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,第,4,讲推理与证实,专题四数列、推理与证实,1/51,热点分类突破,真题押题精练,2/51,热点分类突破,3/51,热点一归纳推理,1.,归纳推理是由某类事物部分对象含有一些特征，推出该类事物全部对象都含有这些特征推理，或者由个别事实概括出普通结论推理,.,4/51,n,个根号,答案,解析,5/51,6/51,(2)(,山西省大同市灵丘豪洋中学模拟,),下面图形由小正方形组成，请观察图,1,至图,4,规律，并依此规律，写出第,15,个图形中小正方形个数是,_.,120,答案,解析,思维升华,7/51,解析,a,1,1,，,a,2,3,，,a,3,6,，,a,4,10,，,8/51,思维升华,归纳递推思想在处理问题时，从特殊情况入手，经过观察、分析、概括，猜测出普通性结论，然后给予证实，这一数学思想方法在处理探索性问题、存在性问题或与正整数相关命题时有着广泛应用,.,其思维模式是,“,观察,归纳,猜测,证实,”,，解题关键在于正确归纳猜测,.,9/51,答案,解析,10/51,11/51,(2),用黑白两种颜色正方形地砖依照如图所表示规律拼成若干个图形，则按此规律，第,100,个图形中有白色地砖,_,块；现将一粒豆子随机,撒在第,100,个图中，则豆子落在白色地砖上概率是,_.,答案,503,解析,12/51,解析,按拼图规律，第,1,个图有白色地砖,(3,3,1),块，第,2,个图有白色地砖,(3,5,2),块，第,3,个图有白色地砖,(3,7,3),块，,，,则第,100,个图中有白色地砖,3,201,100,503(,块,).,第,100,个图中黑白地砖共有,603,块，则将一粒豆子随机撒在第,100,个图中，,豆子落在白色地砖上概率是,.,13/51,热点二类比推理,1.,类比推理是由两类对象含有一些类似特征和其中一类对象一些已知特征，推出另一类对象也含有这些特征推理,.,2.,类比推理思维过程以下：,14/51,例,2,(1)(,届江西省鹰潭市模拟,),我们知道：,“,平面中到定点等于定长点轨迹是圆,”,拓展至空间：,“,空间中到定点距离等于定长点轨迹是球,”,，类似可得：已知,A,(,1,0,0),，,B,(1,0,0),，则点集,P,(,x,，,y,，,z,)|,PA,|,|,PB,|,1,在空间中轨迹描述正确是,A.,以,A,，,B,为焦点双曲线绕轴旋转而成旋转曲面,B.,以,A,，,B,为焦点椭球体,C.,以,A,，,B,为焦点双曲线单支绕轴旋转而成旋转曲面,D.,以上都不对,答案,解析,15/51,解析,由特殊到特殊进行类比推理可得：点集,P,(,x,，,y,，,z,)|,PA,|,|,PB,|,1,在空间中轨迹描述正确是以,A,，,B,为焦点双曲线单支绕轴旋转而成旋转曲面,.,故选,C.,16/51,答案,解析,思维升华,17/51,解析,设,P,1,(,x,1,，,y,1,),，,P,2,(,x,2,，,y,2,),，,P,0,(,x,0,，,y,0,),，,因为,P,0,(,x,0,，,y,0,),在这两条切线上，,18/51,思维升华,类比推理是合情推理中一类主要推理，强调是两类事物之间相同性，有共同要素是产生类比迁移客观原因，类比能够由概念性质上相同性引发，如等差数列与等比数列类比，也能够由解题方法上类似引发,.,当然首先是在一些方面有一定共性，才能有方法上类比,.,19/51,答案,解析,20/51,21/51,ch(,x,y,),ch,x,ch,y,sh,x,sh,y,(,答案不唯一,),答案,解析,22/51,解析,ch,x,ch,y,sh,x,sh,y,同理可得,ch(,x,y,),ch,x,ch,y,sh,x,sh,y,，,sh(,x,y,),sh,x,ch,y,ch,x,sh,y,，,sh(,x,y,),sh,x,ch,y,ch,x,sh,y,.,23/51,热点三直接证实和间接证实,直接证实惯用方法有综正当和分析法，综正当由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾证实方法,.,24/51,例,3,已知,a,n,是正数组成数列，,a,1,1,，且点,(,，,a,n,1,)(,n,N,*,),在函数,y,x,2,1,图象上,.,(1),求数列,a,n,通项公式；,解答,解,由已知得,a,n,1,a,n,1,，,则,a,n,1,a,n,1,，又,a,1,1,，,所以数列,a,n,是以,1,为首项，,1,为公差等差数列,.,故,a,n,1,(,n,1),1,n,.,25/51,(2),若数列,b,n,满足,b,1,1,，,b,n,1,b,n,2,a,n,，求证：,b,n,b,n,2,b,.,证实,证实,由,(1),知，,a,n,n,，从而,b,n,1,b,n,2,n,.,b,n,(,b,n,b,n,1,),(,b,2,b,1,),b,1,又,b,1,1,2,1,1,，所以,b,n,2,n,1(,n,N,*,).,(2,2,n,2,2,n,2,2,n,1),(2,2,n,2,22,n,1,1),2,n,1,，,f,(2)1.,下面用数学归纳法证实：当,n,3,时，,f,(,n,)1.,由,(1),知当,n,3,时，,f,(,n,)1.,假设当,n,k,(,k,3),时，,f,(,n,)1,，,37/51,所以当,n,k,1,时，,f,(,n,)1,也成立,.,所以，当,n,3,时，,f,(,n,)1,；,当,n,3,时，,f,(,n,)1.,38/51,真题押题精练,39/51,真题体验,1.(,全国,改编,),甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师问询成语竞赛成绩,.,老师说：你们四人中有,2,位优异，,2,位良好，我现在给甲看乙、丙成绩，给乙看丙成绩，给丁看甲成绩,.,看后甲对大家说：我还是不知道我成绩,.,依据以上信息，则可推断知道自己成绩是,_.,乙、丁,答案,解析,1,2,3,40/51,1,2,解析,由甲说：,“,我还是不知道我成绩,”,可推知甲看到乙、丙成绩为,“,1,个优异，,1,个良好,”.,乙看丙成绩，结合甲说法，丙为,“,优异,”,时，乙为,“,良好,”,；,丙为,“,良好,”,时，乙为,“,优异,”,，可得乙能够知道自己成绩,.,丁看甲成绩，结合甲说法，甲为,“,优异,”,时，丁为,“,良好,”,；,甲为,“,良好,”,时，丁为,“,优异,”,，可得丁能够知道自己成绩,.,3,41/51,1,2,答案,解析,3,42/51,1,2,3,43/51,3.(,全国,),有三张卡片，分别写有,1,和,2,1,和,3,2,和,3.,甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙卡片后说：,“,我与乙卡片上相同数字不是,2,”,，乙看了丙卡片后说：,“,我与丙卡片上相同数字不是,1,”,，丙说：,“,我卡片上数字之和不是,5,”,，则甲卡片上数字是,_.,1,2,1,和,3,答案,解析,解析,由丙说：,“,我卡片上数字之和不是,5,”,可知，丙为,“,1,和,2,”,或,“,1,和,3,”,，,又乙说,“,我与丙卡片上相同数字不是,1,”,，所以乙只可能为,“,2,和,3,”,，,所以由甲说,“,我与乙卡片上相同数字不是,2,”,，所以甲只能为,“,1,和,3,”.,3,44/51,押题预测,1.,将正整数作以下分组：,(1),，,(2,3),，,(4,5,6),，,(7,8,9,10),，,(11,12,13,14,15),，,(16,17,18,19,20,21),，,(22,23,24,25,26,27,28),，,1,2,3,45/51,分别计算各组包含正整数和以下：,S,1,1,，,S,2,2,3,5,，,S,3,4,5,6,15,，,S,4,7,8,9,10,34,，,S,5,11,12,13,14,15,65,，,S,6,16,17,18,19,20,21,111,，,S,7,22,23,24,25,26,27,28,175,，,，,试猜测,S,1,S,3,S,5,S,2 015,_.,1 008,4,答案,解析,押题依据,1,2,3,46/51,押题依据,数表,(,阵,),是高考命题常见类型，本题以三角形数表中对应各组包含正整数和计算为依靠，围绕简单计算、归纳猜测以及数学归纳法应用等，考查考生归纳猜测能力以及对数学归纳法逻辑推理证实步骤掌握程度,.,1,2,3,47/51,解析,由题意知，当,n,1,时，,S,1,1,1,4,；,当,n,2,时，,S,1,S,3,16,2,4,；,当,n,3,时，,S,1,S,3,S,5,81,3,4,；,当,n,4,时，,S,1,S,3,S,5,S,7,256,4,4,；,，,猜测：,S,1,S,3,S,5,S,2,n,1,n,4,.,S,1,S,3,S,5,S,2 015,1 008,4,.,1,2,3,48/51,押题依据,依据,n,个等式或不等式归纳猜测普通规律式子是近几年高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现机率较大,.,答案,解析,押题依据,1,2,3,49/51,显然式子中分子与分母是对应，分母为,x,n,，分子是,n,n,，,所以不等式左边式子为,x,，,显然不等式右边式子为,n,1,，,1,2,3,50/51,3.,设数列,a,n,是公比为,q,等比数列，,S,n,是它前,n,项和，证实：数列,S,n,不是等比数列,.,押题依据,反证法是一个主要证实方法，直接证实不易证实时常采取反证法,.,因为,a,1,0,，所以,(1,q,),2,1,q,q,2,，即,q,0,，这与,q,0,矛盾，故,S,n,不是等比数列,.,证实,押题依据,1,2,3,51/51,
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