2026届山东省德州市齐河县一中数学高二上期末统考试题含解析.doc

2026届山东省德州市齐河县一中数学高二上期末统考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从直线上动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（）
A. B.
C. D.
2．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（）
A. B.
C. D.
3．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（ ）
A.－2 B.0
C.3 D.6
4．下列说法正确的有（ ）个.
①向量，，，不一定成立；
②圆与圆外切
③若，则数是数，的等比中项.
A.1 B.2
C.3 D.0
5．已知a，b是互不重合直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
6．已知抛物线的焦点为，在抛物线上有一点，满足，则的中点到轴的距离为（）
A. B.
C. D.
7．在正项等比数列中，，，则（ ）
A 27 B.64
C.81 D.256
8．已知等比数列满足，，则（ ）
A.21 B.42
C.63 D.84
9．已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（）
A.54 B.71
C.81 D.80
10．已知，则下列不等式一定成立的是（）
A B.
C. D.
11．已知数列满足，若.则的值是（）
A. B.
C. D.
12．若直线被圆截得的弦长为4，则的最大值是（）
A. B.
C.1 D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．下列是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则_______ .
月份
1
2
3
4
用水量
4.5
4
3
2.5

14．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则___________，___________.

15．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.
16．已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知向量，.
（1）计算和；
（2）求.
18．（12分）已知命题p：实数x满足（其中）；命题q：实数x满足
（1）若，为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分条件，求实数的取值范围
19．（12分）已知命题：；：.
（1）若“”为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为真命题，求实数的取值范围.
20．（12分）已知点F为抛物线：（）的焦点，点在抛物线上且在x轴上方，.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线与曲线交于A，B两点（点A，B与点P不重合），直线PA与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线PB与x轴、y轴分别交于M、N两点，当四边形CDMN的面积最小时，求直线l的方程.
21．（12分）已知各项为正数的等比数列中，，.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
22．（10分）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求：
（1）；
（2）展开式中的所有的有理项.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】分析可知当时，最大，计算出、，进而可计算得出四边形（为坐标原点）面积.
【详解】圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，

设，则，，则，
当取最小值时，，此时，
，，，故，
此时，.
故选：B.
2、A
【解析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.
【详解】解：依题意，即，
所以，
所以，由于，
所以
故选：A
3、A
【解析】利用已知条件求得，由此求得.
【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，
所以a3＝a1＋2d＝－2.
故选：A.
4、A
【解析】由向量数量积为实数，以及向量共线定理，即可判断①；求出圆心距，即可判断两圆位置关系，从而判断②；取，即可判断③
【详解】对于①，与共线，与共线，故不一定成立，故①正确；
对于②，圆的圆心为，半径为，圆可变形为，故其圆心为，半径为，则圆心距，由，所以两圆相交，故②错误；
对于③，若，取，则数不是数的等比中项，故③错误
故选：A
5、B
【解析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断.
【详解】A：若，，则或a，故A错误；
B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确；
C：若，，则或α与β相交，故C错误；
D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误.
故选：B.
6、A
【解析】设点，利用抛物线的定义求出的值，可求得点的横坐标，即可得解.
【详解】设点，易知抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，得，
所以，点的横坐标为，故点到轴的距离为.
故选：A.
7、C
【解析】根据等比数列的通项公式求出公比，进而求得答案.
【详解】设的公比为，则（负值舍去），所以.
故选：C.
8、D
【解析】设等比数列公比为q，根据给定条件求出即可计算作答.
【详解】等比数列公比为q，由得：，即，而，解得，
所以.
故选：D
9、C
【解析】利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】∵是等差数列，，
∴，得，
∴.
故选：C.
10、B
【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
【详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，所以，故D不正确.
故选：B
11、D
【解析】由，转化为，再由求解.
【详解】因为数列满足，
所以，即，
因为，
所以，
所以，
故选：D
12、A
【解析】根据弦长求得的关系式，结合基本不等式求得的最大值.
【详解】圆的圆心为，半径为，
所以直线过圆心，
即，
由于为正数，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、25
【解析】根据表格数据求出，代入，即可求出.
【详解】解：由题意知：，
，
将代入线性回归方程，
即，
解得：.
故答案为：5.25.
14、 ①. ②.
【解析】利用题中所给规律求出即可.
【详解】解：由图可知，，，，，
因为符合等差数列的定义且公差为
所以，
所以，
故答案为：，.
15、
【解析】根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.
【详解】由是等差数列且，可知：，
故.
，
数列的前2021项和为.
故答案为：.
16、
【解析】利用基本量结合已知列方程组求解即可.
【详解】设等差数列的公差为
由题可知
即
因为，所以解得：
所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】（1）利用空间向量的坐标运算可求得的坐标，利用向量的模长公式可求得的值；
（2）计算出，结合的取值范围可求得结果.
【详解】（1），；
（2），
，因此，.
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量的数量积计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由得命题p：，然后由为真命题求解；
（2）由得，再根据是的充分条件求解.
小问1详解】
当时，，解得：，
由为真命题，
，解得；
【小问2详解】
由（其中）可得，
因为是的充分条件，则，
解得：
19、（1）;（2）.
【解析】（1）先分别求出命题为真命题时的取值范围，再由已知“”为真命题进行分类讨论即可求解；（2）由（1）可知，当同时为真时，即可求出的范围.
试题解析：
若为真，则，所以，则
若为真，则，即.
（1）若“”为真，则或，则.
（2）若“”为真，则且，则.
20、（1）；
（2）或.
【解析】(1)根据给定条件结合抛物线定义求出p即可作答.
(2)联立直线l与抛物线的方程，用点A，B坐标表示出点C，D，M，N的坐标，
列出四边形CDMN面积的函数关系，借助均值不等式计算得解.
【小问1详解】
抛物线的准线：，由抛物线定义得，解得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
因为点在上，且，则，即，依题意，，设，，
由消去并整理得，则有，，
直线PA的斜率是，方程为，
令，则，令，则，即点C，点D，
同理点M，点N，
则，，四边形的面积有：

，当且仅当，即时取“=”，
所以当时四边形CDMN的面积最小值为4，直线l的方程为或.
21、（1）；（2）
【解析】（1）根据条件求出即可；
（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
【详解】（1）且，，

（2）

22、（1）6；（2），，
【解析】（1）先得到二项展开式的通项，再根据第五项的二项式系数是第三项系数的4倍，建立方程求解.
（2）根据（1）的通项公式求解.
【详解】（1）二项展开式的通项.
依题意得，，
所以，
解得.
（2）由（1）得，
当，3，6时为有理项，
故有理有，，.
【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.