）将代入函数解析式解得即可；
（2）根据现在和以前的游速之差为1列出等式，进而解得即可.
【小问1详解】
由题意，游速为.
【小问2详解】
设原来和现在耗氧量的单位数分别为，所以，所以耗氧量的单位数是原来的4倍.
19、（1）；（2）①；②；③.
【解析】（1）将代入集合，求出集合和，然后利用交集的定义可求出集合；
（2）选择①，根据得出关于实数的不等式组，解出即可；选择②，由，可得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可；选择③，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，解出即可.
【详解】（1）当时，，
，，
因此，；
（2），.
选择①，，则或，解得或，
此时，实数的取值范围是；
选择②，，，则，解得，
此时，实数的取值范围是；
选择③，，或，解得或，
此时，实数的取值范围是.
综上所述，选择①，实数的取值范围是；
选择②，实数的取值范围是；
选择③，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.
20、（1）3；（2）.
【解析】（1）由，得出函数的解析式，根据函数图象，得函数的单调性，即可得到函数在上的最大值；（2）对任意的，都有成立，等价于对任意的，成立，再对进行讨论，即可求出实数的取值范围.
试题解析：（1）当时，，
结合图像可知，函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

又，，
所以函数在上的最大值为3.
（2） ，由题意得：成立.
①时，，函数在上是增函数，
所以，，
从而，解得，
故.

②因为，由，得：，
解得：或（舍去）
当时，，此时，，
从而成立，
故
当时，，此时，，
从而成立，
故，
综上所述：.
点睛：（1）对于形如，对任意的，恒成立的问题，可转化为恒成立的问题，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式处理；（2）解决不等式的恒成立问题时，要转化成函数的最值问题求解，解题时可选用分离参数的方法，若参数无法分离，则可利用方程根的分布的方法解决，解题时注意区间端点值能否取等号

21、（1）；（2）4千克，505元.
【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可
【详解】解：（1）由题意得：，

（2）由（1）中
得
（i）当时，；
（ii）当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，，
所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下：
（1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；
（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.