广东东莞市2025-2026学年数学高一第一学期期末综合测试试题含解析.doc

广东东莞市2025-2026学年数学高一第一学期期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中，且三点共线，则下列结论不成立的是

A. B.
C.与共线 D.
2．若函数的图像关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
3．函数f（x）=|x3|•ln的图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
4．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B.
C. D.
6．下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A. B.160°
C. D.360°
7．若函数满足，则
A. B.
C. D.
8．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）

A. B.
C. D.
9．给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数的序号是（ ）
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
10．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数()，则函数的值域为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数是定义在上的严格增函数，且对一切x，满足，则不等式的解集为___________.
12．若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）
13．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为_____
14．角的终边经过点，且，则________.
15．化简=________
16．已知是定义在上的奇函数且以6为周期，若，则在区间内至少有________零点.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，.
（1）解不等式：；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（3）若函数的反函数为，且，其中为奇函数，为偶函数，试比较与的大小.
18．已知函数
（1）化简并求的值；
（2）若是第三象限角，且，求
19．已知函数（其中），函数（其中）.
（1）若且函数存在零点，求的取值范围；
（2）若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
20．已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求：
（ⅰ）的单调递减区间；
（ⅱ）的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量的值.
21．过圆内一点P（3，1）作弦AB，当|AB|最短时,求弦长|AB|.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，,
故A、B、C成立；而，，
即不成立，故选D.
2、C
【解析】
根据函数的图像关于点中心对称，由求出的表达式即可.
【详解】因为函数的图像关于点中心对称，
所以，
所以，
解得，
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3、A
【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊点的函数值是否对应进行排除即可
【详解】f（-x）=|x3|•ln=-|x3|•ln=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，
f（）=ln=ln＜0，排除C，
故选A
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键
4、A
【解析】将函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，再数形结合得解.
【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，
由可知，当时，函数是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，

数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数有两个不同的零点.
故选：A.
5、B
【解析】判断函数的单调性，再借助零点存在性定理判断作答.
【详解】函数在R上单调递增，而，，
所以函数的零点所在区间为.
故选：B
6、C
【解析】由终边相同角的定义判断
【详解】与终边相同角为，而时，，其它选项都不存在整数，使之成立
故选：C
7、A
【解析】，所以，选A.
8、B
【解析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可
【详解】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，
故选B
【点睛】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键
9、B
【解析】根据指对幂函数性质依次判断即可得答案.
【详解】解：对于①，在上单调递增；
对于②，在上单调递减；
对于③，时，在上单调递减；
对于④，在上单调递增；
故在区间上单调递减的函数的序号是②③
故选：B
10、B
【解析】先利用换元思想求出函数的值域，再分类讨论，根据新定义求得函数的值域
【详解】()，
令，可得，
在上递减，在上递增，时，有最小值，
又因为，所以当时，，
即函数的值域为，
时，；
时，；
时，；
的值域是
故选：B
【点睛】思路点睛：新定义是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据题意，将问题转化为，，再根据单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数对一切x，满足，
所以，，
令，则，即，
所以等价于，
因为函数是定义在上的严格增函数，
所以，解得
所以不等式的解集为
故答案为：
12、##
【解析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.
【详解】在上严格增，所以，不妨设，
因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，
也能构成三角形三边长，所以，
因为，所以，
因为对任意都成立，所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为
故答案为：.
13、
【解析】
由指数函数图象所过定点求出，利用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式得出最小值．
【详解】令，，则，∴定点为，，
，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.
故答案为：．
【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，考查用基本不等式求最值．“1”的代换是解题关键．
14、
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义直接计算
【详解】角的终边经过点，且，
解得.
故答案为：
15、
【解析】利用对数的运算法则即可得出
【详解】解：原式lg0.12
＝2+2lg10﹣1
＝2﹣2

故答案为
【点睛】本题考查了对数的运算法则，属于基础题
16、6
【解析】直接利用的奇偶性和周期性求解.
【详解】因为是定义在上奇函数且以6为周期，
所以
即，
所以的图象关于对称，且，
则，
又，
又，
所以，
所以在区间内至少有6个零点.
故答案为：6
个零点

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）；（3）
【解析】（1）根据二次不等式和对数不等式的解法求解即可得到所求；（2）由可得，故所求范围即为函数在区间上的值域，根据换元法求出函数的值域即可；（3）根据题意可求出，进而得到和，于是可得大小关系
【详解】（1）由，得或，
即或，
解得，
所以原不等式的解集为
（2）令，得
令，由，得，
则，其中
令，则在上单调递增，
所以，即，
所以.
故实数的取值范围为
（3）由题意得，即，
因此，
因为为奇函数，为偶函数，
所以，解得，
所以，，
因此
另法：，
所以
【点睛】（1）本题考查函数知识的综合运用，解题时要注意函数、方程、不等式间的关系的应用，根据条件及要求合理求解
（2）解决函数零点问题时，可转化为方程解得问题处理，也可利用分离变量的方法求解，转化为求具体函数值域的问题，解题时注意转化的合理性和等价性
18、（1）；.
（2）
【解析】（1）根据三角函数的诱导公式，准确运算，求得，进而求得的值；
（2）由，得到，，进而求得.
【小问1详解】
解：由函数，
所以.
【小问2详解】
解：因为是第三象限角，且，可得，
所以，所以.
19、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围；
（2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围.
【小问1详解】
由题意知函数存零点，即有解.
又，
易知在上是减函数，又，，即，
所以，所以的取值范围是.
【小问2详解】
的定义域为，若是偶函数，则，
即解得.
此时，，
所以即为偶函数.
又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解，
即方程有且只有一个实根
令，则方程有且只有一个正根
①当时，，不合题意，
②当时，方程有两相等正根，则，
且，解得，满足题意；
③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，
综上所述：实数的取值范围为或.
【点睛】本题考察利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题.
20、（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）的最大值为，此时；的最小值为，此时
【解析】（1）先用三角恒等变换化简得到，利用最小正周期公式求出答案；（2）在第一问的基础上，整体法求解函数单调区间，根据单调区间求解最值，及相应的自变量的值.
【小问1详解】
，，的最小正周期为
【小问2详解】
（ⅰ），，
，的单调递减区间是，
且由，得，
所以函数的单调递减区间为
（ⅱ）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增.
且，，，
所以，当时，取最大值为；当时，取最小值为
21、.
【解析】考虑直线AB的斜率不存在时，求出A,B坐标，得到，当直线AB的斜率存在时，圆的圆心（4,2），半径r=3，圆心（4,2）到直线AB的距离为：，利用勾股定理基本不不等式即可求出圆的最短的弦长
【详解】(1)当直线AB的斜率不存在时，
，所以
（2）当直线AB的斜率存在时，
圆心（4,2）到直线AB的距离为：
，即，
当时取得最小值7， 弦长的最小值为.
综上弦长的最小值为.
【点睛】本题考查圆的最短弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用