湖北省天门、仙桃、潜江市2026届高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

湖北省天门、仙桃、潜江市2026届高二数学第一学期期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线：在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
2．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）
A. B.
C. D.
3．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
4．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知直线，，若，则实数的值是（ ）
A.0 B.2或-1
C.0或-3 D.-3
6．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆离心率为（ ）
A. B.
C. D.
7．为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）.考虑以下结论：

①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；
②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；
③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；
④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
8．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则与的关系是（ ）
A. B.
C. D.
9．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（）
A. B.
C.4 D.5
10．已知两个向量，，且，则的值为（）
A.-2 B.2
C.10 D.-10
11．已知直线与直线，若，则（）
A.6 B.
C.2 D.
12．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________
14．数列满足前项和，则数列的通项公式为_____________
15．如图直线过点，且与直线和分别相交于，两点.

（1）求过与交点，且与直线垂直的直线方程；
（2）若线段恰被点平分，求直线的方程.
16．函数在上的最大值为______________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆．离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形

（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由
18．（12分）已知抛物线的焦点，点在抛物线上.
（1）求；
（2）过点向轴作垂线，垂足为，过点的直线与抛物线交于两点，证明：为直角三角形（为坐标原点）.
19．（12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的一个方向向量为；
已知直线l过点，且___________.
（1）求直线l的一般方程；
（2）若直线l与圆C：相交于M，N两点，求弦长.
20．（12分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.
21．（12分）某情报站有．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用密码，表示第周使用密码的概率
（1）求；
（2）求证：为等比数列，并求的表达式
22．（10分）平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
（1）求椭圆M的方程；
（2）C，D为椭圆M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD与AB垂直，求四边形ACBD面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】因为，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率为，
所以切线方程为 ，即，选A
2、A
【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解
【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，

∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，
∴点P到直线和直线的距离之和，
∴当B，P，F三点共线时，最小，
∵，∴，
∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为
故选：A
3、D
【解析】由可得直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解
【详解】由题意，故为直角三角形，
，
又，
，
又为直角三角形，故，
，
即，
.

故选：D.
4、B
【解析】根据题意得到，，解得答案.
【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.
且渐近线经过点，故，故，双曲线方程为：.
故选：.
【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.
5、C
【解析】由，结合两直线一般式有列方程求解即可.
【详解】由知：,解得：或
故选：C .
6、B
【解析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设，则，
由，可得，所以，
因为，可得，
又由，两式相减得，
即，即，
又因为，所以，即
又由，所以，解得.
故选：B.

7、B
【解析】根据茎叶图数据求出平均数及标准差即可
【详解】由茎叶图知甲地该月时的平均气温为，
标准差为
由茎叶图知乙地该月时的平均气温为，
标准差为
则甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故①正确，
乙平均气温的标准差小于甲的标准差，故④正确，
故正确的是①④，
故选：B
8、D
【解析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，
所以，
又，所以，
所以，，
所以
即
故选：D
9、C
【解析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.
【详解】
，所以在抛物线的内部，
过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，
，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
10、C
【解析】根据向量共线可得满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项.
【详解】因为，故存在常数，使得，
所以，故，所以，
故选：C.
11、A
【解析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】解：因为直线与直线，且，所以，解得；
故选：A
12、D
【解析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.
【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，
若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，
故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.
14、
【解析】由已知中前项和，结合 ，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式
【详解】∵数列前项和，
∴当时，，
又∵当时， ，
故，
故答案为.
【点睛】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法和步骤是解答本题的关键
15、（1）；（2）.
【解析】本题考查直线方程的基本求法：垂直直线的求法、点关于点对称、点在直线上的待定系数法
【详解】（1）由题可得交点，
所以所求直线方程为，即；
（2）设直线与直线相交于点，
因为线段恰被点平分，
所以直线与直线的交点的坐标为
将点，的坐标分别代入，的方程，
得方程组
解得
由点和点及两点式，得直线的方程为，
即
【点睛】直线的考法主要以点的对称和直线的平行与垂直为主．点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于直线的对称，是重点考察内容
16、
【解析】对原函数求导得，令，解得或，且所以原函数在上的最大值为
考点：1．函数求导；2．利用导函数求最值

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）是定值，理由见解析.
【解析】（1）由题意有，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形有，即可写出椭圆方程；（2）直线与椭圆交于两点，联立方程结合韦达定理即有，已知应用点线距离公式、三角形面积公式即可说明的面积是否为定值；
【详解】（1）椭圆离心率为，即，
∵点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
∴，
综上有：，，故椭圆方程为，
（2）由直线与椭圆交于两点，联立方程：
，整理得，
设，则
，
，
，
，
原点到的距离，
为定值；
【点睛】本题考查了由离心率求椭圆方程，根据直线与椭圆的相交关系证明交点与原点构成的三角形面积是否为定值的问题.
18、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）点代入即可得出抛物线方程，根据抛物线的定义即可求得.
（2）由题，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，可得，利用韦达定理证得即可得出结论.
【小问1详解】
点在抛物线上.
，则，所以.
【小问2详解】
证明：由题，设直线的方程为：，点
联立方程，消得：，由韦达定理有，
由，所以，所以，
所以，所以为直角三角形.
19、（1）若选择①②，则直线方程为：；若选择③，则直线方程为；
（2）若选择①②，则；若选择③，则.
【解析】（1）根据所选择的条件，结合直线过点，即可写出直线的方程；
（2）利用（1）中所求直线方程，以及弦长公式，即可求得结果.
【小问1详解】
若选①与直线平行，则直线的斜率；
又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；
若选②与直线垂直，则直线的斜率满足，解得；
又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；
若选③直线l的一个方向向量为，则直线的斜率；
又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；
综上所述：若选择①②，则直线方程为：；若选择③，则直线方程为.
【小问2详解】
对圆C：，其圆心为，半径，
根据（1）中所求，若选择①②，则直线方程为，则圆心到直线的距离，
则直线截圆所得弦长；
若选择③，则直线方程为，则圆心到直线的距离，
则直线截圆所得弦长.
综上所述，若选择①②，则；若选择③，则.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线的定义可得，求得，即可得出答案；
（2）设，利用点差法求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案.
【小问1详解】
解：由抛物线定义可知：，
解得：，
∴C的方程为；
【小问2详解】
解：设，
则，两式作差得，
∴直线l的斜率，
∵为的中点，
∴，∴，
∴直线l的方程为，
即（经检验，所求直线符合条件）.
21、（1），，，
（2）证明见解析，
【解析】(1)根据题意可得第一周使用A密码，第二周使用A密码的概率为0，第三周使用A密码的概率为，以此类推；
(2)根据题意可知第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为，进而可得，结合等比数列的定义可知为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.
【小问1详解】
，，，
【小问2详解】
第周使用A密码，则第周必不使用A密码（概率为），然后第周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A密码的概率为
故，即
故为等比数列且，公比
故，故
22、（1）
（2）
【解析】（1）设，，的中点为，利用“点差法”求解；
（2）由求得A，B的坐标，进而得到的长，再根据，设直线的方程为，由，求得的长，然后由四边形的面积为求解.
【小问1详解】
解：把右焦点代入直线，得，
设，，的中点为，
则，，相减得，
即，
即，即.
又，，则.
又，解得，，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
联立消去，可得，解得或，
故交点为，.
所以.
因为，所以可设直线的方程为，，，
联立消去，得到，
因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，
解得，且，
又，则.
故四边形的面积为，
故当时，取得最大值，最大值为.所以四边形的面积的最大值为.