2026届蚌埠市重点中学数学高二上期末经典模拟试题含解析.doc

2026届蚌埠市重点中学数学高二上期末经典模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（ ）

A.函数在上是增函数
B.函数在上是减函数
C.是函数的极小值点
D.是函数的极大值点
2．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）

A. B.
C.8 D.12
3．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（）
A. B.
C. D.
4．若 则（ ）
A.−2 B.−1
C.1 D.2
5．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（）
A. B.
C. D.
6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（）
A.4 B.12
C.15 D.18
7．曲线与曲线的　　
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
8．已知全集，，（）
A. B.
C. D.
9．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，不等式的左边增加了（）
A. B.
C. D.
10．若双曲线一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是
A. B.
C. D.
12．已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆，以点为中点的弦所在的直线的方程是___________
14．过点的直线与抛物线相交于，两点，，则直线的方程为______.
15．已知双曲线，（，）的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是___________，双曲线的渐近线方程为___________.
16．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC上的动点，且.

（1）求证：；
（2）当时，求点A到平面的距离.
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面于点M连接.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线：，点，过点的直线l与抛物线交于A，B两点：当l与抛物线的对称轴垂直时，

（1）求抛物线的标准方程；
（2）若点A在第一象限，记的面积为，的面积为，求的最小值
20．（12分）已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）

（1）求抛物线方程并证明是定值；
（2）若，的面积比是，求直线的方程
21．（12分）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
22．（10分）已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）若时，对任意都有恒成立，求实数的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.
【详解】由图象可知，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确；
是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误
故选：A
2、B
【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.
【详解】由题意知，
该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，
正三角形的边长为：，
正三角形边上的一条高为：，
所以一个正三角形的面积为：，
所以多面体的表面积为：.
故选：B
3、B
【解析】用函数单调性确定参数，使用参数分离法即可.
【详解】，在上是增函数，
即恒成立，；
设，；
∴时，是增函数；
时，是减函数；
故时，，∴；
故选：B.
4、B
【解析】分子分母同除以，化弦为切，代入即得结果.
【详解】由题意，分子分母同除以，可得.
故选：B.
5、B
【解析】确实新数列是等比数列及公比、首项后，由等比数列前项和公式计算，
【详解】由题意，新数列为，所以，，
前项和为
故选：B.
6、C
【解析】先求出公差，再利用公式可求总重量.
【详解】设头部一尺重量为，其后每尺重量依次为，
由题设有，，故公差为.
故中间一尺的重量为
所以这5项和为.
故选：C.
7、D
【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断
【详解】解：曲线表示焦点在轴上，长轴长10，短轴长为6，离心率为，焦距为8
曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，
离心率为，焦距为8
对照选项，则正确
故选：
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题
8、C
【解析】根据条件可得，则，结合条件即可得答案.
【详解】因，所以，则，
又，所以，即.
故选：C
9、B
【解析】依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边作差比较即可得到答案
【详解】用数学归纳法证明等式的过程中，
假设时不等式成立，左边，
则当时，左边，
∴从到时，不等式的左边增加了
故选：B
10、A
【解析】根据（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），求解出的关系式，结合求解出离心率的值.
【详解】取的一条渐近线，
因为（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），
其中，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用几何法表示出圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系.
11、C
【解析】根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.
【详解】由题：双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，
必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：

当为钝角时，在中，设，

有，，
即，，
所以
；
当时，所在直线方程，所以，，
，根据图象可得要使，点向右上方移动，
此时，
综上所述：的取值范围是.
故选：C
【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.
12、B
【解析】先根据离心率得，再根据抛物线定义得最小值为（为抛物线焦点），解得，即得结果.
【详解】因为双曲线的离心率，所以，
设为抛物线焦点，则，抛物线准线方程为，
因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，
因为，所以，即，
即双曲线的方程为，选B.
【点睛】本题考查双曲线方程、离心率以及抛物线定义，考查基本分析求解能力，属中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设，利用以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于AC的直线求得直线斜率，由点斜式可求得直线方程
【详解】圆的方程可化为，可知圆心为
设，则以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于的直线．又知，所以，所以直线的方程为，即
故答案为：
【点睛】本题考查圆的几何性质，考查直线方程求解，是基础题
14、##
【解析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而点P为抛物线的焦点，设，利用抛物线的定义可得，有轴，即可得出结果.
【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标，又，
所以点P为抛物线的焦点，设，
由，由抛物线的定义得，解得，
所以AB垂直与x轴，所以直线AB的方程为：.
故答案为：
15、 ①. ②.
【解析】由题意，不妨设直线与圆相切于点，由可得，代入双曲线方程，可得，因此，即得解
【详解】
如图所示，不妨设直线与圆相切于点，
，由于

代入进入，可得

，渐近线方程为
故答案为：，
16、-1
【解析】根据给定条件设出点A，B的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.
【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，，
由两式相减得：，
而，于是得，即，
所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】(1)如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和，再证明即可；
(2)利用空间向量的数量积求出平面的法向量，结合求点到面距离的向量法即可得出结果.
【小问1详解】
证明：如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，
所以，
故，所以；
【小问2详解】
当时，，，，，
则，，，
设是平面的法向量，则
由，解得，取，得，
设点A到平面的距离为，则，
所以点A到平面的距离为.
18、（1）证明见详解
（2）
【解析】（1）连接，交于点，则为中点，再由等腰三角形三线合一可知为中点，连接，利用中位线可知，根据直线与平面平行的判定定理即可证明；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法即可求出两平面所成角的余弦值.
【小问1详解】
连接，交于点，则为中点，
因为，于，则为中点，
连接，则，
又因为平面，平面,
所以平面；
【小问2详解】
如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，
由可得，
令，得，即，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
，
则平面与平面所成角的余弦值为.

19、（1）.
（2）8.
【解析】（1）将点代入抛物线方程可解得基本量.
（2）设直线AB为，代入联立得关于的一元二次方程，运用韦达定理，得到关于的函数关系，再求函数最值.
【小问1详解】
当l与抛物线的对称轴垂直时，，，
则代入抛物线方程得，
所以抛物线方程是
【小问2详解】
设点，，直线AB方程为，
联立抛物线整理得：，
，
∴，，
有，由A在第一象限，则，即，
∴，可得
，
又O到AB的距离，
∴，而，
∴，
，
当，，单调递减；
，，单调递增；
∴的最小值为,此时，.
20、（1），证明见解析
（2）
【解析】（1）根据，结合韦达定理即可获解
（2），再结合焦点弦公式即可获解
【小问1详解】
由题知，故，
抛物线方程为，
设直线的方程为，，，，，
，得，
，，

，

【小问2详解】
，
由（1）知，可求得，，
故
的方程为，即
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是要把面积的比例关系转为为边的比例关系
21、（1），；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为,根据题意列出表达式，解出公比和公差，再根据等差数等比列的通项公式的求法求出通项即可；（2）根据第一问得到前n项和，数列,分组求和即可.
解析：
(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，∴，
∴，，∴，.
(2)由(1)知，，∴，
∴.
22、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）利用导数与单调性的关系分类讨论即得；
（2）由题可得在上恒成立，构造函数，利用导数求函数的最值即可.
【小问1详解】
的定义域为，且
当时，显然，在定义域上单调递增；
当时，令，得则有：

极大值

即在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在定义域上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
当时，，
对于满足恒成立，
在上恒成立，
令，只需
∴，
，，令，则，
在上单调递增，又，，
存在唯一的，使得，即，
两边取自然对数得，

极小值

，
则的最大值为