2025年江苏常熟中学数学高一上期末经典模拟试题含解析.doc

2025年江苏常熟中学数学高一上期末经典模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知向量，，则与的夹角为
A. B.
C. D.
3．若，为第四象限角，则的值为（）
A. B.
C. D.
4．已知全集，集合，那么（ ）
A. B.
C. D.
5．过定点（1,0）的直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6．幂函数，当时为减函数，则实数的值为
A.或2 B.
C. D.
7．方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A. B.
C. D.
8．已知函数，则（）
A. B.
C. D.1
9．函数f（x）=的定义域为
A.[1，3）∪（3，+∞） B.（1，+∞）
C.[1，2） D.[1，+∞）
10．已知集合，那么
A.（-1,2） B.（0，1）
C.（-1,0） D.（1,2）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．有一批材料可以建成360m长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形如图所示，则围成场地的最大面积为______围墙厚度不计

12．已知过点的直线与轴，轴在第二象限围成的三角形的面积为3，则直线的方程为__________
13．设函数是以4为周期的周期函数，且时，，则__________
14．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为___________.
15．已知扇形周长为4，圆心角为，则扇形面积为__________.
16．设函数，则__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
（2）设是定义在上的“类函数”，求是实数的最小值；
（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围.
18．已知集合，.
（1）若，求实数t的取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围
19．已知二次函数
（）若函数在上单调递减，求实数的取值范围
（）是否存在常数，当时，在值域为区间且？
20．已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围；
21．已知函数．
（1）求f（x）的定义域及单调区间；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
（3）设函数，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案
【详解】，
因为，，
所以，，
因为，，
所以，，
则
故选：C
【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
2、C
【解析】利用夹角公式进行计算
【详解】由条件可知，，，
所以，故与的夹角为
故选
【点睛】本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，熟记公式准确计算是关键，属于基础题
3、D
【解析】直接利用平方关系即可得解.
【详解】解：因为，为第四象限角，
所以.
故选：D.
4、C
【解析】应用集合的补运算求即可.
【详解】∵，，
∴.
故选：C
5、C
【解析】画出示意图，结合图形及两点间的斜率公式，即可求解.
【详解】作示意图如下：

设定点为点，则
，，
故由题意可得的取值范围是
故选：C
【点睛】本题考查两点间直线斜率公式的应用，要特别注意，直线与线段相交时直线斜率的取值情况.
6、C
【解析】∵为幂函数，∴，即．解得：或．当时，，在上为减函数；当时，，在上为常数函数（舍去），∴使幂函数为上的减函数的实数的值．故选C.
考点：幂函数的性质.
7、C
【解析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；
【详解】解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；
故选：C
8、D
【解析】由分段函数定义计算
【详解】，
所以
故选：D
9、D
【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0两类不等式组求解
【详解】要使原函数有意义，需满足，解得x≥1.
∴函数f（x）=的定义域为[1，+∞）
故选D.
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是是根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0
10、A
【解析】利用数轴，取所有元素，得
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、8100
【解析】设小矩形的高为，把面积用表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值
【详解】解：设每个小矩形的高为am，则长为，记面积为
则
当时，
所围矩形面积最大值为
故答案8100
【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是寻找一个变量，把面积表示为此变量的函数，再根据函数的知识求得最值．本题属于基础题
12、
【解析】设直线l的方程是y=k（x-3）+4，
它在x轴、y轴上的截距分别是﹣+3，-3k+4，
且﹣+3<0, -3k+4>0
由已知，得（-3k+4）（﹣3）=6，
解得k1=或k2=
所以直线l的方程为：
故答案为
13、##0.5
【解析】利用周期和分段函数的性质可得答案.
【详解】，
.
故答案为：.
14、
【解析】利用复合函数的单调性，即可得到答案；
【详解】在定义域内始终单调递减，
原函数要单调递减时，，
，
，
故答案为：
15、1
【解析】利用扇形的弧长公式求半径，再由扇形面积公式求其面积即可.
【详解】设扇形的半径为，则，可得，而扇形的弧长为，
所以扇形面积为.
故答案为：1.
16、
【解析】先根据2的范围确定表达式，求出；后再根据的范围确定表达式，求出.
【详解】因为，所以，所以.
【点睛】分段函数求值问题，要先根据自变量的范围，确定表达式，然后代入求值．要注意由内而外求值，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）函数是“类函数”；（2）；（3）.
【解析】(1) 由，得整理可得满足
(2) 由题存在实数满足，即方程在上有解.令分离参数可得，设求值域，可得
取最小值
(3) 由题即存在实数，满足，分，，三种情况讨论可得实数m的取值范围.
试题解析：（1）由，得：
所以
所以存在满足
所以函数是“类函数”，
（2）因为是定义在上的“类函数”，
所以存在实数满足，
即方程在上有解.
令
则，因为在上递增，在上递减
所以当或时，取最小值
（3）由对恒成立，得
因为若为其定义域上的“类函数”
所以存在实数，满足
①当时，，所以，所以
因为函数（）是增函数，所以
②当时，，所以，矛盾
③当时，，所以，所以
因为函数是减函数，所以
综上所述，实数的取值范围是
点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数图像，然后数形结合求解.
18、（1）
（2）
【解析】（1）首先求出集合，再对与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可；
（2）依题意可得集合Ü，分与两种情况讨论，分别到不等式，解得即可；
【小问1详解】
解：由得解，所以，又
若，分类讨论：
当，即解得，满足题意；
当，即，解得时，
若满足，则必有或；
解得.
综上，若，则实数t的取值范围为.
【小问2详解】
解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合Ü，
若，即，解得，
若，即，即，则必有，解得，
综上可得,，
综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求
19、 (1)．(2)存在常数，，满足条件
【解析】(1)结合二次函数的对称轴得到关于实数m的不等式，求解不等式可得实数的取值范围为
(2)在区间上是减函数，在区间上是增函数．据此分类讨论：
①当时，
②当时，
③当，
综上可知，存在常数，，满足条件
试题解析：
（）∵二次函数的对称轴为，
又∵在上单调递减，
∴，，
即实数的取值范围为
（）在区间上是减函数，在区间上是增函数
①当时，在区间上，最大，最小，
∴，即，
解得
②当时，在区间上，最大，最小，
∴，解得
③当，在区间上，最大，最小，
∴，即，
解得或，
∴
综上可知，存在常数，，满足条件
点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析
20、（1）,(2)
【解析】（1）计算得到，，计算得到答案.
（2）所以，讨论和两种情况计算得到答案.
【详解】（1）因为，所以，
因为，
所以
（2）因为，所以，
当时，，即；
当时，，即.
综上所述：a的取值范围为.
【点睛】本题考查了集合的运算，根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集是容易发生的错误.
21、（1）定义域为（﹣1，3）；f（x）的单调增区间为（﹣1，1]，f（x）的单调减区间为[1，3）；（2）当x＝1时，函数f（x）取最大值1；（3）a≥﹣2．
【解析】（1）利用对数的真数大于零即可求得定义域，根据复合函数的单调性“同增异减”即可求得单调区间；
（2）根据函数的单调性即可求解；
（3）将f（x）≤g（x）转化为x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，即即可，结合基本不等式即可求解.
【详解】解：（1）令2x＋3﹣x2＞0，
解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定义域为（﹣1，3），
令t＝2x＋3﹣x2，则，∵为增函数，
x∈（﹣1，1]时，t＝2x＋3﹣x2为增函数；
x∈[1，3）时，t＝2x＋3﹣x2为减函数；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）
（2）由（1）知当x＝1时，t＝2x＋3﹣x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
则2x＋3﹣x2≤（a＋2）x＋4在x∈（0，3）上恒成立，
即x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，
当x∈（0，3）时，x＋≥2，则﹣（x＋）≤﹣2，故a≥﹣2