2025年河北省张家口市数学高二上期末检测试题含解析.doc

2025年河北省张家口市数学高二上期末检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ）
A. B.2
C.1 D.4
2．已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（　　）
A. B.
C. D.
3．函数直线与的图象相交于A、B两点，则的最小值为（）
A.3 B.
C. D.
4．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的值可以是（ ）
A. B.2
C.3 D.
5．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过双曲线上一点作轴的垂线足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
6．圆的圆心为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A.3 B.2
C.1 D.0
9．下列命题中，一定正确的是（ ）
A.若且，则a>0，b<0
B.若a>b，b≠0，则>1
C.若a>b且a＋c>b＋d，则c>d
D.若a>b且ac>bd，则c>d
10．已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（）
A.4 B.3
C.2 D.1
11．直线l：的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
12．已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，且点的横坐标为，过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则的面积为___________.
14．曲线在点处的切线的方程为__________.
15．已知，命题p：，；命题q：，，且为真命题，则a的取值范围为______
16．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个长方体形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设

（1）求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域；
（2）当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？
18．（12分）设函数
（1）求在处的切线方程；
（2）求在上的最大值与最小值
19．（12分）如图，AC是圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，平面ABC，点E在棱PB上，且，，.

（1）求证：；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
20．（12分）求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1），焦点在轴上的双曲线的标准方程；
（2）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程
21．（12分）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点
（1）求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；
（3）证明：内切圆的面积小于
22．（10分）在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于，两点，求线段的中点的直角坐标及的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得，解之可得值
【详解】解：由题意可得抛物线开口向右，
焦点坐标，，准线方程，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，
即，解之可得.
故选：B.
2、D
【解析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出
【详解】解：由，可得，解得，则.
∴，

故选：
【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
3、C
【解析】先求出AB坐标，表示出，规定函数，其中，利用导数求最小值.
【详解】联立解得可得点．联立解得可得点．由题意可得解得，令，其中，∴．∴函数单调递减；．因此，的最小值为
故选：C
【点睛】距离的最值求解：
（1）几何法求最值；
（2）代数法：表示出距离，利用函数求最值.
4、D
【解析】由求出，从而可以求，再根据已知条件不等式恒成立，可以进行适当放大即可.
【详解】若n=1，则 ，故；
若 ，则
由 得，故，
所以，，
又因为 对 恒成立，
当 时，则 恒成立，
当时， ，
所以，，
，
若n为奇数，则；
若n为偶数，则，所以
所以，对 恒成立，必须满足 .
故选：D
5、A
【解析】根据条件可知四边形为正方形，从而根据边长相等，列式求双曲线的离心率.
【详解】不妨设在第一象限，则，根据题意，四边形为正方形，于是，即，化简得，解得（负值舍去）.
故选：A.
6、D
【解析】由圆的标准方程求解.
【详解】圆的圆心为，
故选：D
7、B
【解析】根据倾斜角与斜率的关系可得，即可求m的范围.
【详解】由题设知：直线斜率范围为，即，可得.
故选：B.
8、C
【解析】若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数的图象不过第四象限，则函数是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．选C
9、A
【解析】结合不等式的性质确定正确答案.
【详解】A选项，若且，则，所以A选项正确.
B选项，若，则，所以B选项错误.
C选项，如，但，所以C选项错误.
D选项，如，但，所以D选项错误.
故选：A
10、C
【解析】根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得；
【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以
故选：C
11、D
【解析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.
【详解】依题意，直线的斜率为，倾斜角的范围为,
则倾斜角为.
故选：D.
12、A
【解析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.
【详解】设，则
由，可得
则，即，则
则双曲线的渐近线的斜率为
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】不妨设点为第一象限内的点，求出点的坐标，可求得直线、的方程，求出点、的坐标，可求得以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】不妨设点为第一象限内的点，设点，其中，则，可得，
即点，抛物线的焦点为，，
所以，直线的方程为，
联立，解得或，即点，
所以，，
直线的方程为，抛物线的准线方程为，联立，可得点，
点到直线的距离为，
因此，.
故答案为：.
14、
【解析】求出导函数，得切线斜率后可得切线方程
【详解】，∴切线斜率为，
切线方程为
故答案为：
15、
【解析】先求出命题p,q为真命题时的a的取值范围，根据为真可知p,q都是真命题,即可求得答案.
【详解】命题p：，为真时，有，
命题q：，为真时，则有 ，
即 ，
故为真命题时，且，即，
故a的取值范围为，
故答案为：
16、
【解析】由题意可得与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.
【详解】令可得，
若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，
即与的图象有三个不同的交点，
作出的图象如图：

当时，是以为顶点开口向下的抛物线，
此时与的图象没有交点，不符合题意；
当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；
当时，时，与的图象有一个交点，
所以时与的图象有两个交点，
即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，
可得与的图象有两个不同的交点，
令，则，
由即可得，
由即可得，
所以在单调递增，在单调递减，
作出其图象如图：

当时，，
当
时，可得与的图象有两个不同的交点，
即时，函数有三个零点，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），定义域为；
（2）当时，包装盒的容积最大是.
【解析】（1）设出包装盒的高和底面边长，利用长方体的表面积得到等量关系，再利用长方体的体积公式求出表达式，再利用实际意义得到函数的定义域；
（2）求导，利用导函数的符号变化得到函数的极值，即最值.
小问1详解】
解：设包装盒的高为，底面边长为，
则，，
所以=
其定义域为；
【小问2详解】
解：由（1）得：，，
因为，
所以当时，；
当时，；
所以当时，取得极大值，
即当时，包装盒的容积最大是
18、（1）
（2），
【解析】（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；
（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，即可求出函数在区间上的最大值与最小值
【小问1详解】
，，，
所以在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
，
因为，所以与同号，
令则，
由，得，此时为减函数，
由，得，此时为增函数，
则，
故，在单调递增，
所以，
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由圆的性质可得，再由线面垂直的性质可得，从而由线面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再结合已知条件可得平面PBC，由线面垂直的性质可得结论；
（2）由已知条件结合基本不等式可得当三棱锥的体积最大时，是等腰直角三角形，，从而以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且垂直于圆O平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【小问1详解】
证明：因为AC是圆O的直径，点B是圆O上不与A，C重合的一个动点，
所以.
因为平面ABC，平面ABC，
所以.
因为，且AB，平面PAB，
所以平面PAB.
因为平面PAB，
所以.
因为，，且BC，平面PBC，
所以平面PBC.
因为平面PBC，
所以.
【小问2详解】
解：因为，，所以，所以三棱锥的体积，（当且仅当“”时等号成立）.
所以当三棱锥的体积最大时，是等腰直角三角形，.
所以以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且垂直于圆O平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
因为∽，所以，因为，，所以，
所以，
.
设向量为平面的一个法向量，则即
令得，.
向量为平面ABC的一个法向量，.
因为二面角是锐角，
所以二面角的余弦值为.

20、（1）；（2）或
【解析】（1）设方程为（，），即得解；
（2）由题得，即得解.
【详解】（1）解：由题意，设方程为（，），
，，
，，
所以双曲线的标准方程是
（2）焦点到准线的距离是2，
，
∴当焦点在轴上时，抛物线的标准方程为或
21、（1）；
（2）存在，1； （3）证明见解析.
【解析】(1)根据几何关系即可求p；
(2)求解为定值1，即可求λ＝1；
(3)先求的面积，再由(为三角周长)可求内切圆半径r.
【小问1详解】
由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此，∴抛物线E的方程为
【小问2详解】
设直线的斜率为，直线方程为，记，
，消去，得
由，得且，，，
，
因此，即存在实数满足要求
【小问3详解】
由(2)知，，

点F到直线AB的距离，
∴的面积
记的内切圆半径为r，∵，
∴
∴内切圆的面积小于
22、（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程.
（2）
【解析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用中点坐标公式和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果
【小问1详解】
解：过点的直线的参数方程为为参数），转换为普通方程为，即直线的普通方程为；
曲线的极坐标方程为，即，即，根据，转换为直角坐标方程为，即曲线的直角坐标方程
【小问2详解】
解：把代入，整理得，
所以，设，，；
故，代入，解得，
故中点坐标为；
把直线的参数方程为为参数）代入，设和对应的参数为和，
得到，
整理得，
所以