广东省湛江市达标名校2026届数学高一第一学期期末预测试题含解析.doc

广东省湛江市达标名校2026届数学高一第一学期期末预测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2．函数的值域是
A. B.
C. D.
3．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）
A.证明所有实数的平方都不是正数
B.证明平方是正数的实数有无限多个
C.至少找到一个实数，其平方是正数
D.至少找到一个实数，其平方不是正数
4．命题“，”的否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
5．一个容量为1 000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是
A.400 B.40
C.4 D.600
6．设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（　　）
A. B.
C. D.
7．已知且，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是
A. B.
C. D.
9．已知函数在上存在零点，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．圆与圆的位置关系是（ ）
A.外切 B.内切
C.相交 D.外离
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________.
12．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若、是钝角三角形的两个锐角，对（1），为奇数；（2）；（3）；（4）；（5）.则以上结论中正确的有______________.(填入所有正确结论的序号).
13．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是B，点和点的中点是E，则___________.
14．设向量不平行，向量与平行，则实数_________.
15．设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λμ0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量
①若2，则、线性相关；
②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；
③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；
④向量、线性相关的充要条件是、共线
上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）
16．在△ABC中，，面积为12，则=______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，求实数的取值范围.
18．脱贫是政府关注民生的重要任务，了解居民的实际收入状况就显得尤为重要.现从某地区随机抽取个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第个农户的年收入（万元），年积蓄（万元），经过数据处理得
（Ⅰ）已知家庭的年结余对年收入具有线性相关关系，求线性回归方程；
（Ⅱ）若该地区的农户年积蓄在万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？
附：在 中，其中为样本平均值.
19．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数单调性（只写出结论即可）；
（3）若对任意的不等式恒成立,求实数的取值范围
20．已知四棱锥的底面是菱形，,又平面，点是棱的中点，在棱上.
（1）证明：平面平面.
（2）试探究在棱何处时使得平面.

21．已知，若在上的最大值为，最小值为，令.
（1）求的函数表达式；
（2）判断函数的单调性，并求出的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】将分别与比较大小，即可判断得三者的大小关系.
【详解】因为，，，所以可得的大小关系为.
故选：A
2、C
【解析】函数中，因为所以.
有.
故选C.
3、D
【解析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.
【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.
故选：D
4、C
【解析】利用全称量词的命题的否定解答即可.
【详解】解：因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题，
命题“，”是全称量词的命题，
所以其否定是“，”.
故选：C
5、A
【解析】频数为
考点：频率频数的关系
6、C
【解析】由条件两边平方可得，代入夹角公式即可得到结果.
【详解】由，可得：，
又是两个单位向量，
∴
∴
∴它们的夹角等于
故选C
【点睛】本题考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，以及已知三角函数求角，清楚向量夹角的范围
7、D
【解析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】“”时，若，则，不能得到“”.
“”时，若，则，不能得到“”.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
8、D
【解析】分析：利用基本初等函数的单调性和奇偶性的定义，判定各选项中的函数是否满足条件即可.
详解：对于A中，函数是定义域内的非奇非偶函数，所以不满足题意；
对于B中，函数是定义域内的非奇非偶函数，所以不满足题意；
对于C中，函数是定义域内的偶函数，所以不满足题意；
对于D中，函数是定义域内的奇函数，也是增函数，所以满足题意，
故选D.
点睛：本题主要考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的判定问题，其中熟记基本初等函数的单调性和奇偶性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
9、A
【解析】根据零点存在定理及函数单调性可知,,解不等式组即可求得的取值范围.
【详解】因为在上单调递增,
根据零点存在定理可得,
解得.
故选:A
【点睛】本题考查了函数单调性的判断,零点存在定理的应用,根据零点所在区间求参数的取值范围,属于基础题.
10、C
【解析】圆心为和，半径为和，圆心距离为，由于，故两圆相交.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意得出方程有唯一实数解或有两个相等的实数解，然后讨论并求解当和时满足题意的参数的值.
【详解】∵集合A有且仅有2个子集，可得A中仅有一个元素，即方程仅有一个实数解或有两个相等的实数解.
当时，方程化为，∴，此时，符合题意；
当时，则由，，令时解方程得，此时，符合题意，令时解方程得，此时符合题意；
综上可得满足题意的参数可能的取值有0，-1，1，∴a的取值构成的集合为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了由集合子集的个数求参数的问题，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.
12、（1）（4）（5）
【解析】令，结合偶函数得到，根据题意推出函数的周期为，可得（1）正确；根据函数在上是减函数，结合周期性可得在上是增函数，利用、是钝角三角形的两个锐角，结合正弦函数、余弦函数的单调性可得，，再利用函数的单调性可得（4）（5）正确，当时，可得（2）（3）不正确.
【详解】∵，令，得，又是偶函数，
则，∴，
且，可得函数是周期为2的函数.故，为奇数.故（1）正确；
∵、是钝角三角形的两个锐角，
∴，可得，
∵在区间上是增函数，，
∴，即钝角三角形的两个锐角、满足，
由在区间上是减函数得，
∵函数是周期为2的函数且在上是减函数，∴在上也是减函数，又函数是定义在上的偶函数，可得在上是增函数.
∵钝角三角形的两个锐角、满足，，
且，，
∴，.故（4）（5）正确；
当时，，，，，故（2）（3）不正确.
故答案为：（1）（4）（5）
【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.
13、
【解析】先利用对称性求得点B坐标，再利用中点坐标公式求得点E坐标，然后利用两点间距离公式求解.
【详解】因为点关于平面的对称点是，
点和点的中点是，
所以，
故答案为：
14、-2
【解析】因为向量与平行，
所以存在，使，
所以， 解得
答案：
15、①④
【解析】利用和线性相关等价于和是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确
【详解】解：若、线性相关，假设λ≠0，则，故和是共线向量
反之，若和是共线向量，则，即λμ0，故和线性相关
故和线性相关等价于和是共线向量
①若2 ，则2 0，故和线性相关，故①正确
②若和为非零向量，⊥，则和不是共线向量，不能推出和线性相关，故②不正确
③若和线性相关，则和线性相关，不能推出若和线性相关，例如当时，
和可以是任意的两个向量．故③不正确
④向量和线性相关的充要条件是和是共线向量，故④正确
故答案为①④
【点睛】本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确和线性相关等价于和是共线向量，是解题的关键
16、
【解析】利用面积公式即可求出sinC．使用二倍角公式求出cos2C
【详解】由题意，在中，，，面积为12，
则，解得
∴
故答案为
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）①；②；③.
【解析】（1）将代入集合，求出集合和，然后利用交集的定义可求出集合；
（2）选择①，根据得出关于实数的不等式组，解出即可；选择②，由，可得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可；选择③，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，解出即可.
【详解】（1）当时，，
，，
因此，；
（2），.
选择①，，则或，解得或，
此时，实数的取值范围是；
选择②，，，则，解得，
此时，实数的取值范围是；
选择③，，或，解得或，
此时，实数的取值范围是.
综上所述，选择①，实数的取值范围是；
选择②，实数的取值范围是；
选择③，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.
18、（Ⅰ） ;（Ⅱ）万元.
【解析】(Ⅰ)利用题中所给数据和最小二乘法求出相关系数，进而求出线性回归方程；（Ⅱ）利用线性回归方程进行预测.
试题解析：（Ⅰ）由题意知所以线性回归方程为
（Ⅱ）令 得
由此可预测该农户的年收入最低为万元.
19、（1），； （2）见解析； （3）.
【解析】（1）根据函数奇偶性得,，解得的值；最后代入验证,（2）可举例比较大小确定单调性,(3)根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为,再根据恒成立转化为对应函数最值问题,最后根据函数最值得结果.
【详解】(1) 在上是奇函数，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
经检验知：，
∴，
（2）由(1)可知，在上减函数.
（3）对于恒成立，
对于恒成立，
在上是奇函数，
对于恒成立，
又 在上是减函数，
，即对于恒成立，
而函数在上的最大值为2，，
∴实数的取值范围为
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.
20、（1）证明见解析；（2）当时，平面
【解析】
（1）证明：,
又底面是的菱形，且点是棱的中点，所以，
又,所以平面.
平面平面.
（2）解：当时，平面，证明如下：
连接交于，连接.
因为底面是菱形，且点是棱的中点，所以∽且,
又，所以，
平面.
21、 (1)；(2)答案见解析.
【解析】解：(1) 函数的对称轴为直线, 而
∴在上最小值为，
①当时，即时，
②当2时，即时，
，
(2)

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.