资源描述
-,*,-,1,.,1,.,4,投影与直观图,1/39,2/39,一,二,三,一、投影概念,【问题思索】,1,.,填写下表,:,3/39,一,二,三,2,.,假如一个平面图形所在平面与投射面平行,试问,:,中心投影后得到图形与原图形有什么关系,?,提醒,:,若一个平面图形所在平面与投射面平行,则中心投影后得到图形与原图形关系是相同,.,4/39,一,二,三,3,.,做一做,:,以下图形中采取中心投影画法是,(,),答案,:,A,5/39,一,二,三,二、平行投影性质,【问题思索】,1,.,填空,:,当图形中直线或线段不平行于投射线时,平行投影含有以下性质,:,(5),在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影比等于,这两条线段比,.,6/39,一,二,三,2,.,中心投影与平行投影有何区分和联络,?,提醒,:,中心投影与平行投影都是空间图形基本画法,但应注意是,:,(1),画实际效果图时,普通用中心投影法,.,如人视觉、照片、美术作品等都含有中心投影特点,;,(2),中心投影和平行投影区分在于平行投影投射线都相互平行,中心投影投射线交于同一点,;,(3),平行投影包含斜二测画法和下节将要学习三视图,经中心投影后图形与原图形相比即使改变较多,但直观性强,看起来与人视觉效果一致,最像原来物体,;,(4),画立体几何中图形时,普通用平行投影法,.,7/39,一,二,三,3,.,做一做,:,假如图形所在平面不平行于投射线,那么以下说法正确是,(,),A.,矩形平行投影一定是矩形,B,.,梯形平行投影一定是梯形,C,.,正方形平行投影一定是矩形,D,.,正方形平行投影一定是菱形,解析,:,结合平行投影性质去判断,.,答案,:,B,8/39,一,二,三,三、直观图与斜二测画法,【问题思索】,1,.,画一个水平放置正三角形直观图,怎样建系最合理,?,提醒,:,如图所表示,建系时一是要考虑正三角形对称性,二是尽可能使三个顶点都落在坐标轴上,.,9/39,一,二,三,2,.,填空,:(1),概念,.,当投射线和投射面成适当角度或改变图形相对于投射面位置时,一个空间图形在投射面上,平行投影,(,平面图形,),能够形象地表示这个空间图形,.,像这么用来表示空间图形平面图形,叫做空间图形,直观图,.,(2),空间图形直观图画法,:,斜二测画法,.,(3),用斜二测画法画水平放置平面图形直观图步骤是,:,在已知图形中取相互,垂直,x,轴和,y,轴,两轴相交于点,O,画直观图时,把它们画成对应,x,轴与,y,轴,两轴交于点,O,且使,xOy=,45,(,或,135,),它们确定平面表示水平面,.,已知图形中平行于,x,轴或,y,轴线段,在直观图中分别画成,平行,于,x,轴或,y,轴线段,.,10/39,一,二,三,已知图形中平行于,x,轴线段,在直观图中保持原长度,不变,平行于,y,轴线段,长度为原来,二分之一,.,擦去作为辅助线坐标轴,就得到了平面图形直观图,.,11/39,一,二,三,(4),用斜二测画法画立体图形直观图步骤,:,在已知图形所在空间中取水平平面,作相互垂直轴,Ox,Oy,再作,Oz,轴,使,xOz=,90,yOz=,90,.,画出与轴,Ox,Oy,Oz,对应轴,Ox,Oy,Oz,使,xOy=,45,(,或,135,),xOz=,90,xOy,所确定平面表示水平平面,.,已知图形中,平行于,x,轴、,y,轴和,z,轴线段,在直观图中分别画成,平行,于,x,轴、,y,轴和,z,轴线段,并使它们在所画坐标轴中位置关系与已知图形中对应线段和原坐标轴位置关系相同,.,已知图形中平行于,x,轴和,z,轴线段,在直观图中保持长度,不变,平行于,y,轴线段,长度为原来,二分之一,.,擦去作为辅助线坐标轴,就得到了空间图形直观图,.,12/39,一,二,三,3,.,做一做,:,画水平放置正三角形直观图,.,解,:,画法,:,如图所表示,.,第一步,在已知正三角形,ABC,中,取,AB,所在直线为,x,轴,取对称轴,CO,为,y,轴,画对应,x,轴,y,轴,使,xOy=,45,.,第二步,在,x,轴上取,OA=OA,OB=OB,在,y,轴上取,OC=OC.,第三步,连接,AC,BC,所得,ABC,就是正三角形,ABC,直观图,.,13/39,一,二,三,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),三角形直观图可能为一条线段,.,(,),(2),菱形直观图可能为矩形,.,(,),(3),空间几何体直观图是唯一,.,(,),(4),假如一个水平放置三角形,ABC,面积为,S,用斜二测画法画出直观图面积为,S,那么,S,与,S,关系是,S=S.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),14/39,探究一,探究二,探究三,平行投影性质应用,【例,1,】,以下四个说法,:,矩形平行投影一定是平行四边形,;,梯形平行投影一定是梯形,;,两条相交直线平行投影可能平行,;,假如一个三角形平行投影仍是三角形,那么它中位线平行投影一定是这个三角形平行投影三角形中位线,.,其中正确说法个数为,(,),A.0B.1C.2D.3,探究四,思维辨析,15/39,探究一,探究二,探究三,解析,:,当投射线与投射面垂直,矩形所在平面与投射面平行时,矩形平行投影是矩形,;,当投射线与矩形所在平面平行时,投影是一条线段,;,当投射线与矩形不平行,矩形所在平面与投射面不平行时,其投影普通情况下为平行四边形,错误,;,当投射线与梯形所在平面平行时,投影是一条线段,;,当梯形所在平面与投射线不平行时,梯形平行投影一定是梯形,错误,;,当投射线与两相交直线所在平面平行时,投影是一条直线,;,当投射线与两相交直线确定平面不平行时,投影仍是两条相交直线,错误,;“,一个三角形平行投影仍是三角形,”,说明投射线与三角形所在平面不平行,故能够用平行投影性质,“,在平行直线上,两条线段平行投影比等于这两条线段比,”,来判断,是正确,.,答案,:,B,探究四,思维辨析,16/39,探究一,探究二,探究三,反思感悟,1,.,在应用平行投影性质时,要注意投射线、投射面之间位置关系,尤其不要忽略投射线平行于所给平面图形情形,.,2,.,常见图形平行投影,探究四,思维辨析,17/39,探究一,探究二,探究三,变式训练,1,(1),以下说法,:,正方形平行投影一定是菱形,;,三角形平行投影一定是三角形,;,平行直线平行投影仍是平行直线,;,当直线或线段不平行于投射线时,它平行投影仍是直线或线段,.,其中正确个数是,(,),A.0B.1,C.2D.3,探究四,思维辨析,18/39,探究一,探究二,探究三,(2),如图所表示,在正方体,ABCD-ABCD,中,E,F,分别是,AA,CC,中点,则以下判断正确是,.,(,填序号,),四边形,BFDE,在底面,ABCD,内投影是正方形,;,四边形,BFDE,在面,ADDA,内投影是菱形,;,四边形,BFDE,在面,ADDA,内投影与在面,ABBA,内投影是全等平行四边形,.,答案,:,(1)B,(2),探究四,思维辨析,19/39,探究一,探究二,探究三,画平面图形直观图,【例,2,】,画出水平放置等腰梯形直观图,.,思绪分析,:,依据斜二测画法规则,首先在原来等腰梯形中建立平面直角坐标系,要使尽可能多顶点和线段在坐标轴上,这么作起图来较为方便,然后按横线相等,竖线是原来二分之一标准,作出对应各个顶点,连线即成,.,画法,:,探究四,思维辨析,20/39,探究一,探究二,探究三,(1),如图,取,AB,所在直线为,x,轴,AB,中点,O,为原点,建立直角坐标系,画对应坐标系,xOy,使,xOy=,45,.,(2),以,O,为中点在,x,轴上取,AB=AB,在,y,轴上取,OE=OE,以,E,为中点画,CD,x,轴,并使,CD=CD.,(3),连接,BC,DA,并擦去辅助线,x,轴和,y,轴及,O,点、,E,点,所得四边形,ABCD,就是水平放置等腰梯形,ABCD,直观图,如图,.,反思感悟,1,.,画水平放置平面多边形直观图关键是确定顶点位置,.,2,.,建立平面直角坐标系时,结合图形结构特征,尽可能使原平面图形顶点在坐标轴或与坐标轴平行线段上,.,3,.,原图中不与,x,轴或,y,轴平行线段,能够先作坐标轴平行线为辅助线画出其端点,再连线,.,探究四,思维辨析,21/39,探究一,探究二,探究三,画空间图形直观图,【例,3,】,有一个正三棱锥,底面边长为,3 cm,高为,3 cm,画出这个正三棱锥直观图,.,思绪分析,:,依据斜二测画法,先建立恰当坐标系画出正三角形直观图,再确定出正三棱锥顶点即可,.,解,:,(1),画出边长为,3,cm,正三角形水平放置直观图,如图,所表示,;,探究四,思维辨析,22/39,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,23/39,探究一,探究二,探究三,(2),过正三角形中心,O,建立,z,轴,画出正三棱锥顶点,V,使,VO=,3,cm,连接,VA,VB,VC,如图,所表示,;,(3),擦去辅助线,被遮住部分用虚线表示,得到正三棱锥直观图,如图,.,反思感悟,1,.,画空间几何体直观图时,普通先按照画平面图形直观图方法与步骤,画出其底面直观图,再在,z,轴上确定该几何体顶点或另一个底面直观图所需坐标系原点,从而作出另一个底面直观图,最终得到整个几何体直观图,.,2,.,对于台体、柱体等有上底面几何体,在作上底面直观图时,可先作出高线,再在上底面所在平面内建一个两轴分别与下底面中坐标系两轴平行坐标系,最终作出表示对应等量线段并连接,.,探究四,思维辨析,24/39,探究一,探究二,探究三,变式训练,2,画出长为,5,宽为,4,高为,5,长方体直观图,.,解,:,(1),画出,x,轴,y,轴,z,轴三轴相交于点,O,使,xOy=,45,xOz=,90,.,(2),在,x,轴上取,OA=,5,在,y,轴上取,OC=,2,过点,A,作,AB,OC,过点,C,作,CB,OA,则四边形,OABC,为下底面,.,(3),在,z,轴上取,OO=,5,过点,O,作,Ox,Ox,Oy,Oy,建立坐标系,xOy,重复,(2),步骤作出上底面,OABC.,(4),连接,AA,BB,CC,OO,即得到长方体,OABC-OABC,直观图,.,探究四,思维辨析,25/39,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,直观图还原,【例,4,】,(1),如图所表示为一个水平放置正方形,ABCO,在直角坐标系,xOy,中,点,B,坐标为,(1,1),则在用斜二测画法画出正方形直观图中,点,B,到,x,轴距离为,.,(2),已知,ABC,平面直观图,ABC,是边长为,a,正三角形,那么原,ABC,面积为,.,26/39,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析,:,(2),如图所表示,过,C,作,y,轴平行线,CD,与,x,轴交于点,D,27/39,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,直观图还原其实是画直观图逆过程,只要明确角与边转化关系,即可解答相关问题,.,(1),角关系,:,原图形,斜二测直观图形,xOy=,90,xOy=,45,(,或,135,),.,(2),长度关系,:,28/39,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(1),水平放置,ABC,斜二测直观图如图所表示,已知,AC=,3,BC=,2,则,AB,边上中线实际长度为,.,(2),将本例,4(1),中条件变为某四边形直观图是边长为,1,正方形,ABCO,求原图形中,B,到,CO,距离,.,将本例,4(1),中条件不变,将求,B,到,x,轴距离改为求直观图面积,结果怎样,?,29/39,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(1),解析,:,分析易知,ABC,是以,C,为直角直角三角形,且,AC=,3,BC=,2,2,=,4,所以,AB=,5,故,AB,边上中线长为,.,(2),解,:,依据斜二测画法规则及斜二测坐标系在原图形中,BO,与,CO,垂直,所以,B,到,CO,距离即,BO,两倍,为,2,.,30/39,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,利用斜二测画法画图时,因未改变长度或方向而致误,【典例】,画出如图,(1),所表示四边形,OABC,直观图,(,图中数据已经给出,),.,错解,以,O,为原点,OB,所在直线为,x,轴建立平面直角坐标系,xOy,如图,(2),所表示,.,作,COB=,45,其中,OB,是水平,OB=,4,OD=,3,OC=,1,过,D,作,BDA=,90,使,AD=,1,顺次连接,OA,AB,BC,所得四边形,OABC,即为四边形,OABC,直观图,如图,(3),所表示,.,31/39,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,以上解答过程中都有哪些错误,?,犯错原因是什么,?,你怎样订正,?,你怎么防范,?,提醒,:,错误根源是没有充分了解斜二测画法标准和要求,本题错解将点,A,位置画错了,.,结合原来图形可知应有,OC,AD.,32/39,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,正解,:,如图,(4),所表示,作,COB=,45,其中,OB,是水平,OB=,4,OD=,3,OC=,1,过点,D,作,BDA=,135,使,AD=,1,顺次连接,OA,AB,BC,所得四边形,OABC,即为四边形,OABC,直观图,.,防范办法,用斜二测画法画直观图,一定要了解画法标准和要求,其中正确建系是关键,把握关键要素或关键点是处理问题根本,画好直观图后注意与原图进行比对、检验,.,33/39,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,关于利用斜二测画法画直观图有以下结论,:,三角形直观图是三角形,;,平行四边形直观图是平行四边形,;,正方形直观图是正方形,;,菱形直观图是菱形,.,其中正确个数是,(,),A.0B,.,1C,.,2D,.,3,解析,:,正方形、菱形直观图通常为平行四边形,故,不正确,故选,C,.,答案,:,C,34/39,1,2,3,4,5,1,.,已知,ABC,在一投射面内平行投影是,ABC,则,ABC,重心、内心、垂心在投射面内平行投影不变是,(,),A.,重心,B.,内心,C.,垂心,D.,都不变,解析,:,三角形重心是中线交点,顶点与对边中点在平行投影后仍为顶点和对边中点,故重心不变,.,答案,:,A,35/39,1,2,3,4,5,2,.,关于,“,斜二测画法,”,以下说法不正确是,(,),A.,原图形中平行于,x,轴线段,其对应线段平行于,x,轴,长度不变,B.,原图形中平行于,y,轴线段,其对应线段平行于,y,轴,长度变为原来,C.,画与直角坐标系,xOy,对应坐标系,xOy,时,xOy,必须是,45,D.,在画直观图时,因为选轴不一样,所得直观图可能不一样,解析,:,画与直角坐标系,xOy,对应坐标系,xOy,时,xOy,也能够是,135,所以,C,项不正确,.,答案,:,C,36/39,1,2,3,4,5,3,.,如图所表示,用斜二测画法画一个水平放置平面图形为一个正方形,则原来图形形状是,(,),答案,:,A,37/39,1,2,3,4,5,4,.,当投射线与投射面垂直时,一个等腰直角三角形在一个平面内投影可能是,.,(,把你认为正确序号都填上,),等腰直角三角形,;,直角非等腰三角形,;,钝角三角形,;,锐角三角形,;,线段,.,解析,:,当等腰直角三角形所在平面与投射面平行时,得到投影是与其全等一个等腰直角三角形,;,当一条直角边放在投射面内时,得到就是直角非等腰三角形,;,当直角顶点在投射面内,斜边与投射面平行,但三角形所在平面不与投射面垂直时,得到就是一个钝角三角形,;,当等腰直角三角形只有底边一个端点在平面内,另一条腰与投射面不平行,且三角形所在平面不与投射面垂直时,得到投影是锐角三角形,;,当等腰直角三角形所在平面与投射面垂直时,得到投影图形就是一条线段,.,答案,:,38/39,1,2,3,4,5,5,.,画出一个角是,45,平行四边形直观图,.,解,:,如图,四边形,ABCD,是以,A,为,45,平行四边形,以,AB,所在直线为,x,轴,以过点,D,且与,AB,垂直直线为,y,轴,建立直角坐标系,.,画出对应,x,轴和,y,轴,使,xOy=,45,如图,在,x,轴上截取,OA=OA,OB=OB,在,y,轴上截取,OD=OD,经过点,D,作,DC,x,轴,且使,DC=DC.,连接,AD,BC,擦去辅助线所得四边形,ABCD,即是所给平面图形直观图,如图,.,39/39,
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