复变函数解析变幻的特性.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7.1 解析变换特征,(共形映射),7.1.1 解析变换保域性,7.1.2 解析变换保角性,7.1.3 解析变换保形性,1/12,定理7.1(保域定理),设,w,=,f,(,z,)在区域,D,内解析且,不恒为常数,则,D,象,G,=,f,(,D,)也是一个区域.,证,首先证实G每一点都是内点,.,设,w,0,G,则有一点,z,0,D,使,w,0,=f,(,z,0,),.,要证,w,0,是,G,内点,只须证实,w,*,与,w,0,充分靠近时,w,*,亦属于,G,即当,w,*,与,w,0,充分靠近时,方程,w,*,=,f,(,z,),在,D,内有解.,为此,考查,f,(,z,)-,w,*,=,(,f,(,z,)-,w,0,),+,(,w,0,-,w,*,),由解析函数零点孤立性,必有以,z,0,为心某个圆,C,:|,z,-,z,0,|=,R,显然,f,(,z,0,)-,w,0,=0,使得,f,(,z,)-,w,0,在,C,上及,C,内部(除,z,0,外),C,及,C,内部全含于,D,均不为零.因而在,C,上:,7.1.1解析变换保域性,2/12,内点,w,*,及在,C,上点,z,有,所以依据儒歇定理6.10,在C内部,与,f,(,z,)-,w,0,有相同零点个数.于是,w,*,=,f,(,z,),在,D,内有解.,因为,D,是区域,可在,D,内部取一条联结,z,1,z,2,折线,C,:,z,=,z,(,t,),t,1,t,t,2,z,(,t,1,)=,z,1,z,(,t,2,)=,z,2,.于是：,就是联结,w,1,w,2,而且完全含于,D,一条曲线.,从而,参考柯西积分定理古莎证实第三步,能够找到,对在邻域,其次,要证实,G,中任意两点,w,1,=,f,(,z,1,),w,2,=f(,z,2,)均能够用一条完全含于,G,折线联结起来.,3/12,一条连接,w,1,w,2,内接于,且完全含于G折线,1,证:,因,f,(,z,)在区域,D,内单叶,必,f,(,z,)在,D,内不恒为常数.,总结以上两点,即知,G=f,(,D,)是区域.,定理7.2,设,w,=,f,(,z,)在区域,D,内单叶解析,则,D,象,G,=,f,(,D,)也是一个区域.,注,定理7.1能够推广成这么形式:“,w,=,f,(,z,)在扩充,z,平面区域,D,内,除可能有极点外处处解析,且不恒为常数,则,D,象,G,=,f,(,D,),为扩充,z,平面上区域.,结合定理7.2,合本定理条件解析变换,w=f,(,z,),将,z,0,一个充分小邻域内变成,w,0,=,f,(,z,0,),一个曲边邻域.,定理7.3,设函数,w,=,f,(,z,)在点,z,0,解析,且,f,(,z,0,)0,则,f,(,z,)在,z,0,一个邻域内单叶解析.,4/12,7.1.2 解析变换保角,导数几何意义,设,w,=,f,(,z,),于区域,D,内解析,z,0,D,在点,z,0,有导数,经过,z,0,任意引一条有向光滑曲线,C,:,z,=,z,(,t,)(,t,0,t,t,1,),z,0,=,z,(,t,0,).,所以,C,在,z,0,有切线,就是切向量,经变换,w,=,f,(,z,),C,之象曲线,参数方程应为,则,且,必存在,它倾角为,x,0,y,C,z,z,0,z,0,+z,w=f(z),u,v,0,w,0,w,0,+w,w,5/12,是光滑.又因为 故 在,w,0,=f(z,0,)也有切线,就是切向量,其倾角为,即,假设,则必,于是 (7.1),x,0,y,C,z,z,0,z,0,+,z,u,v,0,w,0,w,0,+w,w,w=f(z),图7.1,由定理7.3及第三章习题(一)13,在点,w,0,=,w,(,t,0,)邻域内,6/12,(7.2),且,假如我们假定x轴与u轴,y轴与v轴正方,向相同,而且将原曲线切线正方向与变换后,象曲线切线正方向间夹角,了解为原曲线,经过变换后旋转角,则,(7.1)说明:象曲线 在点w,0,=f(z,0,)切线正,向,可由原曲线C在点z,0,切线正向旋转一个角,度argf(z,0,)得出.argf(z,0,)仅与z,0,相关,而与经过,Z,0,曲线C选择无关,称为变换,w=f(z)在点z,0,旋转角,.这也就是导数辅角几何意义.,(7.1)说明:象点间无穷小距离与原象点间,7/12,无穷小距离之比极限是R=|f(z,0,)|,它仅与,z,0,相关,而与过z,0,曲线C之方向无关,称为,变换w=f(z)在点z,0,伸缩率,.这也就是导数模,几何意义.,上面提到旋转角与C选择无关这个,性质,称为,旋转角不变性,;伸缩率与C方向无关,这个性质,称为,伸缩率不变性,.,从几何意义上看:假如忽略高阶无穷小,伸缩,率不变性就表示w=f(z)将z=z,0,处无穷小圆5变,成w=w,0,处无穷小圆,其半径之比为|f(z)|.,上面讨论说明:解析函数在导数不为零,地方含有旋转角不变性与伸缩率不变性.,8/12,经点z,0,两条有向曲线C,1,C,2,切线方向,所组成角称为,两曲线在该点夹角,.,定义7.1 若函数w=f(z)在点z0邻域内有,定义,且在点z0含有:,(1)伸缩率不变性;,(2)过z0任意两曲线 夹角在变换w=f(z),下,又保持方向;,则称函数w=f(z)在点z,0,是,保角,.或称w=f(z)在,点z,0,是,保角变换,.假如w=f(z)在区域D内处处都,是保角,则称w=f(z)在区域D内是,保角,或,称w=f(z)在区域D内是,保角变换,.,9/12,定理7.4 如w=f(z)在区域 D内解析,则它,在导数不为零点处是保角.,推论7.5 如w=f(z)在区域D内单叶解析,则称,w=f(z)在区域D内是保角.,(由定理6.11,在D内f(z),0.,),7.1.3 解析变换保形性,定义7.2 假如w=f(z)在区域D内是单叶且保,角,则称此变换w=f(z),在D内是保形,也称它,为,D内保形变换,.,定理7.6 设w=f(z)在 区域D内单叶解析.则,(1)w=f(z)将D保形变换成区域G=f(D).,(2)反函数 在区域G内单叶解析,且,10/12,证(1)由推论7.2G是区域,由推论7.5及,定义7.2,w=f(z)将D保形变换成G.,(2)由定理6.11,f(z,0,),0(z,0,D,),又因w=f(z),是D到G单叶满变换,因而是D到G一一变,换.于是,当ww,0,时,z,z,0,即反函数,在区域D内单叶.故,由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,即,在D内满足C.-R.条件u,x,=v,y,u,y,=-v,x,.,故,11/12,由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函,数x=x(u,v),y=y(u,v)在点w,0,=u,0,+iv,0,及其一个邻,域 内为连续.即在邻域 中,当w,w,0,时,必有,故,即,因为w,0,或z,0,任意性,即知 在区域G内,解析.,12/12,