湖北省鄂州市部分高中联考协作体2025年高二数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

湖北省鄂州市部分高中联考协作体2025年高二数学第一学期期末质量检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
2．如图，在正方体中，（）

A. B.
C. D.
3．直线的倾斜角为（　　）
A. B.
C. D.
4．过点且斜率为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）
A. B.
C. D.与相交但不垂直
6．已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
7．已知点到直线的距离为1，则m的值为（）
A.或 B.或15
C.5或 D.5或15
8．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶距离水面6米，水面宽米，若水面下降6米，则水面宽()

A.米 B.米
C.米 D.米
9．设等差数列，的前n项和分别是，若，则（）
A. B.
C. D.
10．已知m，n表示两条不同直线，表示两个不同平面.设有两个命题：：若，则；：若，则.则下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
11．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.
甲：该圆经过点.
乙：该圆半径为.
丙：该圆的圆心为.
丁：该圆经过点，
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
12．曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（　　）
A.﹣9 B.﹣3
C.9 D.15
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆锥的高为，体积为，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.
14．若直线与圆有公共点，则b的取值范围是_____
15．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________
16．如图将自然数，…按到箭头所指方向排列，并依次在，…等处的位置拐弯．如图作为第一次拐弯，则第33次拐弯的数是___________，超过2021的第一个拐弯数是____________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.
（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；
（2）求的长.
18．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且，，成等比数列
(1)求的通项公式
(2)求数列的前n项和
19．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4人参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）
（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？
（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？
（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？
20．（12分）已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是

（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）.
①证明：动直线恒过轴上一定点；
②设线段中点为，坐标原点为，求的面积的最大值.
21．（12分）已知函数，曲线y＝f(x)在点（0，4）处的切线方程为
（1）求a，b的值；
（2）求f(x)的极大值
22．（10分）2021年11月初某市出现新冠病毒感染者，该市教育局部署了“停课不停学”的行动，老师们立即开展了线上教学．某中学为了解教学效果，于11月30日复课第一天安排了测试，数学教师为了调查高二年级学生这次测试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的统计图：
（1）根据统计图填写下面列联表，是否有95%的把握认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；

数学成绩不超过120分
数学成绩超过120分
总计
每天在线学习数学的时长不超过1小时

25
每天在线学习数学的时长超过1小时

总计

45

（2）从被抽查的，且这次数学成绩超过120分的学生中，按分层抽样的方法抽取5名，再从这5名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至多有一名每天在线学习数学的时长超过1小时的概率
附：，其中．参考数据：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由勾股定理构造椭圆参数的齐次方程求离心率.
【详解】设，椭圆的焦距为，则，
由，有，解得，
所以，故得：
故选：B.
2、B
【解析】根据正方体的性质，结合向量加减法的几何意义有，即可知所表示的向量.
【详解】∵，而，

∴，
故选：B
3、D
【解析】若直线倾斜角为，由题设有，结合即可得倾斜角的大小.
【详解】由直线方程，若其倾斜角为，则，而，
∴.
故选：D
4、B
【解析】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.
故选：B.
5、B
【解析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论
【详解】因为，，
所以，
所以∥，
因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，
故选：B
6、A
【解析】求出、的值，可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
7、D
【解析】利用点到直线距离公式即可得出.
【详解】解：点到直线的距离为1，

解得：m=15或5
故选：D.
8、B
【解析】以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，求出双曲线方程，数形结合即可求解.
【详解】如图所示，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，

设双曲线标准方程为：(a＞0)，
则顶点，，
将A点代入双曲线方程得，，
当水面下降6米后，，
代入双曲线方程得，，
∴水面宽：米.
故选：B.
9、C
【解析】结合等差数列前项和公式求得正确答案.
【详解】依题意等差数列，的前n项和分别是，
由于，
故可设，，
当时，，
，
所以，
所以.
故选：C
10、B
【解析】利用直线与平面，平面与平面的位置关系判断2个命题的真假，再利用复合命题的真值表判断选项的正误即可
【详解】，表示两条不同直线，，表示两个不同平面
：若，，则也可能，也可能与相交，所以是假命题，为真命题；
：令直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，
则，则，所以是真命题，所以为假命题；
所以为假命题，是真命题，为假命题，是真命题，所以为假命题
故选：
11、D
【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案.
【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心到点的距离与圆心到点的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误﹐点到点的距离大于，不成立；假设丁的结论错误，圆心到点的距离等于，成立.
故选：D
12、C
【解析】y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)
即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用圆锥体积公式可求得圆锥底面半径，利用勾股定理可得母线长；根据球的表面积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
圆锥体积，，，
以为半径的球的表面积.
故答案为：.
14、
【解析】直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.
【详解】直线即，
圆的圆心为，半径为，
若直线与圆有交点，则，
解得,
故实数取值范围是.
故答案为：
15、
【解析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案
【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码概率，
故该密码被成功破译的概率
故答案为：
16、 ①. ②.
【解析】根据题意得到拐弯处的数字与其序数的关系，归纳得到当为奇数为；当为为偶数为，分别代入，即可求解.
【详解】解：由题意，拐弯处的数字与其序数的关系，如下表：
拐弯的序数
0
1
2
3
4
5
6
7
8

拐弯处的数
1
2
3
5
7
10
13
17
21

观察拐弯处的数字的规律：
第1个数；第3个数；第5个数；
第7个数；，所以当为奇数为；
同理可得：当为为偶数为；
第33次拐弯的数是，
当时，可得，
当时，可得，
所以超过2021第一个拐弯数是.
故答案为：；.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.
（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.
【详解】（1）因为曲线（为参数），
所以曲线的普通方程为：.
（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），
将直线的参数方程代入，得.
，.
所以.
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据等差数列的通项公式，分别表示出与，由等比中项定义即可求得首项，进而求得的通项公式
（2）根据等差数列的首项与公差，求出的前n项和，进而可知，再用裂项法可求得
【详解】（1）由题意，得，，
所以由，
得，
解得，
所以，
即
（2）由（1）知，
则，，

【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，等比中项的定义，裂项法求数列前n项和的简单应用，属于基础题
19、（1）105种（2）105种（3）87种
【解析】（1）至多有1名主任参加，包括两种情况：一种是无主任参加，另一种是只有1名主任参加，利用分类计数原理可得结果；
（2）呼吸内科至少2名医生参加，分三种情况：第一种是呼吸内科2名医生参加，第二种呼吸内科3名医生参加，第三种呼吸内科4名医生参加，然后利用分类计数原理可得结果；
（3）由于张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，分有张雅和无张雅两种情况求解即可.
【详解】（1）直接法：若无主任，若只有1名主任，共105种，
间接法：
（2）直接法：，
间接法：
（3）张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类
第一类：若有张雅，
第二类：若无张雅，则李亮必定去，共87种
【点睛】此题考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决此题的关键，属于中档题.
20、（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】（1）根据题意得，，解方程即可；
（2）①设直线：，直线：，联立曲线分别求出点和的坐标，
求直线方程判断定点即可；②根据题意得，代入求最值即可.
【小问1详解】
根据题意得，，，又，
三个式子联立解得，，，所以椭圆的方程为：
【小问2详解】
①证明：设两条直线分别为和，根据题意和得斜率存在且不等于；
因为，所以设直线：，直线：；
由，解得，所以，
同理，.
当时，，
所以直线的方程为：，
整理得，此时直线过定点；
当时，直线的方程为：，此时直线过定点，
故直线恒过定点.
②根据题意得，，，
，所以

，当且仅当，
即时等号成立，故的面积的最大值为：.
【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，
重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题
21、（1）a＝4，b＝4
（2）
【解析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可求出答案.
（2）结合（1）中求得的函数解析式，求导得到的单调性，可得当x＝－2时，函数f(x)取得极大值.
【小问1详解】

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8
从而a＝4，b＝4
【小问2详解】
由（1）知，，

令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2
从而当时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为
22、（1）表格见解析，有
（2）
【解析】（1）根据统计图计算填表即可；
（2）根据古典概型计算公式计算即可.
【小问1详解】
根据统计图可得：
每天在线学习数学的时长不超过1小时数学成绩不超过120分的有人，
每天在线学习数学的时长不超过1小时数学成绩超过120分的有人，
每天在线学习数学的时长超过1小时数学成绩不超过120分的有人，
每天在线学习数学的时长超过1小时数学成绩超过120分的有人，
可得列联表如下：

数学成绩不超过120分
数学成绩超过120分
总计
每天在线学习数学的时长不超过1小时
15
10
25
每天在线学习数学的时长超过1小时
5
15
20
总计
20
25
45
根据列联表中的数据，
所以有95%的把握认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”
【小问2详解】
由列联表可得，被抽查学生中这次数学成绩超过120分的有25人，其中每天在线学习数学的时长不超过1小时的有10人，每天在线学习数学的时长超过1小时的有15人，人数比为2∶3，按分层抽样每天在线学习数学的时长不超过1小时的抽2人，记为：1，2；每天在线学习数学的时长超过1小时的抽3人，记为：a，b，c.
所有可能结果如下：，共计10种．设事件A为“两名同学中至多有一名每天在线学习数学时长超过一小时”包含这7种可能结果
所以