资源描述
-,*,-,3.,2,导数在实际问题中应用,1/30,2/30,1,.,生活中改变率问题,在物理学中,通常称力在单位时间内做功为,功率,它单位是,瓦特,.,在气象学中,通常把在单位时间,(,如,1,时、,1,天等,),内降雨量称作,降雨强度,它是反应一次降雨大小一个主要指标,.,2,.,最大值、最小值问题,函数,y=f,(,x,),在区间,a,b,上最大值点,x,0,指是,:,函数在这个区间上全部点函数值,都不超出,f,(,x,0,),.,最大值或者在极大值点取得,或者在区间端点取得,.,所以,要想求函数最大值,应首先求出函数极大值点,然后将全部极大值点与区间端点函数值进行比较,其中,最大值,即为函数,最大值,.,函数最小值点也有类似意义和求法,.,函数最大值和最小值统称为,最值,.,3/30,名师点拨,正确了解函数极值与最值,(1),函数最大值和最小值是一个整体性概念,最大值必须是整个区间上全部函数值中最大值,最小值必须是整个区间上全部函数值中最小值,.,(2),函数最大值、最小值是比较整个定义区间函数值得出,函数极值是比较极值点附近函数值得出,函数极值能够有多个,但最大,(,小,),值只能有一个,;,极值只能在区间内取得,最值则能够在端点取得,;,有极值未必有最值,有最值未必有极值,;,极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值,.,4/30,解析,:,f,(,x,),=x,2,-,4,令,f,(,x,),=x,2,-,4,=,0,得,x=,2,或,x=-,2(,舍,),.,当,x,(0,2),时,f,(,x,),0,所以,x=,2,是函数,f,(,x,),极小值点,f,(0),=,4,f,(3),=,1,f,(,x,),在,0,3,上最大值为,f,(0),=,4,.,答案,:,B,5/30,【做一做,2,】,某箱子容积与底面边长,x,关系为,V,(,x,),=x,2,(0,x,60),则当箱子容积最大时,箱子底面边长为,(,),A.30B.40,C.50D.,不确定,又,当,0,x,0,当,40,x,60,时,V,(,x,),0,则当,x,改变时,f,(,x,),f,(,x,),改变情况以下表,:,所以,f,(0),必为最大值,f,(0),=,5,得,b=,5,.,12/30,探究一,探究二,思维辨析,f,(,-,2),=-,16,a+,5,f,(1),=-a+,5,f,(1),f,(,-,2),f,(,x,),min,=f,(,-,2),=-,16,a+,5,=-,11,.,a=,1,.,f,(,x,),=x,3,-,2,x,2,+,5,.,若,af,(1),.,f,(,-,2),=f,(,x,),max,=,5,.,a=-,1,.,f,(,x,),=-x,3,+,2,x,2,-,11,.,13/30,探究一,探究二,思维辨析,实际问题最值,【例,2,】,已知一家企业生产某种品牌服装年固定成本为,10,万元,每生产,1,千件需另投入,2,.,7,万元,.,设该企业一年内生产该品牌服装,x,千件并全部销售完,每千件销售收入为,R,(,x,),万元,且,(1),求年利润,W,(,万元,),关于年产量,x,(,千件,),函数解析式,.,(2),当年产量为多少千件时,该企业在这一品牌服装生产中所取得年利润最大,并求出最大值,.,分析,:,利润是销售收入减去成本,而成本又包含固定成本与可变成本,要先求出函数,W,再利用求最值方法求利润最大值,.,14/30,探究一,探究二,思维辨析,15/30,探究一,探究二,思维辨析,综合,知,当,x=,9,时,W,取得最大值为,38,.,6,万元,.,答,:,当年产量为,9,千件时,该企业在这一品牌服装生产中所取得年利润最大,最大值为,38,.,6,万元,.,16/30,探究一,探究二,思维辨析,变式训练,3,有甲,乙两个工厂,甲厂位于一笔直河岸岸边,A,处,乙厂与甲厂在河同侧,乙厂位于离岸,40 km,B,处,乙厂到河岸垂足,D,与,A,处相距,50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站,C,从供水站到甲厂和乙厂水管费分别为每千米,3,a,元和,5,a,元,则供水站,C,应建在岸边何处才能使水管费用最省,?,17/30,探究一,探究二,思维辨析,解,:,依题意设,CD=x,km,则,AC=,(50,-x,)km,解得,x=,30(,负值舍去,),.,当,0,x,30,时,y,0;,当,30,0,.,x=,30,时,y,取最小值,此时,CD=,30,km,.,故,AC=,50,-,30,=,20,km,所以供水站建在,A,D,之间距甲厂,20,km,处,可使水管费用最省,.,18/30,探究一,探究二,思维辨析,变式训练,4,统计表明,某种型号汽车在匀速行驶中每小时耗油量,y,(,升,),关于行驶速度,x,(,千米,/,时,),函数解析式能够表示为,(1),当汽车以,40,千米,/,时速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升,?,(2),当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,?,最少为多少升,?,即当汽车以,40,千米,/,时速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油,17,.,5,升,.,19/30,探究一,探究二,思维辨析,令,h,(,x,),=,0,得,x=,80,.,当,x,(0,80),时,h,(,x,),0,.,所以当,x=,80,时,h,(,x,),取到极小值,h,(80),=,11,.,25,.,因为,h,(,x,),在,(0,120,上只有一个极值,所以它是最小值,.,故当汽车以,80,千米,/,时速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为,11,.,25,升,.,20/30,探究一,探究二,思维辨析,因不注意实际问题定义域而致误,【典例】,现有一批货物由海上从,A,地运往,B,地,.,已知轮船最大航行速度为,35,海里,/,时,A,地至,B,地之间航行距离约为,500,海里,每小时运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时燃料费与轮船速度平方成正比,(,百分比系数为,0,.,6),其余费用为每小时,960,元,.,(1),把全程运输成本,y,(,元,),表示为速度,x,(,海里,/,时,),函数,;,(2),为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶,?,易错分析,:,解应用题最关键就是要准确写出数学模型函数关系式,这其中就包含函数定义域,.,求定义域时一定要依据题目标条件,考虑自变量实际意义,.,本题中函数定义域为,(0,35,.,21/30,探究一,探究二,思维辨析,令,y=,0,解得,x=,40,或,x=-,40(,舍去,),函数定义域为,(0,35,函数在定义域内没有极值点,.,又,0,x,35,时,y,0,故为了使全程运输成本最小,轮船应以,35,海里,/,时速度行驶,.,22/30,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得,对于实际问题,除要正确地写出函数关系,依据求函数最值步骤求最值外,还要注意验证极值点是否在函数定义域内,若不在定义域内,则需要考虑应用函数单调性求解,.,23/30,1 2 3 4 5,1,.,函数,f,(,x,),=,2,x,3,-,3,x,2,-,12,x+,5,在,0,3,上最大值,最小值分别是,(,),A.5,-,15B.5,-,4,C.,-,4,-,15D.5,16,解析,:,f,(,x,),=,6,x,2,-,6,x-,12,令,f,(,x,),=,0,得,x=,2,或,x=-,1(,舍,),当,0,x,2,时,f,(,x,),0,当,2,0,即,f,(,x,),在,x=,2,时,取极小值,f,(2),=-,15,又,f,(0),=,5,f,(3),=-,4,所以,f,(,x,),在,0,3,上最大值为,5,最小值为,-,15,.,答案,:,A,24/30,1 2 3 4 5,2,.,用边长为,48 cm,正方形铁皮做一个无盖铁盒时,在铁皮四角各截去一个面积相等小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做铁盒容积最大时,在四角截去正方形边长为,(,),A.6 cmB.8 cm,C.10 cmD.12 cm,解析,:,设截去小正方形边长为,x,cm,铁盒容积为,V,cm,3,由题意,得,V=x,(48,-,2,x,),2,(0,x,24),V=,12(24,-x,)(8,-x,),.,令,V=,0,则在,(0,24),内有解,x=,8,.,故当,x=,8,时,V,有最大值,.,答案,:,B,25/30,1 2 3 4 5,3,.,函数,f,(,x,),=x,3,-,3,ax+a,在,(0,1),内有最小值,则,a,取值范围为,(,),A.0,a,1B.0,a,1,C.,-,1,a,1D.0,a,解析,:,f,(,x,),=,3,x,2,-,3,a,f,(,x,),在,(0,1),内有最小值,f,(0),0,.,-,3,a,0,.,0,am,则实数,m,取值范围是,.,解析,:,f,(,x,),=,3,x,2,-x-,2,令,3,x,2,-x-,2,=,0,27/30,1 2 3 4 5,5,.,某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车投入成本为,10,万元,/,辆,出厂价为,13,万元,/,辆,年销售量为,5 000,辆,.,本年度为适应市场需求,计划提升产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加百分比为,x,(0,x,1),则出厂价对应提升百分比为,0,.,7,x,年销售量也对应增加,.,已知年利润,=,(,每辆车出厂价,-,每辆车投入成本,),年销售量,.,(1),若年销售量增加百分比为,0,.,4,x,为使本年度年利润比上年度有所增加,则投入成本增加百分比,x,应在什么范围内,?,值时,本年度年利润最大,?,最大利润是多少,?,28/30,1 2 3 4 5,解,:,(1),由题意得本年度每辆车投入成本为,10,(1,+x,),出厂价为,13,(1,+,0,.,7,x,),年销售量为,5,000,(1,+,0,.,4,x,),所以本年度利润为,y=,13,(1,+,0,.,7,x,),-,10,(1,+x,),5,000,(1,+,0,.,4,x,),=,(3,-,0,.,9,x,),5,000,(1,+,0,.,4,x,),=-,1,800,x,2,+,1,500,x+,15,000(0,x,1),29/30,1 2 3 4 5,240,(0,.,9,x,3,-,4,.,8,x,2,+,4,.,5,x+,5),则,f,(,x,),=,3,240,(2,.,7,x,2,-,9,.,6,x+,4,.,5),=,972(9,x-,5)(,x-,3),30/30,
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