湖南省衡阳市二十六中2025-2026学年高二上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

湖南省衡阳市二十六中2025-2026学年高二上数学期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）
A.2022年12月11日 B.2022年11月11日
C.2022年10月11日 D.2022年9月11日
2．若，，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．下列说法或运算正确的是（ ）
A.
B.用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”时需设“一个三角形没有锐角”
C.“，”的否定形式为“，”
D.直线不可能与圆相切
4．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中

①与平行；②与是异面直线；
③与成60°角；④与是异面直线
以上四个结论中，正确结论的序号是
A.①②③ B.②④
C.③④ D.②③④
5．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A. B.
C. D.
6．已知a，b为正数，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7．等比数列的前项和为，前项积为，，当最小时，的值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
8．在四面体OABC中，，，，则与AC所成角的大小为（）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
9．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为()
A. B.
C. D.
10．如图，在空间四边形中，（ ）

A. B.
C. D.
11．已知数列{}满足，且，若，则＝（ ）
A.－8 B.－11
C.8 D.11
12．已知动点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则线段的长度的最小值为（ ）
A. B.4
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间向量，，且，则值为______
14．年月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知卫星的近地点（离地面最近的点）距地面的高度约为，远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为，且地心、近地点、远地点三点在同一直线上，地球半径约为，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为___________
15．已知圆，若圆的过点的三条弦的长，，构成等差数列，则该数列的公差的最大值是______.
16．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是______________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（12分）如图，四棱锥中，，且，

（1）求证：平面平面；
（2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.
20．（12分）已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：

若抽取了名学生，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等级，设，分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有（人），数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人，已知与均为A等级的概率是0.07
（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30％，求，的值；
（2）已知，，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率
21．（12分）如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱与的中点.

（1）求以，，，为顶点的四面体的体积；
（2）求异面直线和所成角的大小.
22．（10分）已知直线和的交点为
（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，
分析首次达到1万元的值，即得解
【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，
其前n项和为.
因为为增函数，
且，
所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，
即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.
故选：C
2、D
【解析】根据题意，结合，，利用不等式的性质可判断，从而判断，再利用不等式性质得出正确答案.
【详解】，，，
又，，两边同乘以负数，可知

故选：D
3、D
【解析】对于A：可以解决；
对于B:“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”；
对于C：全称否定必须是全部否定；
对于D：需要观察出所给直线是过定点的.
【详解】A：，故错误；
B：“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”，所以用反证法时应假设只有一个锐角和没有锐角两种情况，故错误；
C：的否定形式是，故错误；
D：直线是过定点（-1，0），而圆，圆心为（2，0），半径为4，定点（-1，0）到圆心的距离为2-（-1）=3＜4，故定点在圆内，故正确；
故选：D.
4、C
【解析】根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项.
【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：

由图可得：为异面直线，与不是异面直线，
是异面直线，故①②错误，④正确.
连接，则为等边三角形，
而，故或其补角为与所成的角，
因为，故与所成的角为，故③正确.
综上，正确命题的序号为：③④.
故选：C.
【点睛】本题考查正方体的平面展开图，注意展开图中的点与正方体中的顶点的对应关系，本题属于容易题.
5、B
【解析】根据向量加法和减法法则即可用、、表示出.
【详解】

故选：B.
6、A
【解析】构造新函数，以函数单调性把不等式转化为整式不等式即可解决.
【详解】不等式可化为：
令，则
则函数为单调增函数.
由可得
故选：A
7、B
【解析】根据等比数列相关计算得到，，进而求出与，代入后得到，利用指数函数和二次函数单调性得到当时，取得最小值.
【详解】显然，由题意得：，，两式相除得：，将代入，解得：，所以，所以，，所以，其中单调递增，所以当时，取得最小值.
故选：B
8、B
【解析】以为空间的一个基底，求出空间向量求的夹角即可判断作答.
【详解】在四面体OABC中，不共面，则，令，
依题意，，
设与AC所成角的大小为，则，而，解得，
所以与AC所成角的大小为.
故选：B
9、A
【解析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒
【详解】由题知圆心为，半径，
∴圆方程为﹒
故选：A﹒
10、A
【解析】利用空间向量加减法法则直接运算即可.
【详解】根据向量的加法、减法法则得.
故选：A.
11、C
【解析】利用递推关系，结合取值，求得即可.
【详解】因为，且，，
故可得，解得（舍）,；
同理求得，，.
故选：C.
12、A
【解析】求出的最小值，由切线长公式可结论
【详解】解：由，得最小时，最小，
而，所以
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用向量的坐标运算及向量数量积的坐标表示即求.
【详解】由题意，空间向量，
可得，
所以，解得.
故答案为：.
14、
【解析】根据题意由a-c=439+6371，a+c=2384+6371，求得2a即可.
【详解】设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由题意得：a-c=439+6371，a+c=2384+6371,
两式相加得：2a=15565，
因为椭圆上任意两点间的距离的最大值为长轴长2a,
所以卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为，
故答案为：15565
15、2
【解析】根据题意，求得过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.
【详解】圆的圆心，半径，设点为点，
因为，故点在圆内，
当直线过点，且经过圆心时，该直线截圆所得弦长取得最大值；
当直线过点，且与直线垂直时，该直线截圆所得弦长取得最小值，
此时，则满足题意的直线为，即，
又，则该直线截圆所得弦长为；
根据题意，要使得数列的公差最大，则，
故最大公差.
故答案为：.
16、
【解析】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，可得．设，由点M到直线l的距离不小于，即有 ，解得．再利用离心率计算公式即可得出范围
【详解】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以
，所以，设，则，故，从而，，
，所以，即椭圆的离心率的取值范围是
【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2），.
【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用分组求和的方法结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，
依题意有，
由，又，
解得，
∴，
即，
；
（2）∵，
∴前项和

.
∴前项和，.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角定义进行求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,
平面平面
【小问2详解】
∵平面平面，交AD于点F，平面，平面平面，∴平面，
以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
设平面的法向量为，则，求得法向量为，
由，所以直线与平面所成角的正弦值为.

19、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性；
（2）根据（1）中所求，求得，以及，再求其取值范围即可.
【小问1详解】
因为，故可得，
令，可得或；
当时，，此时在上单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，和单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递增，在单调递减.
【小问2详解】
由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增
又，，故在单调递减，在单调递增.
则的最小值；
又，
当时，的最大值，
此时；
当时，的最大值，
此时，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以；
所以的取值范围为.
20、（1），
（2）
【解析】（1）根据与均为A等级的概率是0.07，求得值，再根据数学成绩的优秀率是30％求得值，最后利用抽取的总人数求出值即可；
（2）根据，，，写出满足条件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.
【小问1详解】
由题意知，解得，
，解得，
由已知得，解得.
【小问2详解】
由，，，可知，
则试验的样本空间，共9个样本点
其中包含的样本点有共4个，
故所求概率
21、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可知该四面体为以为底面，以为高的四面体，可得四面体体积；
（2）连接，，可得即为异面直线和所成的角的平面角，根据余弦定理可得角的大小.
【小问1详解】
解：连接，，，以，，，为顶点的四面体即为三棱锥，
底面的面积，
高，
则其体积；
【小问2详解】
解：连接，，，则即为异面直线和所成的角的平面角，
在中，，，，
则，
故，
即和所成的角的的大小为.

22、（1）
（2）或
【解析】（1）由已知可得交点坐标，再根据直线间的位置关系可得直线方程；
（2）设直线方程，根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积，列出方程组，解方程.
【小问1详解】
解：联立的方程，解得，即
设直线的方程为：，将带入可得
所以的方程为：；
【小问2详解】
解：法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，
则直线与两坐标轴交点为，由题意得，
解得：或
所以直线的方程为：或，
即：或.
法②：设直线的斜率为，则的方程为，
当时，
当时，
所以，解得：或
所以m的方程为或
即：或.