资源描述
,12.3,几何概型,1/63,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/63,基础知识自主学习,3/63,1.,几何概型,知识梳理,假如每个事件发生概率只与组成该事件区域,(,或,),成百分比，则称这么概率模型为几何概率模型，简称为,.,2.,几何概型中，事件,A,概率计算公式,长度,面积,体积,几何概型,3.,几何概型试验两个基本特点,(1),无限性：在一次试验中，可能出现结果有,；,(2),等可能性：每个结果发生含有,.,无限多个,等可能性,4/63,(1),使用计算机或者其它方式进行模拟试验，方便经过这个试验求出随机事件概率近似值方法就是模拟方法,.,(2),用计算机或计算器模拟试验方法为随机模拟方法,.,这个方法基本步骤是,用计算器或计算机产生某个范围内随机数，并赋予每个随机数一定意义；,统计代表某意义随机数个数,M,和总随机数个数,N,；,计算频率,f,n,(,A,),作为所求概率近似值,.,4.,随机模拟方法,5/63,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),在一个正方形区域内任取一点概率是零,.(,),(2),几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到机会相等,.(,),(3),在几何概型定义中区域能够是线段、平面图形、立体图形,.(,),思索辨析,(4),随机模拟方法是以事件发生频率预计概率,.(,),(5),与面积相关几何概型概率与几何图形形状相关,.(,),(6),从区间,1,10,内任取一个数，取到,1,概率是,P,.(,),6/63,考点自测,1.(,教材改编,),在线段,0,3,上任投一点，则此点坐标小于,1,概率为,答案,解析,坐标小于,1,区间为,0,1,，,长度为,1,，,0,3,区间长度为,3,，,7/63,答案,解析,由几何概型概率计算公式得所求概率,8/63,3.(,教材改编,),有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择游戏盘是,答案,解析,P,(,A,),P,(,C,),P,(,D,),P,(,B,).,9/63,4.(,南昌,月考,),一个边长为,3 cm,正方形薄木板正中央有一个直径为,2 cm,圆孔，一只小虫在木板一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点距离都大于,2 cm,区域内概率等于,_.,答案,解析,10/63,如图所表示，分别以正方形四个顶点为圆心，,2 cm,为半径作圆，,与正方形相交截得四个圆心角为直角扇形，当小虫落在图中黑色区域时，它离四个顶点距离都大于,2 cm,，,11/63,5.,若将一个质点随机投入如图所表示长方形,ABCD,中，其中,AB,2,，,BC,1,，则质点落在以,AB,为直径半圆内概率是,_.,答案,解析,设质点落在以,AB,为直径半圆内为事件,A,，,12/63,题型分类深度剖析,13/63,题型一与长度、角度相关几何概型,例,1,(1)(,全国甲卷,),某路口人行横道信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯连续时间为,40,秒,.,若一名行人来到该路口碰到红灯，则最少需要等候,15,秒才出现绿灯概率为,答案,解析,14/63,答案,解析,15/63,(3),如图所表示，在,ABC,中，,B,60,，,C,45,，高,AD,，在,BAC,内作射线,AM,交,BC,于点,M,，求,BM,1,概率,.,解答,16/63,因为,B,60,，,C,45,，所以,BAC,75.,记事件,N,为,“,在,BAC,内作射线,AM,交,BC,于点,M,，使,BM,1,”,，则可得,BAM,BAD,时事件,N,发生,.,17/63,引申探究,解答,18/63,2.,本例,(3),中，若将,“,在,BAC,内作射线,AM,交,BC,于点,M,”,改为,“,在线段,BC,上找一点,M,”,，求,BM,1,概率,.,解答,19/63,求解与长度、角度相关几何概型方法,求与长度,(,角度,),相关几何概型概率方法是把题中所表示几何模型转化为长度,(,角度,),，然后求解,.,要尤其注意,“,长度型,”,与,“,角度型,”,不一样,.,解题关键是构建事件区域,(,长度或角度,).,思维升华,20/63,跟踪训练,1,(1)(,全国乙卷,),某企业班车在,7,：,00,，,8,：,00,8,：,30,发车，小明在,7,：,50,至,8,：,30,之间抵达发车站乘坐班车，且抵达发车站时刻是随机，则他等车时间不超出,10,分钟概率是,答案,解析,如图所表示，画出时间轴,.,小明抵达时间会随机落在图中线段,AB,中，,而当他抵达时间落在线段,AC,或,DB,时，才能确保他等车时间不超出,10,分钟，,21/63,故,A,B,x,|2,x,3.,由几何概型知，在集合,A,中任取一个元素,x,，,答案,解析,22/63,命题点,1,与平面图形面积相关问题,例,2,(,全国甲卷,),从区间,0,1,随机抽取,2,n,个数,x,1,，,x,2,，,，,x,n,，,y,1,，,y,2,，,，,y,n,，组成,n,个数对,(,x,1,，,y,1,),，,(,x,2,，,y,2,),，,，,(,x,n,，,y,n,),，其中两数平方和小于,1,数对共有,m,个，则用随机模拟方法得到圆周率,近似值为,答案,解析,题型二与面积相关几何概型,23/63,由题意得,(,x,i,，,y,i,)(,i,1,2,，,，,n,),在如图所表示方格中，,而平方和小于,1,点均在如图所表示阴影中，,24/63,命题点,2,与线性规划知识交汇命题问题,例,3,答案,解析,25/63,如图，平面区域,1,就是三角形区域,OAB,，平面区域,2,与平面区域,1,重合部分就是区域,OACD,，,26/63,命题点,3,与定积分交汇命题问题,例,4,(,福建,),如图，点,A,坐标为,(1,0),，点,C,坐标为,(2,4),，函数,f,(,x,),x,2,.,若在矩形,ABCD,内随机取一点，则此点取自阴影部分概率等于,_.,答案,解析,27/63,求解与面积相关几何概型注意点,求解与面积相关几何概型时，关键是搞清某事件对应面积，必要时可依据题意结构两个变量，把变量看成点坐标，找到全部试验结果组成平面图形，方便求解,.,思维升华,28/63,跟踪训练,2,(1)(,昌平模拟,),设不等式组,表示平面区域为,D,.,在区域,D,内随机取一个点，则此点到直线,y,2,0,距离大于,2,概率是,答案,解析,29/63,作出平面区域,D,，可知平面区域,D,是以,A,(4,3),，,B,(4,，,2),，,C,(,6,，,2),为顶点三角形区域,.,当点在,AEF,区域内时，,点到直线,y,2,0,距离大于,2.,30/63,(2),如图，在边长为,e(e,为自然对数底数,),正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分概率为,_.,答案,解析,由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，,31/63,题型三与体积相关几何概型,例,5,(1)(,贵州黔东南州凯里一中期末,),一只蜜蜂在一个棱长为,3,正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中一直保持与正方体,6,个表面距离均大于,1,，则称其为,“,安全飞行,”,，则蜜蜂,“,安全飞行,”,概率为,答案,解析,32/63,由题意知小蜜蜂安全飞行范围为以这个正方体中心为中心，且棱长为,1,小正方体内,.,33/63,(2),已知正三棱锥,S,ABC,底面边长为,4,，高为,3,，在正三棱锥内任取一点,P,，使得,V,P,ABC,V,S,ABC,概率是,当,P,在三棱锥三条侧棱中点所在平面及下底面组成正三棱台内时符合要求，,答案,解析,34/63,求解与体积相关几何概型注意点,对于与体积相关几何概型问题，关键是计算问题总体积,(,总空间,),以及事件体积,(,事件空间,),，对于一些较复杂问题也可利用其对立事件去求,.,思维升华,35/63,跟踪训练,3,(,哈尔滨模拟,),在体积为,V,三棱锥,S,ABC,棱,AB,上任取一点,P,，则三棱锥,S,APC,体积大于,概率是,_.,答案,解析,36/63,如图，三棱锥,S,ABC,与三棱锥,S,APC,高相同，,则事件,M,发生区域是线段,P,B,.,37/63,典例,(1),在等腰,Rt,ABC,中，,C,90,，在直角边,BC,上任取一点,M,，则,CAM,30,概率是,_.,(2),在长为,1,线段上任取两点，则这两点之间距离小于,概率为,几何概型中,“,测度,”,现场纠错系列,16,错解展示,现场纠错,纠错心得,(1),在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内分布等可能,.,(2),两个变量在某个范围内取值，对应,“,测度,”,是面积,.,38/63,解析,(1),C,90,，,CAM,30,，,答案,返回,39/63,解析,(1),因为点,M,在直角边,BC,上是等可能出现，,(2),设任取两点所表示数分别为,x,，,y,，,则,0,x,1,，且,0,y,1.,答案,返回,40/63,课时作业,41/63,1.(,佛山模拟,),如图，矩形长为,6,，宽为,4,，在矩形内随机地撒,300,颗黄豆，数得落在椭圆外黄豆数为,96,，以此试验数据为依据能够预计出椭圆面积约为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,故,S,16.32.,A.16.32 B.15.32 C.8.68 D.7.68,42/63,2.(,昆明三中、玉溪一中统考,),已知,P,是,ABC,所在平面内一点，,，现将一粒黄豆随机撒在,ABC,内，则黄豆落在,PBC,内概率是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,43/63,以,PB,、,PC,为邻边作平行四边形,PBDC,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,44/63,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,45/63,3.(,菏泽一模,),已知函数,f,(,x,),部分图象如图所表示，向图中矩形区域内随机投出,100,粒豆子，记下落入阴影区域豆子数,.,经过,10,次这么试验，算得落入阴影区域豆子平均数约为,39,，由此可预计,值约为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,46/63,4.,已知,ABC,中，,ABC,60,，,AB,2,，,BC,6,，在,BC,上任取一点,D,，则使,ABD,为钝角三角形概率为,答案,解析,如图，当,BE,1,时，,AEB,为直角，,则点,D,在线段,BE,(,不包含,B,、,E,点,),上时，,ABD,为钝角三角形；,当,BF,4,时，,BAF,为直角，,则点,D,在线段,CF,(,不包含,C,、,F,点,),上时，,ABD,为钝角三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,47/63,5.(,武昌,质检,),如图，矩形,ABCD,四个顶点坐标分别为,A,(0,，,1),，,B,(,，,1),，,C,(,，,1),，,D,(0,，,1),，正弦曲线,f,(,x,),sin,x,和余弦曲线,g,(,x,),cos,x,在矩形,ABCD,内交于点,F,，向矩形,ABCD,区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内概率是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,48/63,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,49/63,6.,欧阳修卖油翁中写到：,“,(,翁,),乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿,”,，可见,“,行行出状元,”,，卖油翁技艺让人叹为观止,.,若铜钱是直径为,3 cm,圆，中间有边长为,1 cm,正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油,(,油滴直径忽略不计,),，则恰好落入孔中概率是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,50/63,7.,有一个底面圆半径为,1,、高为,2,圆柱，点,O,为这个圆柱底面圆圆心，在这个圆柱内随机取一点,P,，则点,P,到点,O,距离大于,1,概率为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,51/63,如图，由题意知，在矩形,ABCD,内任取一点,Q,(,m,，,n,),，,点,Q,落在阴影部分概率即为所求概率，,易知直线,m,n,恰好将矩形平分，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,52/63,9.,随机地向半圆,0,y,(,a,为正常数,),内掷一点，点落在圆内任何区域概率与区域面积成正比，则原点与该点连线与,x,轴夹角小于,概率为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,53/63,10.(,大连,月考,),正方形四个顶点,A,(,1,，,1),，,B,(1,，,1),，,C,(1,，,1),，,D,(,1,1),分别在抛物线,y,x,2,和,y,x,2,上，如图所表示,.,若将一个质点随机投入正方形,ABCD,中，则质点落在图中阴影区域概率是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,54/63,11.,已知向量,a,(,2,1),，,b,(,x,，,y,).,(1),若,x,，,y,分别表示将一枚质地均匀正方体骰子,(,六个面点数分别为,1,2,3,4,5,6),先后抛掷两次时第一次，第二次出现点数，求满足,a,b,1,概率；,解答,将一枚质地均匀正方体骰子先后抛掷两次，所包含基本事件总数为,6,6,36,，,由,a,b,1,得,2,x,y,1,，,所以满足,a,b,1,基本事件为,(1,1),，,(2,3),，,(3,5),，共,3,个，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,55/63,(2),若,x,，,y,在连续区间,1,6,上取值，求满足,a,b,0,概率,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,56/63,若,x,，,y,在连续区间,1,6,上取值，则全部基本事件结果为,(,x,，,y,)|1,x,6,1,y,6,，,满足,a,b,0,基本事件结果为,A,(,x,，,y,)|1,x,6,1,y,6,且,2,x,y,0.,画出图形如图，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,57/63,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,58/63,要使,f,(,x,),ax,2,4,bx,1,在区间,1,，,),上为增函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,59/63,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,60/63,*13.,甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船码头，它们在一昼夜内抵达该码头时刻是等可能,.,假如甲船停泊时间为,1 h,，乙船停泊时间为,2 h,，求它们中任意一艘都不需要等候码头空出概率,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,61/63,设甲、乙两艘船抵达码头时刻分别为,x,与,y,，,记事件,A,为,“,两船都不需要等候码头空出,”,，,则,0,x,24,0,y,24,，,要使两船都不需要等候码头空出，当且仅当甲比乙早抵达,1 h,以上或乙比甲早抵达,2 h,以上，,即,y,x,1,或,x,y,2.,故所求事件组成集合,A,(,x,，,y,)|,y,x,1,或,x,y,2,，,x,0,24,，,y,0,24,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,62/63,A,为图中阴影部分，,全部结果组成集合,为边长是,24,正方形及其内部,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,63/63,
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