福建省罗源第二中学、连江二中2025年高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

福建省罗源第二中学、连江二中2025年高二数学第一学期期末联考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（）
A.6 B.7
C. D.5
2．双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率为（）
A. B.
C. D.
3．已知抛物线过点，点为平面直角坐标系平面内一点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则点与原点间的距离的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
4．曲线在处的切线的斜率为（）
A.-1 B.1
C.2 D.3
5．空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
6．下列关于函数及其图象的说法正确的是（　　）
A.
B.最小正周期为
C.函数图象的对称中心为点
D.函数图象的对称轴方程为
7．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）

A.圆 B.双曲线
C.抛物线 D.椭圆
8．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2)=2, ，则f(x)＞x的解集是（ ）
A. B.
C. D.
9．设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路所在直线方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知圆与圆，则圆M与圆N的位置关系是（）
A.内含 B.相交
C.外切 D.外离
11．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ）
A. B.
C. D.
12．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值
A.至多等于3 B.至多等于4
C.等于5 D.大于5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若向量，且夹角的余弦值为________
14．四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥体积为_______
15．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为______
16．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）
（Ⅰ）写出椭圆C的普通方程和直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若点P（1，2），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值
18．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，，求
19．（12分）已知数列满足，
（1）证明是等比数列，
（2）求数列的前项和
20．（12分）设点P是曲线上的任意一点，k是该曲线在点P处的切线的斜率
（1）求k的取值范围；
（2）求当k取最大值时，该曲线在点P处的切线方程
21．（12分）设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.
22．（10分）设数列的前项和为，已知，且
（1）证明：；
（2）求
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.
【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以
故选：A

2、C
【解析】由，且，可得，再结合，可得，进而在△中，由余弦定理可得到齐次方程，求出即可.
【详解】由题意，可得，
因为，所以，
又，所以，
在△中，，即，
由余弦定理，可得，
整理得，则，即，解得，
因为，所以.

故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.双曲线离心率的求法：
（1）由条件直接求出（或或），或者寻找（或或）所满足的关系，利用求解；
（2）根据条件列出的齐次方程，利用转化为关于的方程，解方程即可，注意根据对所得解进行取舍.
3、B
【解析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可求得抛物线的方程，求出的坐标，分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，利用圆的几何性质可求得点与原点间的距离的最小值.
【详解】将点的坐标代入抛物线的方程得，可得，
故抛物线的方程为，易知点，
由中垂线的性质可得，
则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
故点的轨迹方程为，如下图所示：

由图可知，当点、、三点共线且在线段上时，取最小值，
且.
故选：B.
4、D
【解析】先求解出导函数，然后代入到导函数中，所求导数值即为切线斜率.
【详解】因为，所以，
所以切线的斜率为.
故选：D.
5、D
【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.
【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为，
故选：D.
6、D
【解析】化简，利用正弦型函数的性质，依次判断，即可
【详解】∵

∴，A选项错误；
的最小正周期为，B选项错误；
令，则，故函数图象的对称中心为点，C选项错误；
令，则，所以函数图象的对称轴方程为，D选项正确
故选：D
7、D
【解析】根据题意知,所以,故点P的轨迹是椭圆.
【详解】由题意知，关于CD对称，所以，
故，
可知点P的轨迹是椭圆.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，属于中档题.
8、D
【解析】构造，结合已知有在R上递增且，原不等式等价于，利用单调性求解集.
【详解】令，由题设知：，即在R上递增，
又，所以f(x)＞x等价于，即.
故选：D
9、B
【解析】求出圆心到直线距离，减去半径即为答案.
【详解】圆心到直线的距离，则从村庄外围到小路的最短距离为
故选：B
10、B
【解析】将两圆方程化为标准方程形式，计算圆心距，和两圆半径的和差比较，可得答案,
【详解】圆,即，圆心，
圆，即，圆心，
则故有，
所以两圆是相交的关系，
故选：B
11、A
【解析】结合等差中项和等比中项分别求出和，代值运算化简即可.
【详解】由是等比数列可得，是等差数列可得，所以，
故选：A
12、B
【解析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断
解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；
n大于4，也不成立；
空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
由三角形的两边之和大于三边，故不成立；
同理n＞5，不成立
故选B
点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据求解即可.
【详解】，

故答案为：
【点睛】本题主要考查了求空间中两个向量的夹角，属于基础题.
14、
【解析】计算，，得到底面，计算，，计算体积得到答案.
【详解】由，，所以底面，
，
故，
体积为.
故答案为：16.
15、
【解析】由抛物线定义可得，由此可知当为与抛物线的交点时，取得最小值，进而求得点坐标.
【详解】由题意得：抛物线焦点为，准线为
作，垂直于准线，如下图所示：

由抛物线定义知：
（当且仅当三点共线时取等号）
即的最小值为，此时为与抛物线的交点
故答案为
【点睛】本题考查抛物线线上的点到焦点的距离与到定点距离之和最小的相关问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线定义确定最值取得的位置.
16、
【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (I) 见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用平方法消去θ得到椭圆C的普通方程为，根据直线参数方程的几何意义求出直线的斜率，从而可得结果；（Ⅱ）把直线 的方程，代入中，利用直线参数方程的几何意义求出直线的斜率结合韦达定理可得结果.
试题解析：（Ⅰ）消去θ得到椭圆C的普通方程为
∵直线的斜率为，∴直线l的倾斜角为
（Ⅱ）把直线 的方程，代入中，
得
即，
∴t1·t2＝4，即｜PA｜·｜PB｜＝4
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据离心率和最大距离建立等式即可求解；
（2）根据弦长，求出直线方程，解出点的坐标即可得解.
【详解】（1）椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3，所以，所以，
所以椭圆E的方程；
（2）A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，
所以线段AB所在直线斜率一定存在，所以设该直线方程代入，
整理得：，设，
，
，

整理得：，
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，；
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，，
综上所述：.
19、（1）见解析；（2）
【解析】（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；
（2）由（1）求出，利用分组求和法求
【详解】（1）由得，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列,，所以，
（2）由（1）知的通项公式为；则
所以
【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题
20、（1）
（2）
【解析】（1）先求导数再求最值即可求解答案；
（2）由（1）确定切点，从而也确定的斜率就可以求切线.
【小问1详解】
设，因为，
所以，所以k的取值范围为
【小问2详解】
由（1）知，此时，即，所以此时曲线在点P处的切线方程为
21、（1）；
（2）过定点，坐标为.
【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【小问1详解】
因为椭圆离心率为，
所以有.
椭圆过点，所以，由可解：
，所以该椭圆方程为：；
【小问2详解】
由（1）可知：，
设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意，
当时，
直线的方程与椭圆方程联立得：，
设， ，
，
因为，所以，把代入得：
，
所以有或，
解得：或，
当时，直线，直线恒过定点，
此时与点重合，不符合题意，
当时，，直线恒过点，
当直线不存在斜率时，此时， ，因为，所以
，两点不在椭圆上，不符合题意，
综上所述：过C，D两点的直线过定点，定点坐标为.
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
22、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当n=1时，命题成立即可；
（2）通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.
【详解】（1）由条件，对任意，有，
因而对任意，有，
两式相减，得，即，
又，所以，
故对一切，
（2）由（1）知，，所以，
于是数列是首项，公比为3的等比数列，
数列是首项，公比为3的等比数列，
所以，
于是

从而，
综上所述，.
【点睛】已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.