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反比例函数经典题 九年级数学 一一.教学内容：反比例函数教学内容：反比例函数 教学目标：教学目标：1.理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。2.初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。性。二二.重点、难点：重点、难点：重点：重点：1.能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。并利用它们解决简单的实际问题。2、反比例函数的图像特点及性质的探究、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像难点：难点：1、理解反比例函数的概念、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质4.反比例函数的应用。反比例函数的应用。三、知识要点三、知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式式2、一般地，如果两个变量、一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成之间的关系可以表示成y=（k为常数，为常数，k不不等于等于0）的形式，那么称）的形式，那么称y是是x的反比例函数的反比例函数.从从y=中可知，中可知，x作为分母，所作为分母，所以不能为零以不能为零3、画反比例函数图像时要注意以下几点、画反比例函数图像时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点以简化计算，又便于标点b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用在连线时要用“光滑的曲线光滑的曲线”，不能用折线，不能用折线4、反比例函数的性质、反比例函数的性质反比例函数反比例函数 k的取值范围的取值范围 图象图象 性质性质 的取值范围是，的取的取值范围是，的取值范围是值范围是函数图象的函数图象的两个分支分别在第一、两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限三象限，在每一个象限内随的增大而减小内随的增大而减小 的取值范围是，的取值的取值范围是，的取值范围是范围是函数图象的两个函数图象的两个分支分别在第二、四象限，分支分别在第二、四象限，在每一个象限内随的增大在每一个象限内随的增大而增大而增大 注意：注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2）双曲线的两个分支都与轴、轴无限接近，但永远不能与坐标轴相）双曲线的两个分支都与轴、轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；交；3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象在同一象限限”内。内。5、反比例函数系数的几何意义、反比例函数系数的几何意义如图，过双曲线上任意一点如图，过双曲线上任意一点P作作 轴，轴，轴的垂线轴的垂线PM，PN，所得矩形的面积为所得矩形的面积为 ，即过双曲线上任一点作即过双曲线上任一点作 轴，轴，轴的垂线，所得矩形的面积轴的垂线，所得矩形的面积为为 注意：注意：若已知矩形的面积为若已知矩形的面积为 ，应根据双曲线的位置确，应根据双曲线的位置确定定k值的符号。值的符号。在一个反比例函数图象上任取两点在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过，分别过P，Q作作x轴、轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有则有S1S2。四、典例解析四、典例解析考点一、反比例函数的定义考点一、反比例函数的定义例例1、用电器的输出功率、用电器的输出功率P与通过的电流与通过的电流I，用电器的电阻，用电器的电阻R之间的关系是，之间的关系是，下面说法正确的是（下面说法正确的是（）A.P为定值，为定值，I与与R成反比例成反比例B.P为定值，与为定值，与R成反比例成反比例C.P为定值，为定值，I与与R成正比例成正比例D.P为定值，与为定值，与R成正比例成正比例本题的答案是：本题的答案是：B例例2、为何值时，为何值时，是反比例函数？是反比例函数？解：解：常见的错误：常见的错误：1）不会把反比例函数的一般形式）不会把反比例函数的一般形式 写成写成 形式形式；2）忽略了）忽略了 这个条件。这个条件。考点二：反比例函数的图象考点二：反比例函数的图象例例3、若、若 三点都在函数三点都在函数 的图象上，则的图象上，则 的大小关系是（的大小关系是（）A.B.C.D.例例4、观察下面函数和的图像，请大家对比着探索它们的异同点、观察下面函数和的图像，请大家对比着探索它们的异同点相同点：相同点：a、图像都是由两条曲线组成、图像都是由两条曲线组成b、它们都不与坐标轴相交、它们都不与坐标轴相交 c、它们都不过原点、它们都不过原点不同点：不同点：它们所在的象限不同，它们所在的象限不同，的两条曲线在第一和第三象限，的两条曲线在第一和第三象限，的两条曲线在第二的两条曲线在第二和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图像是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图像是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形？形？由此看来，反比例函数的图像是两条双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象由此看来，反比例函数的图像是两条双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？可以，当可以，当k大于大于0时，图像的两条曲线在第一、三象限内，当时，图像的两条曲线在第一、三象限内，当k小于小于0时，两条曲线分别位于第时，两条曲线分别位于第二、四象限。二、四象限。例例5、已知反比例函数、已知反比例函数 ，分别根据以下条件求出，分别根据以下条件求出 的取值的取值范围。范围。（1）函数图象位于第一、三象限内；）函数图象位于第一、三象限内；（2）在每一个象限内，）在每一个象限内，随随 的增大而增大。的增大而增大。例例6、如图，反比例函数图像上任取两点、如图，反比例函数图像上任取两点P、Q，过点，过点P分别作分别作x轴，轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为 ，过点，过点Q分别作分别作x轴，轴，y轴轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 。（1）与与 有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？（2）将反比例函数的图像绕原点旋转）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合度后，能与原来的图像重合吗？吗？5、解：（、解：（1）双曲线在第一、三象限内，双曲线在第一、三象限内，（2）在每一个象限内在每一个象限内 随随 的增大而增大的增大而增大 6、解：（、解：（1）P、Q两点在同一条曲线上：两点在同一条曲线上：设设P（），过），过P点分别作点分别作x轴、轴、y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为为 ，则，则 因为（因为（）在反比例函数）在反比例函数 的图像上，所以的图像上，所以 即即 所以所以 同理可知同理可知 所以所以 =P、Q分别在不同的曲线上：分别在不同的曲线上：解法同解法同1同理可知同理可知 =因此只要是在同一个反比例函数因此只要是在同一个反比例函数图像上任取两点图像上任取两点P、Q，不管，不管P、Q是在同一条曲线上，是在同一条曲线上，还是在不同的曲线上，过还是在不同的曲线上，过P、Q分别作分别作x轴，轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积、都有积、都有=（2）若将反比例函数的图像绕原点旋转）若将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合度后，能与原来的图像重合.因为因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。例例7、小明将一篇、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文字的社会调查报告录入电脑，打印成文.（1）如果小明以每分钟）如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？（2）录入文字的速度）录入文字的速度v（字（字/min）与完成录入的时间）与完成录入的时间t（min）有怎样的函数关系）有怎样的函数关系（3）小明希望能在）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？例例9、反比例函数的图象上有一点、反比例函数的图象上有一点P（m，n）其坐标是关于）其坐标是关于t的一元二次的一元二次方程方程 的两根，且的两根，且P到原点的距离为到原点的距离为 ，求该反比例函数，求该反比例函数的解析式的解析式.7、分析：题中的等量关系为：总字数、分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度录入文字的速度录入时间录入时间解：（解：（1）24000120=200（分钟）（分钟）所以他需要用所以他需要用200分钟才能完成录入工作。分钟才能完成录入工作。（2）函数关系式是：）函数关系式是：（3）3h=180min由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入134个字。个字。9、分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出、分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出k，为此我们需要列出一个关于，为此我们需要列出一个关于k的方程的方程.解：解：m，n是关于是关于t的方程的方程 的两根的两根 m+n=3，mn=k，又又 PO=92k=13.k=2 当当 k=2时，时，=9+80，k=2符合条件，符合条件，反比例函数的解析式为：反比例函数的解析式为：考点六：反比例函数与一次函数的应用考点六：反比例函数与一次函数的应用例例10、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点。两点。（1）根据图象，写出）根据图象，写出B点的坐标；（点的坐标；（2）求出两函数的解析式；）求出两函数的解析式；（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值。数的值。考点六：反比例函数与一次函数的应用考点六：反比例函数与一次函数的应用例例10、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点。两点。（1）根据图象，写出）根据图象，写出B点的坐标；（点的坐标；（2）求出两函数的解析式；）求出两函数的解析式；（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值。数的值。解：（解：（1）由图象可得）由图象可得B（4，3）（2）把反比例函数上的点代入函数的关系式）把反比例函数上的点代入函数的关系式 得得 反比例函数的关系式为反比例函数的关系式为由图可知一次函数与坐标轴的交点为（由图可知一次函数与坐标轴的交点为（0，1）和（）和（2，0）把这两点代入一次函数关系式把这两点代入一次函数关系式+b得：得：解得：解得：一次函数的关系式为：一次函数的关系式为：（3）由图象可知，当）由图象可知，当 时，一次函数的函数值大于反比例函数的时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值函数值 例例11、如图，平行于直线、如图，平行于直线 的直线的直线 不经过第四象限，且与函数不经过第四象限，且与函数 的的图象交于点图象交于点A，过点，过点A作作AB 轴于点轴于点B，AC 轴于点轴于点C，四边形，四边形ABOC的周长的周长是是8，求直线，求直线 的解析式。的解析式。例例11、如图，平行于直线、如图，平行于直线 的直线的直线 不经过第四象限，且与函数不经过第四象限，且与函数 的的图象交于点图象交于点A，过点，过点A作作AB 轴于点轴于点B，AC 轴于点轴于点C，四边形，四边形ABOC的周长的周长是是8，求直线，求直线 的解析式。的解析式。解：解：点点A在函数在函数 的图象上，的图象上，设设A点的横坐标为点的横坐标为 ，由点，由点A的纵坐标为的纵坐标为 ，即即A点的坐标为点的坐标为AB 轴于点轴于点B，AC 轴于点轴于点C，BOC=90四边形四边形ABOC是矩形，是矩形，四边形四边形ABOC的周长是的周长是8，即即解得解得当当A点坐标为（点坐标为（1，3）或（）或（3，1）（由题意可知）（由题意可知 ）A点坐标为（点坐标为（1，3）设直线设直线 的解析式为的解析式为 把把A点代入点代入 得得3=1+b b=2 直线的解析式为直线的解析式为一、选择题一、选择题1.下列不是反比例函数图象的特点的是下列不是反比例函数图象的特点的是 （）A.图象是由两部分构成图象是由两部分构成 B.图象与坐标轴无交点图象与坐标轴无交点C.图象要么总向右上方，要么总向右下方图象要么总向右上方，要么总向右下方D.图象与坐标轴相交而成的一对对顶角内图象与坐标轴相交而成的一对对顶角内2.若点（若点（3，6）在反比例函数）在反比例函数 （k0）的图象上，那么下列各点在此图象）的图象上，那么下列各点在此图象上的是（上的是（）A.（，6）B.（2，9）C.（2，）D.（3，）*3.当当 时，下列图象中表示函数时，下列图象中表示函数 的图象的是的图象的是 （）4.如果如果x与与y满足满足 ，则，则y是是x的的 （）A.正比例函数正比例函数 B.反比例函数反比例函数 C.一次函数一次函数D.二次函数二次函数5.已知反比例函数的图象过（已知反比例函数的图象过（2，2）和（）和（1，n），则），则n等于等于 （）A.3 B.4 C.6D.126.已知某县的粮食产量为已知某县的粮食产量为a（a为常数）吨，设该县平均每人粮食产量为为常数）吨，设该县平均每人粮食产量为y吨，吨，人口数为人口数为x，则，则y与与x之间的函数关系的图象可能是下图中的之间的函数关系的图象可能是下图中的 （）7.若若ab0，则函数，则函数 与与 在同一坐标系内的图象大致可能是下图在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的（中的（）8、下列函数中，、下列函数中，是是 反比例函数的是（反比例函数的是（）A.B.C.D.9、函数、函数y1=kx和和 的图象如图所示，自变量的图象如图所示，自变量x的取值范围相同的是（的取值范围相同的是（）10、函数、函数 与与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。）。11、反比例函数、反比例函数 （k0）的图象的两个分支分别位于（）的图象的两个分支分别位于（）象限。）象限。A.一、二一、二 B.一、三一、三 C.二、四二、四 D.一、四一、四 12、当三角形的面积一定时，三角形的底和底边上的高成（、当三角形的面积一定时，三角形的底和底边上的高成（）关系。）关系。A.正比例函数正比例函数 B.反比例函数反比例函数 C.一次函数一次函数 D.二次函数二次函数13、函数、函数 与与 的图象可能是（的图象可能是（）14、如图，是三个反比例函数、如图，是三个反比例函数 在在x轴上的图像，由此观察得轴上的图像，由此观察得到到k1、k2、k3的大小关系为（的大小关系为（）A.k1k2k3 B.k1k3k2 C.k2k3k1 D.k3k2k115、已知双曲线、已知双曲线 上有一点上有一点P（m，n），且），且m、n是关于是关于t的一元二次方程的一元二次方程t23t+k=0的两根，的两根，P点到原点的距离为点到原点的距离为 ，则双曲线的表达式为（，则双曲线的表达式为（）A.B.C.D.16、如图，正比例函数、如图，正比例函数y=x与反比例函数与反比例函数 的图象相交于的图象相交于A、C两点，两点，ABx轴于轴于B，CDx轴于轴于D，则四边形，则四边形ABCD的面积为（的面积为（）A.1 B.C.2 D.17、如图，已知点、如图，已知点A是一次函数是一次函数y=x的图象与反比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限的图象在第一象限内的交点，点内的交点，点B在在x轴的负半轴上，且轴的负半轴上，且OA=OB，那么，那么AOB的面积为的面积为A.2 B.C.D.二、填空题二、填空题1.反比例函数反比例函数 （k0）的图象是）的图象是_，当，当k0时，图象的两个分时，图象的两个分支分别在第支分别在第_、_象限内，在每一个象限内，象限内，在每一个象限内，y随随x的增大而的增大而_；当；当k0时，图象的两个分支分别在第时，图象的两个分支分别在第_、_象象限内，在每一个象限内，限内，在每一个象限内，y随随x的增大而的增大而_；*2.已知函数已知函数 ，当，当x0时，时，y_0，此时，其图象的相应部分在，此时，其图象的相应部分在第第_象限；象限；*3.当当 时，双曲线时，双曲线y=过点（过点（，2 ）；）；4.已知已知 （k0）的图象的一部分如图，则）的图象的一部分如图，则 ；5.如图，若反比例函数如图，若反比例函数 的图象过点的图象过点A，则该函数的解析式为，则该函数的解析式为_；*6.若若A（x1，y1），），B（x2，y2），），C（x3，y3）都是反比例函数）都是反比例函数 的的图象上的点，且图象上的点，且x10 x2x3，则，则y1，y2，y3由小到大的顺序是由小到大的顺序是 ；*7、已知、已知y与（与（2x+1）成反比例且当）成反比例且当x=0时，时，y=2，那么当，那么当x=1时，时，y=_。8、如果反比例函数、如果反比例函数 的图象经过点（的图象经过点（3，1），那么），那么k=_。9、函数、函数 与与y=2x的图象的交点坐标是的图象的交点坐标是_。10、已知一次函数、已知一次函数y=ax+b图象在一、二、三象限，则反比例函数图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数的函数值随值随x的增大而的增大而_。11、已知、已知 ，那么，那么y与与x成成_比例，比例，k=_，其图象在，其图象在第第_象限。象限。*12、反比例函数、反比例函数 ，当，当x0时，时，y随随x的增大而增大，则的增大而增大，则m的值是的值是 。三、解答题三、解答题1.已知反比例函数已知反比例函数 ，分别根据下列条件求，分别根据下列条件求k的取值范围，并画出的取值范围，并画出草图草图.（1）函数图象位于第一、三象限）函数图象位于第一、三象限.（2）函数图象的一个分支向右上方）函数图象的一个分支向右上方延伸延伸.2.已知已知y与与x的部分取值满足下表：的部分取值满足下表：x65432123456y11.21.5236321.51.21（1）试猜想）试猜想y与与x的函数关系可能是你们学过的哪类函数，并写出这个的函数关系可能是你们学过的哪类函数，并写出这个函数的解析式函数的解析式.（不要求写（不要求写x的取值范围）的取值范围）（2）简要叙述该函数的性）简要叙述该函数的性质质.3、直线、直线 过过x轴上的点轴上的点A（，0），且与双曲线），且与双曲线 相交于相交于B、C两点，已知两点，已知B点坐标为（点坐标为（，4），求直线和双曲线的解析式。），求直线和双曲线的解析式。4、已知一次函数、已知一次函数 与反比例函数与反比例函数 的图象的一个交点为的图象的一个交点为P（a，b），且），且P到原点的距离是到原点的距离是10，求，求a、b的值及反比例函数的解析式。的值及反比例函数的解析式。5、已知函数、已知函数 是一次函数，它的图象与反比例函是一次函数，它的图象与反比例函数数 的图象交于一点，交点的横坐标是的图象交于一点，交点的横坐标是 ，求反比例函数的，求反比例函数的解析式。解析式。6、已知反比例函数、已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点A（4，），若一次函数），若一次函数y=x+1的图象沿的图象沿x轴平移后经过该反比例函数图象上的点轴平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），求平移），求平移后的一次函数图象与后的一次函数图象与x轴的交点坐标？轴的交点坐标？