山东省昌邑市第一中学2026届数学高二第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

山东省昌邑市第一中学2026届数学高二第一学期期末联考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直
C.在平面内 D.平行或在平面内
3．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有

A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
4．函数的导数为（ ）
A.
B.
C
D.
5．过两点和的直线的斜率为（）
A. B.
C. D.
6．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（）

A. B.
C. D.
7．已知函数，则（）
A. B.0
C. D.1
8．为了了解某地区的名学生的数学成绩，打算从中抽取一个容量为的样本，现用系统抽样的方法，需从总体中剔除个个体，在整个过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（）
A. B.
C. D.
10．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）
A.4 B.2
C. D.
11．下列直线中，与直线垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
12．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.如图所示的圆形剪纸中，正六边形的所有顶点都在该圆上，若在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________

14．在中，若面积，则______
15．已知数列的前项和为，且，若点在直线上，则______；______.
16．已知直线和互相平行，则实数的值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为2
1求椭圆的方程；
2如图，点A为椭圆上一动点非长轴端点，的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求面积的最大值

18．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程
19．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.
21．（12分）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角B；
（2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求CD的长
22．（10分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点
（1）求证: 平面平面；
（2）求证: 平面；
（3）求三棱锥体积

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值.
【详解】令公差为，则，解得，
所以，
当时，取最大值.
故选：B
2、D
【解析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，即可求解.
【详解】根据题意，因为，所以，所以直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内
故选：D
3、C
【解析】因为线段D1Q与OP互相平分，
所以四点O，Q，P，D1共面，
且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，

Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，
Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意
若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；

在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，
只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，
此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个
故选C.
4、B
【解析】由导数运算法则可求出.
【详解】，

.
故选：B.
5、D
【解析】应用两点式求直线斜率即可.
【详解】由已知坐标，直线的斜率为.
故选：D
6、A
【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，求出点的坐标，根据可得出，可得出，，结合已知条件求得的值，可得出、的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，
由图可知，点第一象限，将代入椭圆方程得，
得，所以，点，
易知点、，，，
因为，则，得，可得，则，
点到右准线的距离为为，则，，
因此，椭圆的方程为.
故选：A.
7、B
【解析】先求导，再代入求值.
详解】，所以.
故选：B
8、D
【解析】根据每个个体被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分别由剔除的个数和抽取的样本容量除以总体个数即可求解.
【详解】根据系统抽样的定义和方法可知：
每个个体被抽取的概率都是相等的，每个个体被剔除的概率也都是相等的，
所以每个个体被剔除的概率为，每个个体被抽取的概率为，
故选：D.
9、D
【解析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.
【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，
由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，
由得：，以为直径的圆恒过定点.
故选：D.
10、B
【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；
【详解】解：依题意可知、，
又且，
所以，，，，
则，
且，
即，即，
所以离心率.
故选：B
11、C
【解析】，
，
若，则，
项，符合条件，
故选
12、D
【解析】设圆的半径，求出圆的面积与正六边形的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；
【详解】解：设圆的半径，则，则，所以，所以在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率;
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】根据三视图可得如图所示的几何体，从而可求其体积.
【详解】
据三视图分析知，该几何体为直三棱柱，且底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以其体积
故答案为：1
14、##
【解析】结合三角形面积公式与余弦定理得，进而得答案.
【详解】解：由三角形的面积公式得，
所以，
因为，
所以，即，
因为，所以
故答案为：
15、 ①.； ②.
【解析】根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为点在直线上，
所以，所以数列是以，公差为的等差数列，
所以；
因为，
所以，
于是，
故答案为：；
16、
【解析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值.
详解】由直线和互相平行，
得 ，即.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）椭圆的标准方程为 （2）面积的最大值为
【解析】（1） 由题意得，再由，标准方程为；（2）①当的斜率不存在时，不妨取
；②当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组
，又直线的距离点到直线的距离为面积的最大值为.
试题解析：（1） 由题意得，解得，
∵，∴，，
故椭圆的标准方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取
，
故；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
联立方程组，
化简得，
设

点到直线的距离

因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
∴

综上，面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）利用分类与整合思想分当的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得，再求得点到直线的距离为面积的最大值为.

18、（1）；（2）或
【解析】（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为，求出，，即可求椭圆的方程；（2）设直线方程为，代入椭圆方程，由得，利用韦达定理，化简可得，求出，即可求直线的方程.
试题解析：（1）设椭圆方程为，因为 ，所以 ，所求椭圆方程为.
（2）由题得直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+1，则由得，且．设，则由得，又，所以消去得，解得，，所以直线的方程为，即或.
19、（1）（2）（3）见解析
【解析】(1)由题意求得 ，所以椭圆的方程为
(2) 联立直线与椭圆方程，由题意可得．三角形的高为．，面积表达式，当且仅当时，．即的面积的最大值是
(3)结论为．利用题意有．所以
试题解析：

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
因为椭圆的离心率是，
所以 ， 即
由 解得
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）将代入，
消去整理得
令，解得
设
则，
所以

点到直线的距离为
所以的面积

，
当且仅当时，
所以的面积的最大值是
（Ⅲ）．证明如下：
设直线，的斜率分别是，，
则
由（Ⅱ）得

，
所以直线，的倾斜角互补
所以，
所以
所以
20、（1）
（2）
【解析】（1）设点坐标为，根据两直线的斜率之积为得到方程，整理即可；
（2）设，，，根据设、在椭圆上，则，再由，则，即可表示出直线、的方程，联立两直线方程，即可得到点的纵坐标，再根据弦长公式得到，令，则，最后利用基本不等式计算可得；
【小问1详解】
解：设点坐标为，
定点，，直线与直线的斜率之积为，
，

【小问2详解】
解：设，，，则，，所以
又，所以，又即，则直线：，直线：，由，解得，即，所以
令，则，所以
因为，当且仅当即时取等号，所以的最大值为；
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据正弦定理边角互化得，进而得；
（2）根据题意得，进而在中，由余弦定理即可得答案.
【小问1详解】
解：因为，
所以由正弦定理可得，
所以，即，
因为，所以，故，
因为，所以
【小问2详解】
解：由（1）可知，又；
所以，，，
所以，
在，由余弦定理可得，
即，
解得

22、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.
（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，
又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面.
（2）取AB中点G，连结EG，FG，
因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC，
因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，
所以四边形为平行四边形，所以EG，
又因为EG平面ABE，平面ABE，
所以平面.
（3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，
所以三棱锥的体积为：==.
考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想