黑龙江省大兴安岭漠河县高中2025年高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

黑龙江省大兴安岭漠河县高中2025年高二数学第一学期期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知奇函数，则的解集为（）
A. B.
C. D.
2．在长方体中，，，分别是棱，的中点，则异面直线，的夹角为（）
A. B.
C. D.
3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则的值为
A. B.
C. D.
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，且，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
5．方程表示的曲线经过的一点是（ ）
A. B.
C. D.
6．有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题.其中真命题的个数是
A.0 B.1
C.2 D.3
7．方程表示的曲线是（ ）
A.一个椭圆和一条直线 B.一个椭圆和一条射线
C.一条射线 D.一个椭圆
8．已知x是上的一个随机的实数，则使x满足的概率为（）
A. B.
C. D.
9．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和为石，则“衰分比”为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
A. B.7
C.6 D.
11．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（ ）
A.14 B.16
C.18 D.20
12．如图所示，正方形边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）

A.16cm B.cm
C.8cm D.cm
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列的通项公式为，那么它的前项和___________.
14．若直线过圆的圆心，则实数a的值为_________.
15．已知球的表面积为,则该球的体积为______.
16．设集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，求数列的前项和___
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图①，直角梯形中，，，点，分别在，上，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，如图②，平面平面，.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
18．（12分）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为、右交点为.

（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；
（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.
（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.
19．（12分）已知点，，线段是圆的直径.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
20．（12分）已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和
21．（12分）已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）当时，求证：在上恒成立
22．（10分）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，，求b的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】先由求出的值，进而可得的解析式，对求导，利用基本不等式可判断恒成立，可判断的单调性，根据单调性脱掉，再解不等式即可.
【详解】的定义域为，因为是奇函数，
所以，可得：，
所以，
经检验是奇函数，符合题意，
所以，
因为，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以在上单调递增，
由可得，
即，解得：或，
所以的解集为，
故选：A.
2、C
【解析】设出长度，建立空间直角坐标系，根据向量求异面直线所成角即可.
【详解】如下图所示，以，，所在直线方向，，轴，
建立空间直角坐标系，设，，，
，，，所以，，
设异面直线，的夹角为，所以，
所以，即异面直线，的夹角为.
故选：C.

3、C
【解析】根据题意可知，结合的条件，可知，故选C
考点：椭圆和双曲线性质
4、A
【解析】本题考查双曲线的定义、几何性质及直角三角形的判定即可解决.
【详解】因为，，
所以在中，边上的中线等于的一半，
所以．因为，
所以可设，，
则，解得，
所以，
由双曲线的定义得，
所以双曲线的离心率
故选：A
5、C
【解析】当时可得，可得答案.
【详解】当时可得
所以方程表示的曲线经过的一点是，
且其它点都不满足方程，
故选：C
6、B
【解析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假
【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假
7、A
【解析】根据题意得到或，即可求解.
【详解】由方程，可得或，
即或，所以方程表示的曲线为一个椭圆或一条直线.
故选：A.
8、B
【解析】先解不等式得到的范围，再利用几何概型的概率公式进行求解.
【详解】由得，即，
所以使x满足的概率为
故选：B.
9、A
【解析】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可
【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，
又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，
已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，
则，，
解得：，，
故选：A
10、A
【解析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝
故答案为
考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想
11、B
【解析】由题可知这是一个等差数列，前项和，，列式求基本量即可.
【详解】设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，
则由题可得，解得，
所以不更出的钱数为.
故选：B
12、A
【解析】由直观图确定原图形中平行四边形中线段的长度与关系，然后计算可得
【详解】由斜二测画法，原图形是平行四边形，，
又，，，
所以，
周长为
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由题意知等差数列的通项公式，即可求出首项，再利用等差数列求和公式即可得到答案.
【详解】已知等差数列的通项公式为，..
故答案为：.
14、
【解析】根据圆的求得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，即可求解.
【详解】由题意，圆，可得圆心为，
因为圆心为在直线上，可得，解得.
故答案：.
15、
【解析】设球半径为，由球表面积求出，然后可得球的体积
【详解】设球半径为，
∵球的表面积为，
∴，
∴，
∴该球的体积为
故答案为
【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果
16、
【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，可得，由不在集合中，在集合中，也在集合中，推得不在数列的前50项内，则数列的前50项中包括的前48项和数列中的3和27，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，集合构成数列是首项为1，公差为4的等差数列，
集合构成数列是首项为1，公比为3的等比数列，
可得，
又由不在集合中，在集合中，也在集合中，
因为，解得，此时，所以不在数列的前50项内，
则数列的前50项的和为
.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据，，，，易证，再根据平面平面，，得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）根据（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，设二面角的大小为，由求解.
【小问1详解】
解：因为，，，
所以，，
又，所以是等腰直角三角形，即，
所以.
由平面几何知识易知，
所以，即.
又平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，
所以.
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，F（1，0，0），
则，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
取，则.
由，，，
得平面，
所以平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，
由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为.
18、（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.
【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，
即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,
联立两个曲线，得，，即，
当焦点是右焦点时，
线段的方程
当焦点时左焦点时，
，，线段的方程
（2），
假设点在曲线上
单调递增
∴
所以点不可能在曲线上
所以点只可能在曲线上，根据得
可以得到
当左焦点，，同样这样的使得不存在
所以这样的点一共2个
（3）设直线方程，圆方程为
直线与圆相切，所以

，
，

根据得到
补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，
∵，
当，存在，否则不存在
这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时
存在不存在.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.
19、（1）；
（2）或.
【解析】(1)AB两点的中点为圆心，AB两点距离的一半为半径；
(2)分斜率存在和不存在，根据垂径定理即可求解.
【小问1详解】
已知点，，线段是圆M的直径，
则圆心坐标为，∴半径，∴圆的方程为；
【小问2详解】
由(1)可知圆的圆心，半径为.
设为中点，则，，
则.
当的斜率不存在时，的方程为，此时，符合题意；
当的斜率存在时，设的方程为，即kx－y＋2＝0，
则，解得，
故直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
20、（1），；
（2）.
【解析】（1）利用等差数列求和公式可得，进而可得，再利用累加法可求，即得；
（2）由题可得，然后利用分组求和法即得.
【小问1详解】
设公差为d，由题设可得，
解得，
所以；
当时，
，
∴，
当时，（满足上述的），
所以
【小问2详解】
∵
当时，

当时，

综上所述：
21、（1）单调减区间为，单调增区间为；
（2）证明见解析.
【解析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；
（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.
【小问1详解】
因为，故可得，又为单调增函数，
令，解得，故当时，；当时，，
故的单调减区间为，单调增区间为.
【小问2详解】
当时，，要证，即证，
又，则只需证，即证，
令，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，取得最大值；
令，，又为单调增函数，且时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，取得最小值.
则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，
即，也即时恒成立.
【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用正弦定理，将边化角转化，即可求得；
（2）利用余弦定理，结合（1）中所求，即可求得.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
代入数据解得，
所以