2025年宁夏回族自治区石嘴山市三中数学高二上期末联考模拟试题含解析.doc

2025年宁夏回族自治区石嘴山市三中数学高二上期末联考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线的焦点作互相垂直的弦，则的最小值为（ ）
A.16 B.18
C.32 D.64
2．已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
3．函数的图象的大致形状是（）
A. B.
C. D.
4．在正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A. B.
C. D.
5．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（ ）
A. B.
C. D.
6．若向量，，则（）
A. B.
C. D.
7．已知等比数列的前3项和为3，，则（）
A. B.4
C. D.1
8．已知椭圆的中心为，一个焦点为，在上，若是正三角形，则的离心率为（）
A. B.
C. D.
9．已知数列的首项为，且，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．若向量则（）
A. B.3
C. D.
11．已知，，若，则（ ）
A.6 B.11
C.12 D.22
12．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程______.
14．，若2是与的等比中项，则的最小值为___________.
15．已知，，，若，则______.
16．在递增等比数列中，其前项和，若，，则_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点与点.
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线所在的直线的方程.
18．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，
（1）求，；
（2）已知，，试比较，的大小
19．（12分）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为，
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程：
（Ⅱ）求过点的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求的面积.
20．（12分）在数列中，,，数列满足
（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）数列前项和为，且满足，求的表达式；
（3）令，对于大于的正整数、（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组.
21．（12分）已知等差数列满足，，的前项和为.
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和.
22．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，.

（1）求证：平面PAD；
（2）求直线AB与平面PCE所成角的正弦值；
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标，分别设出，所在直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求得，，然后利用基本不等式求最值.
【详解】抛物线的焦点，
设直线的直线方程为，则直线的方程为.
，，，.
由，得，
，同理可得.

.
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：B
2、D
【解析】先确定双曲线的右顶点，再分垂直轴、与轴不垂直两种情况讨论，当与轴不垂直时，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理，再分、两种情况讨论，即可得解
【详解】解：根据双曲线方程可知
右顶点为，使与有且只有一个公共点情况为：
①当垂直轴时，此时过点的直线方程为，与双曲线只有一个公共点，
②当与轴不垂直时，可设直线方程为
联立方程可得
当即时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点，
当时，，整理可得即
故选：D
3、B
【解析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.
【详解】解：对A，当时，，故A错误；
对B，的定义域为，
且，
故为奇函数；
，
当时，当时，，
即，
又，
，
故存在，
故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；
对C，为奇函数，故C错误；
对D，函数在上不单调，故D错误.
故选：B.
4、D
【解析】建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解
【详解】不妨设正方体的棱长为2，连接，以为坐标原点如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
由于平面，平面，故
又正方形，故
平面
故平面，
所以为平面的一个法向量
，
故直线与平面所成角正弦值为.
故选：D
5、B
【解析】由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】数列的前项和满足，
当时，；
当时，，
当时，适合上式，所以，
则，
所以.
故选：B.
6、D
【解析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断
【详解】由已知，，
，与不垂直
，
若，则，，但是，，因此与不共线
故选：D
7、D
【解析】设等比数列公比为，由已知结合等比数列的通项公式可求得，，代入即可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得
即，又
，即
又，，解得
又等比数列的前3项和为3，故，
即，解得

故选：D
8、D
【解析】根据是正三角形可得的坐标，代入方程后可求离心率.
【详解】不失一般性，可设椭圆的方程为：，为半焦距，为右焦点，
因为且，故，故，
，整理得到，故，
故选：D.
9、C
【解析】由题意，得到，利用叠加法求得，结合由，转化为恒成立，分，和三种情况讨论，即可求解.
【详解】因为，可得，所以，
所以，
各式相加可得，所以，
由，可得恒成立，整理得恒成立，
当时，，不等式可化为恒成立，所以；
当时，，不等式可化为恒成立；
当时，，不等式可化为恒成立，所以，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：C.
10、D
【解析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得
【详解】由于向量，，所以.
故
故选：D
11、C
【解析】根据递推关系式计算即可求出结果.
【详解】因为，，，
则，，，
故选：C.
12、B
【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积，分别求出即可.
【详解】如图，在单位圆中作其内接正六边形，

该正六边形是六个边长等于半径的正三角形，
其面积，圆的面积为
则所求概率.
故选：B
【点睛】此题考查几何概率模型求解，关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，代入椭圆方程中整理化简，令判别式等于零，可求出的值，从而可求得切线方程
【详解】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，
将代入中得，
，
化简整理得，
令，
化简整理得，即，解得，
所以切线方程为，即，
故答案为：
14、3
【解析】根据等比中项列方程，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】由题可得，
则，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
15、
【解析】根据题意，由向量坐标表示，列出方程，求出，，即可得出结果.
【详解】因为，，，
若，则，解得，所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由向量坐标表示求参数，属于基础题型.
16、
【解析】根据等比数列下标和性质得到，从而解出、，即可求出公比，从而求出，，即可得解；
【详解】解：因为，所以，因为，所以、为方程的两根，所以或，因为为递增的等比数列，所以，所以所以或（舍去），所以，，所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或.
【解析】（1）求出线段中点，进而得到线段的垂直平分线为，与联立得交点，∴.则圆的方程可求
（2）当切线斜率不存在时，可知切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，由到此直线的距离为，解得，即可到切线所在直线的方程.
试题解析：（1）线段的中点为，∵，
∴线段的垂直平分线为，与联立得交点，
∴.
∴圆的方程为.
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则到此直线的距离为，解得，∴切线方程为.
故满足条件的切线方程为或.
【点睛】本题考查圆的方程的求法，圆的切线，中点弦等问题，解题的关键是利用圆的特性，利用点到直线的距离公式求解
18、（1），；
（2）.
【解析】(1)设等差数列的公差，等比数列的公比，由已知列式计算得解.
(2)由(1)的结论，用等比数列前n项和公式求出，用裂项相消法求出，再比较大小作答.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，，
整理得：，解得，
所以，.
【小问2详解】
由(1)知，，数列是首项为，公比为的等比数列，则，
，
，则，
用数学归纳法证明，，
①当时，左边，右边，左边>右边，即原不等式成立，
②假设当时，不等式成立，即，
则，即时，原不等式成立，
综合①②知，，成立，
因此，，即，
所以.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据题意可以求出椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式，求出的值，然后结合椭圆的关系求出，最后写出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）根据平面向量共线定理可以得出A，B两点横坐标和纵坐标之间的关系，再设出直线AB方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出直线AB的斜率，最后根据三角形面积结合根与系数关系求出的面积.
【详解】（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为，
由题意可得，又
，，所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设，，由得：，
验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为
联立椭圆方程，得：，整理得：，
得：，将代入得，
所以的面积.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用一元二次方程根与系数关系求直线斜率和三角形面积问题，考查了数学运算能力.
20、（1）证明见解析，；
（2）；
（3）.
【解析】（1）由已知等式变形可得，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（2）求得，然后分、两种情况讨论，结合裂项相消法可得出的表达式；
（3）求得，分、、三种情况讨论，利用奇数与偶数的性质以及整数的性质可求得、的值，综合可得出结论.
【小问1详解】
解：由可得，，则，，
以此类推可知，对任意的，，则，
故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
故，可得.
【小问2详解】
解：由（1）知，所以，所以，
当n＝1时，，
当时，.
因为满足，所以.
【小问3详解】
解：，、、这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若，则，所以，，
又，所以，，则；
②若，则，则，
左边为偶数，右边为奇数，所以，②不成立；
③若，同②可知③也不成立
综合①②③得，
21、（1），；（2）.
【解析】（1）根据等差数列的通项公式及已知条件，，解方程组可得，，进而可得等差数列的通项公式，再利用等差数列的前项和公式可得；
（2）将数列的通项公式代入可得的通项公式，利用错位相减法求和可得结果.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由于，，所以，，
解得，，
所以，；
（2）因为，所以，
故，
，
两式相减得
，
所以.
【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.
22、（1）证明见详解
（2）
【解析】（1）将线面平行转化为面面平行，由已知易证；
（2）延长相交与点F，利用等体积法求点A到平面PCE，然后由可得.
【小问1详解】
四边形ABCD为正方形

平面PAD，平面PAD
平面PAD
同理，，平面PAD
又平面，平面
平面平面PAD
平面
平面PAD
【小问2详解】
延长相交与点F，因为，所以分别为的中点.记点到平面PCF为d，直线AB与平面PCE所成角为，则.
易知，，，，
因为平面ABCD，所以，
所以
因为，所以
由得：
即，得
所以
22.