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,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,文数,课标版,第二节函数单调性与最值,1/26,1.函数单调性,(1)单调函数定义,教材研读,增函数,减函数,定义,普通地,设函数f(x)定义域为I,假如对于定义域I内某个区间上任意两个自变量值x1,x2,当,x,1,x,2,时,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),那么就说函数,f,(,x,)在区间,D,上是单调增函数,当,x,1,f,(,x,2,),那么就说函数,f,(,x,)在区间,D,上是单调减函数,图象描述,自左向右看图象是上升,自左向右看图象是下降,2/26,(2)单调区间定义,若函数,f,(,x,)在区间,D,上是,增函数,或,减函数,则称函数,f,(,x,)在这一区间上含有(严格)单调性,区间,D,叫做,y,=,f,(,x,)单调区间.,(3)判断函数单调性方法,(i)定义法:利用定义判断.,(ii)利用函数性质:如,若,y,=,f,(,x,)、,y,=,g,(,x,)为增函数,则,a.,y,=,f,(,x,)+,g,(,x,)为增函数;,b.,y,=,为减函数(,f,(,x,)0);,c.,y,=,为增函数(,f,(,x,),0);,d.,y,=,f,(,x,),g,(,x,)为增函数(,f,(,x,)0,g,(,x,)0);,e.,y,=-,f,(,x,)为减函数.,3/26,(iii)利用复合函数关系判断单调性,法则是“同增异减”,即:若两个简单函数单调性相同,则这两个函数,复合函数为增函数;若两个简单函数单调性相反,则这两个函数,复合函数为减函数.,(iv)图象法,(v)导数法,2.函数最值,前提,设函数y=f(x)定义域为I,假如存在实数M满足,条件,(1)对于任意xI,都有f(x)M;,(2)存在x0I,使得f(x0)=M,(1)对于任意xI,都有f(x)M;,(2)存在x0I,使得f(x0)=M,结论,M为函数y=f(x)最大值,M为函数y=f(x)最小值,4/26,判断以下结论正误(正确打“”,错误打“,”),(1)在增函数与减函数定义中,能够把“任意两个自变量”改为“存,在两个自变量”.,(,),(2)函数,y,=,单调递减区间是(-,0),(0,+,).,(,),(3)全部单调函数都有最值.,(,),5/26,1.以下函数中,在区间(0,1)上是增函数是,(),A.,y,=|,x,|B.,y,=3-,x,C.,y,=,D.,y,=-,x,2,+4,答案,A,y,=3-,x,在,R,上递减,y,=,在(0,+,)上递减,y,=-,x,2,+4在(0,+,)上递,减,故选A.,2.函数,y,=,x,2,-6,x,+10在区间(2,4)上,(),A.递减B.递增,C.先递减后递增D.先递增后递减,答案,C函数,y,=,x,2,-6,x,+10图象为抛物线,且开口向上,对称轴为直,线,x,=3,函数,y,=,x,2,-6,x,+10在(2,3)上为减函数,在(3,4)上为增函数.,6/26,3.若函数,y,=(2,k,+1),x,+,b,在,R,上是减函数,则,k,取值范围是,.,答案,解析,因为函数,y,=(2,k,+1),x,+,b,在,R,上是减函数,所以2,k,+10,即,k,-,.,4.若函数,f,(,x,)满足“对任意,x,1,x,2,R,当,x,1,f,(,x,2,)”,则满足,f,(2,x,-1),f,(1)实数,x,取值范围为,.,答案,(1,+,),解析,由题意知,函数,f,(,x,)在定义域内为减函数,f,(2,x,-1)1,即,x,1,x,取值范围为(1,+,).,7/26,5.已知,f,(,x,)=,x,2,6,则,f,(,x,)最大值为,最小值为,.,答案,2;,解析,易知函数,f,(,x,)=,在,x,2,6上为减函数,故,f,(,x,),max,=,f,(2)=2,f,(,x,),min,=,f,(6)=,.,8/26,考点一函数单调性判断,典例1,(1)函数,y,=,单调递增区间为,单调递减区间为,.,(2)判断函数,f,(,x,)=,(,a,0)在,x,(-1,1)上单调性.,答案,(1)2,+,);(-,-3,解析,(1)令,u,=,x,2,+,x,-6,则,y,=,能够看作是由,y,=,与,u,=,x,2,+,x,-6复合而成函数.,令,u,=,x,2,+,x,-6,0,得,x,-3或,x,2.,易知,u,=,x,2,+,x,-6在(-,-3上是减函数,在2,+,)上是增函数,而,y,=,在0,+,)上是增函数,y,=,单调减区间为(-,-3,单调增区间为2,+,).,考点突破,9/26,(2)任取,x,1,x,2,满足-1,x,1,x,2,1,则,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)=,-,=,=,.,-1,x,1,x,2,0,x,1,x,2,+10,(,-1)(,-1)0.,又,a,0,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),函数,f,(,x,)在(-1,1)上为减函数.,10/26,易错警示,1.利用定义判断函数单调性步骤,取值作差变形确定符号得出结论,注意:函数单调性是函数在某个区间上“整体”性质,所以不能仅,仅依据某个区间内两个特殊值,x,1,x,2,对应函数值大小就判断函数,在该区间上单调性,必须确保这两个值是该区间内任意两个值.,2.函数单调性与“区间”紧密相关,函数单调区间是函数定义域,子集,所以要求函数单调区间,必须先求出函数定义域.,3.由图象确定函数单调区间需注意:图象不连续且有多个上升段(下,降段)函数,其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用,“,”连接.,4.利用复合函数“同增异减”标准时,需先确定对应各函数单调性.,11/26,1-1,以下四个函数中,在(0,+,)上为增函数是,(),A.,f,(,x,)=3-,x,B.,f,(,x,)=,x,2,-3,x,C.,f,(,x,)=-,D.,f,(,x,)=-|,x,|,答案,C,f,(,x,)=3-,x,在(0,+,)上为减函数;当,x,时,f,(,x,)=,x,2,-3,x,为减,函数,当,x,时,f,(,x,)=,x,2,-3,x,为增函数;,f,(,x,)=-,在(0,+,)上为增函,数;,f,(,x,)=-|,x,|在(0,+,)上为减函数.,12/26,1-2,(黑龙江、吉林八校联考)已知函数,f,(,x,)是定义在R上奇函,数,且,x,0时,f,(,x,)=log,2,(,x,+1)+3,x,则满足,f,(,x,)-4实数,x,取值范围是(),A.(-2,2)B.(-1,1)C.(-1,+,)D.(1,+,),答案,C,f,(,x,)为定义在R上奇函数,f,(0)=0,当,x,0,f,(-,x,)=log,2,(-,x,+1)-3,x,f,(,x,)=-,f,(-,x,)=-log,2,(-,x,+1)+3,x,(,x,-4;,当,x,-4可得,f,(,x,),f,(-1),x,-1,-1,x,-1.故选C.,13/26,考点二函数最值(值域),典例2,(1)函数,y,=,x,+,最小值为,.,(2)函数,y,=,值域为,.,(3)函数,f,(,x,)=,最大值为,.,答案,(1)1(2),(3)2,解析,(1)解法一:令,t,=,则,t,0,且,x,=,t,2,+1,原函数变为,y,=,t,2,+1+,t,t,0.,配方得,y,=,+,14/26,又,t,0,y,+,=1.,故函数,y,=,x,+,最小值为1.,解法二:因为函数,y,=,x,和,y,=,在定义域内均为增函数,故函数,y,=,x,+,在1,+,)内为增函数,所以,y,min,=1.,(2),y,=,=,=2+,=2+,.,+,22+,2+,=,15/26,故函数值域为,.,(3)当,x,1时,函数,f,(,x,)=,为减函数,所以,f,(,x,)在,x,=1处取得最大值,为,f,(1)=1;,当,x,1时,易知函数,f,(,x,)=-,x,2,+2在,x,=0处取得最大值,为,f,(0)=2.,故函数,f,(,x,)最大值为2.,16/26,方法技巧,求函数最值五种惯用方法,(1)单调性法:先确定函数单调性,再由单调性求最值.,(2)图象法:先作出函数图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.,(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”条,件后用基本不等式求出最值.,(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上极值,最终结合端点值,求出,最值.,(5)换元法:对比较复杂函数可经过换元转化为熟悉函数,再用对应,方法求最值.,17/26,2-1,对于任意实数,a,b,定义min,a,b,=,函数,f,(,x,)=-,x,+3,g,(,x,)=log,2,x,则函数,h,(,x,)=min,f,(,x,),g,(,x,)最大值是,.,答案,1,解析,依题意,h,(,x,)=,当02时,h,(,x,)=3-,x,是减函数,则,h,(,x,),max,=,h,(2)=1.,18/26,2-2,(1)求函数,y,=,值域.,(2)已知-,k,求函数,y,=,值域.,解析,(1)因为,y,=,=,=-,+,因为,0,所以,y,-,所以函数,y,=,值域为,.,(2),y,=,=,=3-,因为-,k,所以1,k,2,+14,所以-3,-,-,所以0,3-,所以0,y,x,1,1时,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)(,x,2,-,x,1,),a,b,B.,c,b,a,C.,a,c,b,D.,b,a,c,答案,D,解析,由,f,(,x,)图象关于直线,x,=1对称可得,f,=,f,.,由当,x,2,x,1,1时,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)(,x,2,-,x,1,)0恒成立,知,f,(,x,)在(1,+,)上单调递减.,12,f,f,(e),即,f,(2),f,f,(e),b,a,c,.,20/26,3-1,若函数,f,(,x,)=,x,2,+,a,|,x,-2|在(0,+,)上单调递增,则实数,a,取值范围是,(),A.-4,0B.0,4,C.(-,-4D.0,+,),答案,A,f,(,x,)=,x,2,+,a,|,x,-2|,f,(,x,)=,又,f,(,x,)在(0,+,)上单调递增,解得-4,a,0,即实数,a,取值范围是-4,0.,21/26,3-2,已知函数,f,(,x,)=,x,3,+3,x,对任意,m,-2,2,f,(,mx,-2)+,f,(,x,)0恒成立,则,实数,x,取值范围是,.,答案,解析,易知函数,f,(,x,)=,x,3,+3,x,为奇函数,f,(,mx,-2)+,f,(,x,)0可化为,f,(,mx,-2),f,(-,x,),又函数,f,(,x,)单调递增,mx,-2-,x,即,mx,+,x,-20,-2,x,.,22/26,命题角度二解不等式,典例4,已知,f,(,x,)是定义在(0,+,)上单调增函数,满足,f,(,xy,)=,f,(,x,)+,f,(,y,),f,(3)=1,当,f,(,x,)+,f,(,x,-8),2时,x,取值范围是,(),A.(8,+,)B.(8,9,C.8,9D.(0,8),答案,B,解析,2=1+1=,f,(3)+,f,(3)=,f,(9),由题意及,f,(,x,)+,f,(,x,-8),2,可得,f,x,(,x,-8),f,(9),因为,f,(,x,)是定义在(0,+,)上单调增函数,所以有,解得8,x,9.,23/26,典例5,已知函数,f,(,x,)=,满足对任意实数,x,1,x,2,都有,0成立,则实数,a,取值范围为,(),A.(0,1)B.,C.,D.,答案,C,解析,依据题意知函数,f,(,x,)在定义域R上为减函数,则,解得,a,.故选C.,命题角度三求参数,24/26,方法技巧,函数单调性应用技巧,函数单调性应用比较广泛,主要用来比较函数值大小、解函数不等,式、求相关参数范围、求函数最值等.,(1)比较两个函数值大小,若,f,(,x,)在给定区间,A,上是递增,任取,x,1,x,2,A,则,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,);若,f,(,x,)在给定区间,A,上是递减,任取,x,1,x,2,A,则,x,1,f,(,x,2,).若给定,两个自变量在同一单调区间上,可直接比较大小,不然,要先依据奇偶,性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比较大小.,(2)利用函数单调性解函数不等式,解函数不等式关键是利用函数单调性去掉函数符号“,f,”,变函数,25/26,不等式为普通不等式.去掉“,f,”时,要注意,f,(,x,)定义域限制.,(3)利用函数单调性求参数取值范围,依据函数单调性定义,对给定区间内任意两个不相等自变量对应,函数值作差(满足函数关系式自变量必须在定义域内,这是一个容,易被忽略问题),经过结构关于参数不等式进行求解.在求抽象函数,中参数范围时,往往是利用函数单调性将符号“,f,”去掉,得到关于,参数不等式.,(4)利用函数单调性求解函数最值,步骤:判断函数单调性;计算端点处函数值;确定最大值和最,小值.,26/26,
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