广东省深圳市蛇口育才二中2025年数学高二上期末监测试题含解析.doc

广东省深圳市蛇口育才二中2025年数学高二上期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2013年9月7日，总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲在谈到环境保护问题时提出“绿水青山就是金山银山”这一科学论新．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（）（其中，，）
A.2559万元 B.2969万元
C.3005万元 D.3040万元
2．已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，是底面圆上的弦，为等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
3．若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4．已知双曲线上点到点的距离为15，则点到点的距离为（ ）
A.9 B.6
C.6或36 D.9或21
5．已知，则（）
A. B.1
C. D.
6．下列导数运算正确的是（）
A. B.
C. D.
7．若，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
8．函数的导函数为，若已知图象如图，则下列说法正确的是（）

A.存在极大值点 B.在单调递增
C.一定有最小值 D.不等式一定有解
9．过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线
C.线段 D.圆
11．已知双曲线，且三个数1，，9成等比数列，则下列结论正确的是（）
A.的焦距为 B.的渐近线方程为
C.的离心率为 D.的虚轴长为
12．命题：“∃x＜1，x2＜1”的否定是（ ）
A.∀x≥1，x2＜1 B.∃x≥1，x2≥1
C.∀x＜1，x2≥1 D.∃x＜1，x2≥1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足．则点M的轨迹方程为______
14．“”是“”的________条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一项填空.）
15．已知正方体的棱长为6，E为棱的中点，F为棱上的点，且，则___________.
16．已知长方体中，，，则点到平面的距离为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，
（1）设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由
18．（12分）已知等差数列的前项和满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（12分）已知等比数列前3项和为
（1）求的通项公式；
（2）若对任意恒成立，求m的取值范围
20．（12分）已知函数.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，求在区间上的最小值和最大值.
21．（12分）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上
（1）求圆C的方程；
（2）过点作圆C的切线，求切线方程
22．（10分）已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正实数a，使得不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】前7年投入资金可看成首项为160，公差为20的等差数列，后4年投入资金可看成首项为260，公比为1.1的等比数列，分别求和，即可求出所求
【详解】2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，成等差数列，
则2020年投入资金万元，
年共7年投资总额为，
从2021年开始每年投入资金比上一年增加，
则从2021年到2024年投入资金成首项为，公比为1.1，项数为4的等比数列，
故从2021年到2024年投入总资金为，
故到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为万元
故选：
2、B
【解析】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，找出异面直线与所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.
【详解】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，
则，，
所以为异面直线与所成的角，
在三角形中，，，所以.
故选：B.

【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值的计算，一般通过平移直线的方法找到异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
3、C
【解析】若f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,
则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.
由x2-ax+1=0,得a=x+.因为x∈,y=x+的值域是,
当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.
所以实数a的取值范围是,故选C.
4、D
【解析】利用双曲线的定义可得答案.
【详解】设，，，为双曲线的焦点，
则由双曲线定义，知，而
所以或21
故选：D.
5、B
【解析】先根据共轭复数的定义可得，再根据复数的运算法则即可求出
【详解】因为，所以
故选：B
6、B
【解析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解
【详解】选项A，，错误；
选项B，，正确；
选项C，，错误；
选项D，，错误
故选：B
7、A
【解析】由于对数函数的存在，故需要对进行放缩，结合（需证明），可放缩为，利用等号成立可求出，进而得解.
【详解】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故
故选：A
8、C
【解析】根据图象可得的符号，从而可得的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.
【详解】由所给的图象，可得当时，，当时，，
当时，，当时，，
可得在递减，递增；在递减，在递增，B错误，
且知，所以存在极小值和，无极大值，A错误，
同时无论是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.
故选：C.
9、A
【解析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，再由点斜式求解即可
【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，
，
∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，
∴过点且与原点O距离最远的直线方程为：
，即.
故选：A
10、C
【解析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.
【详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段.
故选：
11、D
【解析】先求得的值，然后根据双曲线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】方程表示双曲线，则，
成等比数列，则，
所以双曲线方程为，
所以，
故双曲线的焦距为，A选项错误.
渐近线方程为，B选项错误.
离心率，C选项错误.
虚轴长，D选项正确.
故选：D
12、C
【解析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】根据含有量词的命题的否定，
则“∃x＜1，x2＜1”的否定是“∀x＜1，x2≥1”.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设出动点，根据已知条件得到关于的方程.
【详解】设，由，有，得，所以，由得：，所以点的轨迹的方程是.
故答案为：
14、充分不必要
【解析】由不等式的性质可知，由得，反之代入进行验证，然后根据充分性与必要性的定义进行判断，即可得出所要的答案
【详解】解：由不等式的性质可知，由得，
故“”成立可推出“”，
而，当，则，
所以“”不能保证“”，
故“”是“”成立的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，结合不等式的性质，属于较简单题型
15、18
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算求解.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：

则，
所以，
所以，
故答案为：18
16、##2.4
【解析】过作于，可证即为点到平面的距离.
【详解】
过作于，
∵是长方体，∴平面平面，
又∵平面平面，∴平面，
设点到平面的距离为，
∵∥平面，∴根据等面积法得，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）存在，3
【解析】(1)结合递推关系可证得bn+1－bn1，且b1＝1，可证数列{bn}为等差数列，据此可得数列的通项公式；
(2)结合通项公式裂项有求和有，再结合条件可得，即求
【详解】（1）证明：∵，
又由a1＝2，得b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以bn＝1+(n－1)×1＝n，
由，得
（2）解：∵，，
所以，
依题意，要使对于n∈N*恒成立，
只需，解得m≥3或m≤-4
又m＞0，所以m≥3，
所以正整数m的最小值为3
18、（1）；（2）.
【解析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式；
（2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，
因为，.
所以，化简得，解得，
所以，
（2）由（1）可知，
所以，
所以
【点睛】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题
19、（1）
（2）
【解析】（1）由等比数列的基本量，列式，即可求得首项和公比，再求通项公式；
（2）由题意转化为求数列的前项和的最大值，即可求参数的取值范围.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，则，①
，
即，
得，即，
代入①得，解得：，
所以；
【小问2详解】
由（1）可知，数列是首项为2，公比为的等比数列，
，
若对任意恒成立，即，
数列，,单调递增,的最大值无限趋近于4，
所以
20、（1）在和上单调递增，在上单调递减.
（2）答案见解析.
【解析】（1）求解导函数，并求出的两根，得和的解集，从而得函数单调性；（2）由（1）得函数的单调性，从而得最小值，计算，再分类讨论与两种情况下的最大值.
【小问1详解】
函数定义域为，，时，或，因为，所以，时，或，时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
因为，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，又因为，当时，，此时最小值为，最大值为；当时，，此时最小值为，最大值为.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用
21、（1）．（或标准形式）
（2）或
【解析】（1）根据题意，求出中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；
（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案
【小问1详解】
解：根据题意，因为圆过两点，，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即
又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，
【小问2详解】
解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切
当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）
由圆心C到切线的距离，可得
将代入（*），得切线方程为
综上，所求切线方程为或
22、（1）
（2）
【解析】（1）通过构造新数列求解；
（2）由（1）得，再研究其单调性，从而得到最值，再解不等式即可求解.
【小问1详解】
由，假设其变形为，则有，所以，又.
所以，即.
【小问2详解】
由（1），
所以，
令，则，
所以，所以是递减数列，
所以，
所以使得不等式对一切正整数n都成立，
则，即，
因为为正实数，所以.