江苏省苏州五中2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

江苏省苏州五中2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）

A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
2．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A. B.
C. D.
3．设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
4．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（）
A. B.
C.2 D.
5．阅读程序框图，该算法的功能是输出

A.数列的第4项 B.数列的第5项
C.数列的前4项的和 D.数列的前5项的和
6．已知数列中，，则（ ）
A. B.
C. D.
7．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（）
A.里 B.里
C.里 D.里
8．抛物线的准线方程是
A. B.
C. D.
9．二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（ ）
A.或 B.或
C. D.
10．函数的最小值是（）
A.2 B.4
C.5 D.6
11．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是（）
①函数是圆O的一个太极函数
②圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
③函数是圆O的一个太极函数
④函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件

A.①② B.①③
C.②③ D.③④
12．已知是椭圆右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.
14．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.

15．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板

16．若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某情报站有．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用密码，表示第周使用密码的概率
（1）求；
（2）求证：为等比数列，并求的表达式
18．（12分）已知函数在处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值.
19．（12分）已知甲组数据的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分(仅一位小数)为叶，例如第一个数据为5.3

（1）求：甲组数据的平均值、方差、中位数；
（2）乙组数据为，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值为，方差为，求：乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算步骤.
参考公式：平均值，方差
20．（12分）经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表.

275
731.1
21.7
150
2368.36
30
表中，

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据.试求y关于x回归方程.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
21．（12分）已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.
22．（10分）已知函数
（1）求单调增区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设是界限上的一点，则，即，再根据双曲线的定义即可得出答案.
【详解】解：设是界限上的一点，
则，
所以，即，
在中，，
所以点的轨迹为双曲线，
即该界线所在曲线为双曲线.
故选：C.

2、C
【解析】根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.
【详解】由椭圆知，，所以，
所以右焦点坐标为，则直线的方程为，
设，
联立，消y得，，
则，
所以.
即弦AB长为.
故选：C.
3、B
【解析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.
【详解】因为，且，所以.
所以，，
所以.
故选：B
4、A
【解析】由条件建立a，b，c的关系，由此可求离心率的值.
【详解】设，则，
∵ ，∴，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ 离心率，
故选：A.

5、B
【解析】分析：模拟程序的运行,依次写出每次循环，直到满足条件,退出循环,输出A的值即可
详解：模拟程序的运行,可得:
 A=0,i=1执行循环体,, 
不满足条件,执行循环体,
不满足条件,执行循环体,
不满足条件,执行循环体,
不满足条件,执行循环体,
满足条件,退出循环,输出A的值为31.
观察规律可得该算法的功能是输出数列{}的第5项.
所以B选项是正确的.
点睛：模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的A,i的值,当i=6时满足条件,退出循环,输出A的值,观察规律即可得解.
6、D
【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.
【详解】由，
可得，，
，
故选： D.
7、C
【解析】建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解
【详解】记第天走的路程为里，则是等比数列，，
，
故选：C
8、C
【解析】根据抛物线的概念，可得准线方程为
9、B
【解析】根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集.
【详解】因为二次方程的两根为2，，
又二次函数的图象开口向上，
所以不等式的解集为或 ，
故选：B
10、C
【解析】结合基本不等式求得所求的最小值.
【详解】，
，
当且仅当时等号成立.
故选：C
11、B
【解析】①③可以通过分析奇偶性和结合图象证明出符合要求，②④可以举出反例.
【详解】是奇函数，且与圆O的两交点坐标为，能够将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故符合题意，①正确；
同理函数是圆O的一个太极函数，③正确；
例如，是偶函数，也能将将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，故②错误；
函数的图象关于原点对称不是为圆O的太极函数的充要条件，
例如为奇函数，但不满足将圆O的周长和面积同时等分为两个部分，所以④错误；
故选：B
12、A
【解析】结合椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得，由此求得离心率.
【详解】圆的圆心为，半径为.
设左焦点为，连接，
由于，
所以，所以，所以，
由于，所以，
所以，
，.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或
【解析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可
【详解】点关于轴的对称点为,
（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,
因为反射光线与圆相切,
所以圆心到反射光线的距离,即,
解得,
所以反射光线方程为:；
（2）当不存在时,反射光线,此时,也与圆相切,
故答案为: 或
【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程
14、
【解析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.
【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为

设,
由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）
则，
又设直线PN方程为
由到直线PN的距离为1，得，整理得
则，又，故
则直线PN的方程为，
故，
由，解得，故椭圆的离心率
故答案为：
【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
15、1458
【解析】首先由条件可得第圈的石板为，且为等差数列，利用基本量求和，即可求解.
【详解】设第圈的石板为，由条件可知数列是等差数列，且上层的第一圈为，且，所以，
上层的石板数为，下层的石板数为.
所以下层比上层多块石板.
故答案为：1458
16、
【解析】分为和考虑，当时，根据题意列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】当得：，满足题意；当时，要想保证关于的不等式的解集为R，则要满足：，解得：，综上：的取值范围为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，，
（2）证明见解析，
【解析】(1)根据题意可得第一周使用A密码，第二周使用A密码的概率为0，第三周使用A密码的概率为，以此类推；
(2)根据题意可知第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为，进而可得，结合等比数列的定义可知为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.
【小问1详解】
，，，
【小问2详解】
第周使用A密码，则第周必不使用A密码（概率为），然后第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为
故，即
故为等比数列且，公比
故，故
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；
（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.
【小问1详解】
∵函数，
∴的定义域为，，
∴在处切线的斜率为，
由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，
∴的解析式为；
【小问2详解】
由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，
所以切点到直线的距离最小，最小值为，
故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.
19、（1），，；
（2），.
【解析】（1）根据茎叶图求平均值，再由方差与均值的关系求，将茎叶图中的数据从小到大排列确定中位数M.
（2）由甲乙平均数及（1）的结果列方程求乙组数据的平均值，再由方差与均值的关系列方程组求出，进而求方差.
【小问1详解】
，
∴，
由茎叶图知：数据从小到大排列为
∴.
【小问2详解】
由题意，，
又，
因此.
20、（1）
（2）
【解析】(1)根据散点图看出样本点分布在一条指数函数的周围，即可判断；
(2)令，利用最小二乘法即可求出y关于x的线性回归方程.
【小问1详解】
根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
所以适宜作为y与x之间的回归方程模型；
【小问2详解】
令，则，
；
，
∴；
∴y关于x的回归方程为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.
（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程
【小问1详解】
由题设，抛物线准线方程为，
∴抛物线定义知：可得，故
【小问2详解】
由题设，直线l的斜率存在且不为0，设
联立方程，得，
整理得，则.
又P是线段AB的中点，∴，即
故l
22、（1）单调增区间为；（2）.
【解析】（1）求导由求解.
（2）将时，恒成立，转化为时，恒成立，令用导数法由求解即可.
【详解】（1）因为函数
所以
令，
解得，
所以单调增区间为.
（2）因为时，恒成立，
所以时，恒成立，
令
则
令
因为时，恒成立，
所以在单调递减.
当时，在单调递减，
故符合要求；
当时，单调递减，
故存在使得
则当时单调递增，不符合要求；
当时，单调递减，
故存在使得
则当时单调递增，不符合要求.
综上.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；；