高考数学复习第十章圆锥曲线与方程10.6圆锥曲线的综合问题市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第十章 圆锥曲线与方程,10,.,6,圆锥曲线综合问题,高考数学,(浙江专用),1/126,考点圆锥曲线综合问题,1.(福建,9,5分)设,P,Q,分别为圆,x,2,+(,y,-6),2,=2和椭圆,+,y,2,=1上点,则,P,Q,两点间最大距离是,(),A.5,B.,+,C.7+,D.6,五年高考,答案,D设,Q,(,cos,sin,),圆心为,M,由已知得,M,(0,6),则|,MQ,|=,=,=,=,5,故|,PQ,|,max,=5,+,=6,.,2/126,2.(湖北,9,5分)已知,F,1,F,2,是椭圆和双曲线公共焦点,P,是它们一个公共点,且,F,1,PF,2,=,则椭圆和双曲线离心率倒数之和最大值为,(),A.,B.,C.3D.2,3/126,答案,A解法一:设椭圆方程为,+,=1(,a,1,b,1,0),离心率为,e,1,双曲线方程为,-,=1(,a,2,0,b,2,0),离心率为,e,2,它们焦距为2,c,不妨设,P,为两曲线在第一象限交点,F,1,F,2,分别为左、右焦,点,则易知,解得,在,F,1,PF,2,中,由余弦定理得(,a,1,+,a,2,),2,+(,a,1,-,a,2,),2,-2(,a,1,+,a,2,)(,a,1,-,a,2,)cos 60,=4,c,2,整理得,+3,=4,c,2,所以,+,=4,即,+,=4.,设,a,=,b,=,+,=,a,b,|,a,|,b,|=,=,=,故,+,最大值是,故选A.,解法二:不妨设,P,在第一象限,|,PF,1,|=,m,|,PF,2,|=,n,.在,PF,1,F,2,中,由余弦定理得,m,2,+,n,2,-,mn,=4,c,2,.设椭圆,长轴长为2,a,1,离心率为,e,1,双曲线实轴长为2,a,2,离心率为,e,2,它们焦距为2,c,则,+,=,=,4/126,=,.,=,=,=,易知,-,+1最小值为,.故,=,.故选A.,评析,本题考查了椭圆、双曲线定义、方程和性质;考查了利用不等式和函数求最值基本,方法.本题对运算能力要求较高.,5/126,3.(浙江,21,15分)如图,已知抛物线,x,2,=,y,点,A,B,抛物线上点,P,(,x,y,),.,过点,B,作直线,AP,垂线,垂足为,Q,.,(1)求直线,AP,斜率取值范围;,(2)求|,PA,|,PQ,|最大值.,6/126,解析,本题主要考查直线方程、直线与抛物线位置关系等基础知识,同时考查解析几何基,本思想方法和运算求解能力.,(1)设直线,AP,斜率为,k,k,=,=,x,-,因为-,x,b,0)离心率为,椭圆,C,截直线,y,=1所得线段长度为2,.,(1)求椭圆,C,方程;,(2)动直线,l,:,y,=,kx,+,m,(,m,0)交椭圆,C,于,A,B,两点,交,y,轴于点,M,.点,N,是,M,关于,O,对称点,N,半径,为|,NO,|.设,D,为,AB,中点,DE,DF,与,N,分别相切于点,E,F,求,EDF,最小值.,10/126,解析,本题考查椭圆标准方程及圆锥曲线相关最值.,(1)由椭圆离心率为,得,a,2,=2(,a,2,-,b,2,),又当,y,=1时,x,2,=,a,2,-,得,a,2,-,=2,所以,a,2,=4,b,2,=2.,所以椭圆方程为,+,=1.,(2)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),联立方程,得(2,k,2,+1),x,2,+4,kmx,+2,m,2,-4=0,由,0得,m,2,0,从而,y,=,t,+,在3,+,)上单调递增,所以,t,+,等号当且仅当,t,=3时成立,此时,k,=0,所以,1+3=4,12/126,由(*)得-,m,b,0),四点,P,1,(1,1),P,2,(0,1),P,3,P,4,中恰有三点在椭圆,C,上.,(1)求,C,方程;,(2)设直线,l,不经过,P,2,点且与,C,相交于,A,B,两点.若直线,P,2,A,与直线,P,2,B,斜率和为-1,证实:,l,过定点.,14/126,解析,本题考查了圆锥曲线方程以及圆锥曲线与直线位置关系中定点问题.,(1)因为,P,3,P,4,两点关于,y,轴对称,故由题设知,C,经过,P,3,P,4,两点.,又由,+,+,知,C,不经过点,P,1,所以点,P,2,在,C,上.,所以,解得,故,C,方程为,+,y,2,=1.,(2)设直线,P,2,A,与直线,P,2,B,斜率分别为,k,1,k,2,.,假如,l,与,x,轴垂直,设,l,:,x,=,t,由题设知,t,0,且|,t,|0.,15/126,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,.,而,k,1,+,k,2,=,+,=,+,=,由题设,k,1,+,k,2,=-1,故(2,k,+1),x,1,x,2,+(,m,-1)(,x,1,+,x,2,)=0.,即(2,k,+1),+(,m,-1),=0.,解得,k,=-,.,当且仅当,m,-1时,0,于是,l,:,y,=-,x,+,m,即,y,+1=-,(,x,-2),所以,l,过定点(2,-1).,16/126,方法总结,求解轨迹方程步骤:建系、设点列式(列出动点所满足几何等量关系式),坐标化(选取适当公式表示几何等量关系)化简(注意化简前后等价性)检验,(去伪存真).,6.(课标全国文,20,12分)设,A,B,为曲线,C,:,y,=,上两点,A,与,B,横坐标之和为4.,(1)求直线,AB,斜率;,(2)设,M,为曲线,C,上一点,C,在,M,处切线与直线,AB,平行,且,AM,BM,求直线,AB,方程.,17/126,解析,本题考查直线与抛物线位置关系.,(1)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,x,2,y,1,=,y,2,=,x,1,+,x,2,=4,于是直线,AB,斜率,k,=,=,=1.,(2)由,y,=,得,y,=,设,M,(,x,3,y,3,),由题设知,=1,解得,x,3,=2,于是,M,(2,1).,设直线,AB,方程为,y,=,x,+,m,故线段,AB,中点为,N,(2,2+,m,),|,MN,|=|,m,+1|.,将,y,=,x,+,m,代入,y,=,得,x,2,-4,x,-4,m,=0.,当,=16(,m,+1)0,即,m,-1时,x,1,2,=2,2,.,从而|,AB,|=,|,x,1,-,x,2,|=4,.,由题设知|,AB,|=2|,MN,|,即4,=2(,m,+1),解得,m,=7.,所以直线,AB,方程为,y,=,x,+7.,18/126,方法总结,(1)直线与抛物线位置关系,点差法:在已知“,x,1,+,x,2,”或“,y,1,+,y,2,”值,求直线,l,斜率时,利用点差法计算,在很大程度上降低,运算过程中计算量.,(2)直线与圆锥曲线位置关系,已知直线与圆锥曲线相交,求参数时,普通联立直线与圆锥曲线方程,消元后利用根与系数,关系,结合已知列方程求解参数.求弦长时,可经过弦长公式|,AB,|=,|,x,1,-,x,2,|=,或|,AB,|=,|,y,1,-,y,2,|=,(,k,0)求解.,7.(课标全国理,20,12分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0),四点,P,1,(1,1),P,2,(0,1),P,3,P,4,中恰有三点在椭圆,C,上.,(1)求,C,方程;,(2)设直线,l,不经过,P,2,点且与,C,相交于,A,B,两点.若直线,P,2,A,与直线,P,2,B,斜率和为-1,证实:,l,过定点.,19/126,解析,本题考查了圆锥曲线方程以及圆锥曲线与直线位置关系中定点问题.,(1)因为,P,3,P,4,两点关于,y,轴对称,故由题设知,C,经过,P,3,P,4,两点.,又由,+,+,知,C,不经过点,P,1,所以点,P,2,在,C,上.,所以,解得,故,C,方程为,+,y,2,=1.,(2)设直线,P,2,A,与直线,P,2,B,斜率分别为,k,1,k,2,.,假如,l,与,x,轴垂直,设,l,:,x,=,t,由题设知,t,0,且|,t,|0.,20/126,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,.,而,k,1,+,k,2,=,+,=,+,=,由题设,k,1,+,k,2,=-1,故(2,k,+1),x,1,x,2,+(,m,-1)(,x,1,+,x,2,)=0.,即(2,k,+1),+(,m,-1),=0.,解得,k,=-,.,当且仅当,m,-1时,0,于是,l,:,y,=-,x,+,m,即,y,+1=-,(,x,-2),所以,l,过定点(2,-1).,21/126,方法总结,求解轨迹方程步骤:建系、设点列式(列出动点所满足几何等量关系式),坐标化(选取适当公式表示几何等量关系)化简(注意化简前后等价性)检验,(去伪存真).,22/126,8.(山东理,21,14分)在平面直角坐标系,xOy,中,椭圆,E,:,+,=1(,a,b,0)离心率为,焦距,为2.,(1)求椭圆,E,方程;,(2)如图,动直线,l,:,y,=,k,1,x,-,交椭圆,E,于,A,B,两点,C,是椭圆,E,上一点,直线,OC,斜率为,k,2,且,k,1,k,2,=,.,M,是线段,OC,延长线上一点,且|,MC,|,AB,|=23,M,半径为|,MC,|,OS,OT,是,M,两条切线,切点,分别为,S,T,.求,SOT,最大值,并求取得最大值时直线,l,斜率.,23/126,解析,本题考查椭圆方程,直线与椭圆、圆位置关系,考查最值求解方法和运算求解能,力.,(1)由题意知,e,=,=,2,c,=2,所以,a,=,b,=1,所以椭圆,E,方程为,+,y,2,=1.,(2)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),联立,消,y,整理得(4,+2),x,2,-4,k,1,x,-1=0,由题意知,0,且,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-,所以|,AB,|=,|,x,1,-,x,2,|=,.,由题意可知圆,M,半径,r,=,|,AB,|=,.,24/126,由题设知,k,1,k,2,=,所以,k,2,=,所以直线,OC,方程为,y,=,x,.,联立,得,x,2,=,y,2,=,所以|,OC,|=,=,.,由题意可知sin,=,=,而,=,=,令,t,=1+2,则,t,1,(0,1),25/126,所以=,=,=,1,当且仅当,=,即,t,=2时等号成立,此时,k,1,=,所以sin,所以,所以,SOT,最大值为,.,总而言之:,SOT,最大值为,取得最大值时直线,l,斜率,k,1,=,.,26/126,思绪分析,(1)由离心率和焦距,利用基本量运算求解;(2)联立直线,l,与椭圆方程,利用距离公式求,出|,AB,|,联立直线,OC,与椭圆方程求|,OC,|,进而建立sin,与,k,1,之间函数关系,利用二次函数,性质求解.,疑难突破,把角问题转化为三角函数问题,即由sin,=,=,f,(,k,1,)求解是解题突破,口.,解题反思,最值问题普通利用函数思想方法求解,利用距离公式建立sin,与,k,1,之间函,数关系是解题关键.牢靠掌握基础知识和方法是求解前提.本题完美解答表达了数学知识、,能力、思想、方法完美结合.,27/126,9.(浙江,21,15分)如图,设椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0),动直线,l,与椭圆,C,只有一个公共点,P,且点,P,在第一象限.,(1)已知直线,l,斜率为,k,用,a,b,k,表示点,P,坐标;,(2)若过原点,O,直线,l,1,与,l,垂直,证实:点,P,到直线,l,1,距离最大值为,a,-,b,.,28/126,解析,(1)设直线,l,方程为,y,=,kx,+,m,(,k,)右焦点为,F,右顶点为,A,.已知,+,=,其中,O,为原点,e,为椭圆离心率.,(1)求椭圆方程;,(2)设过点,A,直线,l,与椭圆交于点,B,(,B,不在,x,轴上),垂直于,l,直线与,l,交于点,M,与,y,轴交于点,H,.若,BF,HF,且,MOA,MAO,求直线,l,斜率取值范围.,30/126,解析,(1)设,F,(,c,0),由,+,=,即,+,=,可得,a,2,-,c,2,=3,c,2,又,a,2,-,c,2,=,b,2,=3,所以,c,2,=1,因,此,a,2,=4,所以,椭圆方程为,+,=1.,(2)设直线,l,斜率为,k,(,k,0),则直线,l,方程为,y,=,k,(,x,-2).,设,B,(,x,B,y,B,),由方程组,消去,y,整理得(4,k,2,+3),x,2,-16,k,2,x,+16,k,2,-12=0.,解得,x,=2或,x,=,由题意得,x,B,=,从而,y,B,=,.,由(1)知,F,(1,0),设,H,(0,y,H,),有,=(-1,y,H,),=,.,由,BF,HF,得,=0,所以,+,=0,解得,y,H,=,.,所以直线,MH,方程为,y,=-,x,+,.,31/126,设,M,(,x,M,y,M,),由方程组,消去,y,解得,x,M,=,.,在,MAO,中,MOA,MAO,|,MA,|,|,MO,|,即(,x,M,-2),2,+,+,化简得,x,M,1,即,1,解得,k,-,或,k,.,所以,直线,l,斜率取值范围为,.,评析,本题主要考查椭圆标准方程和几何性质、直线方程、一元二次不等式等基础知识.考,查用代数方法研究圆锥曲线性质.考查运算求解能力,以及用方程思想处理问题能力.,32/126,11.(北京,19,14分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)离心率为,A,(,a,0),B,(0,b,),O,(0,0),OAB,面积为1.,(1)求椭圆,C,方程;,(2)设,P,是椭圆,C,上一点,直线,PA,与,y,轴交于点,M,直线,PB,与,x,轴交于点,N,.求证:|,AN,|,BM,|为定值.,33/126,解析,(1)由题意得,解得,a,2,=4,b,2,=1.,所以椭圆,C,方程为,+,y,2,=1.,(2)由(1)知,A,(2,0),B,(0,1).,设,P,(,x,0,y,0,),则,+4,=4.,当,x,0,0时,直线,PA,方程为,y,=,(,x,-2).,令,x,=0,得,y,M,=-,从而|,BM,|=|1-,y,M,|=,.,直线,PB,方程为,y,=,x,+1.,令,y,=0,得,x,N,=-,从而|,AN,|=|2-,x,N,|=,.,34/126,所以|,AN,|,BM,|=,=,=,=4.,当,x,0,=0时,y,0,=-1,|,BM,|=2,|,AN,|=2,所以|,AN,|,BM,|=4.,综上,|,AN,|,BM,|为定值.,一题多解,(2)点,P,在曲线,+,=1上,不妨设,P,(2cos,sin,),当,k,且,k,+,(,k,Z)时,直,线,AP,方程为,y,-0=,(,x,-2),令,x,=0,得,y,M,=,;,直线,BP,方程为,y,-1=,(,x,-0),令,y,=0,得,x,N,=,.,|,AN,|,BM,|=2,=2,=2,2=4(定值).,当,=,k,或,=,k,+,(,k,Z)时,M,N,是定点,易得|,AN,|,BM,|=4.综上,|,AN,|,BM,|=4.,35/126,评析,本题考查椭圆标准方程,直线与圆锥曲线位置关系及定值问题,方法常规,运算量大,对学生运算能力要求较高.,12.(四川,20,13分)已知椭圆,E,:,+,=1(,a,b,0)两个焦点与短轴一个端点是直角三角,形三个顶点,直线,l,:,y,=-,x,+3与椭圆,E,有且只有一个公共点,T,.,(1)求椭圆,E,方程及点,T,坐标;,(2)设,O,是坐标原点,直线,l,平行于,OT,与椭圆,E,交于不一样两点,A,B,且与直线,l,交于点,P,.证实:存在,常数,使得|,PT,|,2,=,|,PA,|,PB,|,并求,值.,36/126,解析,(1)由题意得,a,=,b,则椭圆,E,方程为,+,=1.,由方程组,得3,x,2,-12,x,+(18-2,b,2,)=0.,方程判别式为,=24(,b,2,-3),由,=0,得,b,2,=3,此时方程解为,x,=2,所以椭圆,E,方程为,+,=1.,点,T,坐标为(2,1).,(2)由已知可设直线,l,方程为,y,=,x,+,m,(,m,0),由方程组,可得,所以,P,点坐标为,|,PT,|,2,=,m,2,.,37/126,设点,A,B,坐标分别为,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,).,由方程组,可得3,x,2,+4,mx,+(4,m,2,-12)=0.,方程判别式为,=16(9-2,m,2,),由,0,解得-,m,0),直线,l,不过原点,O,且不平行于坐标轴,l,与,C,有,两个交点,A,B,线段,AB,中点为,M,.,(1)证实:直线,OM,斜率与,l,斜率乘积为定值;,(2)若,l,过点,延长线段,OM,与,C,交于点,P,四边形,OAPB,能否为平行四边形?若能,求此时,l,斜,率;若不能,说明理由.,39/126,解析,(1)证实:设直线,l,:,y,=,kx,+,b,(,k,0,b,0),A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),M,(,x,M,y,M,).,将,y,=,kx,+,b,代入9,x,2,+,y,2,=,m,2,得(,k,2,+9),x,2,+2,kbx,+,b,2,-,m,2,=0,故,x,M,=,=,y,M,=,kx,M,+,b,=,.,于是直线,OM,斜率,k,OM,=,=-,即,k,OM,k,=-9.,所以直线,OM,斜率与,l,斜率乘积为定值.,(2)四边形,OAPB,能为平行四边形.,因为直线,l,过点,所以,l,不过原点且与,C,有两个交点充要条件是,k,0,k,3.,由(1)得,OM,方程为,y,=-,x,.,设点,P,横坐标为,x,P,.,由,得,=,即,x,P,=,.,将,代入,l,方程得,b,=,40/126,所以,x,M,=,.,四边形,OAPB,为平行四边形当且仅当线段,AB,与线段,OP,相互平分,即,x,P,=2,x,M,.,于是,=2,解得,k,1,=4-,k,2,=4+,.,因为,k,i,0,k,i,3,i,=1,2,所以当,l,斜率为4-,或4+,时,四边形,OAPB,为平行四边形.,评析,本题考查直线与圆锥曲线位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生思,维能力.,14.(北京,19,14分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)离心率为,点,P,(0,1)和点,A,(,m,n,)(,m,0)都,在椭圆,C,上,直线,PA,交,x,轴于点,M,.,(1)求椭圆,C,方程,并求点,M,坐标(用,m,n,表示);,(2)设,O,为原点,点,B,与点,A,关于,x,轴对称,直线,PB,交,x,轴于点,N,.问:,y,轴上是否存在点,Q,使得,OQM,=,ONQ,?若存在,求点,Q,坐标;若不存在,说明理由.,41/126,解析,(1)由题意得,解得,a,2,=2.,故椭圆,C,方程为,+,y,2,=1.,设,M,(,x,M,0).,因为,m,0,所以-1,n,b,0)离心率是,过点,P,(0,1)动直线,l,与椭圆,相交于,A,B,两点.当直线,l,平行于,x,轴时,直线,l,被椭圆,E,截得线段长为2,.,(1)求椭圆,E,方程;,(2)在平面直角坐标系,xOy,中,是否存在与点,P,不一样定点,Q,使得,=,恒成立?若存在,求出,点,Q,坐标;若不存在,请说明理由.,44/126,解析,(1)由已知得,点(,1)在椭圆,E,上.,所以,解得,a,=2,b,=,.,所以椭圆,E,方程为,+,=1.,(2)当直线,l,与,x,轴平行时,设直线,l,与椭圆相交于,C,D,两点.,假如存在定点,Q,满足条件,则有,=,=1,即|,QC,|=|,QD,|.,所以,Q,点在,y,轴上,可设,Q,点坐标为(0,y,0,).,当直线,l,与,x,轴垂直时,设直线,l,与椭圆相交于,M,N,两点,则,M,N,坐标分别为(0,),(0,-,).,由,=,有,=,解得,y,0,=1或,y,0,=2.,所以,若存在不一样于点,P,定点,Q,满足条件,则,Q,点坐标只可能为(0,2).,45/126,下面证实:对任意直线,l,都有,=,.,当直线,l,斜率不存在时,由上可知,结论成立.,当直线,l,斜率存在时,可设直线,l,方程为,y,=,kx,+1,A,B,坐标分别为(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,).,联立得,得(2,k,2,+1),x,2,+4,kx,-2=0.,其判别式,=(4,k,),2,+8(2,k,2,+1)0,所以,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=-,.,所以,+,=,=2,k,.,46/126,易知,点,B,关于,y,轴对称点,B,坐标为(-,x,2,y,2,).,又,k,QA,=,=,=,k,-,k,QB,=,=,=-,k,+,=,k,-,所以,k,QA,=,k,QB,即,Q,A,B,三点共线.,所以,=,=,=,.,故存在与,P,不一样定点,Q,(0,2),使得,=,恒成立.,评析,本题主要考查椭圆标准方程与几何性质,直线方程、直线与椭圆位置关系等基础知,识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与普通、分类与整合,等数学思想.,47/126,16.(课标,20,12分)已知点,A,(0,-2),椭圆,E,:,+,=1(,a,b,0)离心率为,F,是椭圆,E,右,焦点,直线,AF,斜率为,O,为坐标原点.,(1)求,E,方程;,(2)设过点,A,动直线,l,与,E,相交于,P,Q,两点.当,OPQ,面积最大时,求,l,方程.,48/126,解析,(1)设,F,(,c,0),由条件知,=,得,c,=,.,又,=,所以,a,=2,b,2,=,a,2,-,c,2,=1.,故,E,方程为,+,y,2,=1.,(2)当,l,x,轴时不合题意,故设,l,:,y,=,kx,-2,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,).,将,y,=,kx,-2代入,+,y,2,=1得(1+4,k,2,),x,2,-16,kx,+12=0.,当,=16(4,k,2,-3)0,即,k,2,时,x,1,2,=,.,从而|,PQ,|=,|,x,1,-,x,2,|=,.,又点,O,到直线,PQ,距离,d,=,所以,OPQ,面积,S,OPQ,=,d,|,PQ,|=,.,49/126,设,=,t,则,t,0,S,OPQ,=,=,.,因为,t,+,4,当且仅当,t,=2,即,k,=,时等号成立,且满足,0,所以,当,OPQ,面积最大时,l,方程为,y,=,x,-2或,y,=-,x,-2.,评析,本题主要考查椭圆标准方程、几何性质,直线方程以及直线与椭圆位置关系等基,础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线综合问题,考查方程思想、函数思想、整体代换以及换,元法应用.考查学生逻辑推理能力和运算求解能力.,50/126,17.(浙江,21,15分)如图,点,P,(0,-1)是椭圆,C,1,:,+,=1(,a,b,0)一个顶点,C,1,长轴是圆,C,2,:,x,2,+,y,2,=4直径.,l,1,l,2,是过点,P,且相互垂直两条直线,其中,l,1,交圆,C,2,于,A,B,两点,l,2,交椭圆,C,1,于另一点,D,.,(1)求椭圆,C,1,方程;,(2)求,ABD,面积取最大值时直线,l,1,方程.,以下为教师用书专用,51/126,解析,(1)由题意得,所以椭圆,C,1,方程为,+,y,2,=1.,(2)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),D,(,x,0,y,0,).由题意知直线,l,1,斜率存在,不妨设其为,k,则直线,l,1,方程为,y,=,kx,-1.,又圆,C,2,:,x,2,+,y,2,=4,故点,O,到直线,l,1,距离,d,=,所以|,AB,|=2,=2,.,又,l,2,l,1,故直线,l,2,方程为,x,+,ky,+,k,=0.,由,消去,y,整理得(4+,k,2,),x,2,+8,kx,=0,故,x,0,=-,.,所以|,PD,|=,.,设,ABD,面积为,S,则,52/126,S,=,|,AB,|,PD,|=,所以,S,=,=,当且仅当,k,=,时取等号.,所以所求直线,l,1,方程为,y,=,x,-1.,评析,本题主要考查椭圆几何性质,直线与圆位置关系、直线与椭圆位置关系等基础知,识,同时考查解析几何基本思想方法和综合解题能力.,53/126,18.(湖南,21,13分)如图,O,为坐标原点,椭圆,C,1,:,+,=1(,a,b,0)左、右焦点分别为,F,1,、,F,2,离心率为,e,1,;双曲线,C,2,:,-,=1左、右焦点分别为,F,3,、,F,4,离心率为,e,2,已知,e,1,e,2,=,且|,F,2,F,4,|=,-1.,(1)求,C,1,C,2,方程;,(2)过,F,1,作,C,1,不垂直于,y,轴弦,AB,M,为,AB,中点,当直线,OM,与,C,2,交于,P,Q,两点时,求四边形,AP-,BQ,面积最小值.,54/126,解析,(1)因为,e,1,e,2,=,所以,=,即,a,4,-,b,4,=,a,4,所以,a,2,=2,b,2,从而,F,2,(,b,0),F,4,(,b,0),于是,b,-,b,=|,F,2,F,4,|=,-1,所以,b,=1,所以,a,2,=2.,故,C,1,C,2,方程分别为,+,y,2,=1,-,y,2,=1.,(2)因为,AB,不垂直于,y,轴,且过点,F,1,(-1,0),故可设直线,AB,方程为,x,=,my,-1.,由,得(,m,2,+2),y,2,-2,my,-1=0,易知此方程判别式大于0,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,y,1,y,2,是上述方程两个实根,所以,y,1,+,y,2,=,y,1,y,55/126,2,=,.,所以,x,1,+,x,2,=,m,(,y,1,+,y,2,)-2=,于是,AB,中点,M,坐标为,.故直线,PQ,斜率为-,则,PQ,方程为,y,=-,x,即,mx,+2,y,=0.,由,得(2-,m,2,),x,2,=4,所以2-,m,2,0,且,x,2,=,y,2,=,从而|,PQ,|=2,=2,.,设点,A,到直线,PQ,距离为,d,则点,B,到直线,PQ,距离也为,d,所以2,d,=,因为点,A,B,在直线,mx,+2,y,=0异侧,所以(,mx,1,+2,y,1,)(,mx,2,+2,y,2,)0,于是|,mx,1,+2,y,1,|+|,mx,2,+2,y,2,|=|,mx,1,+2,y,1,-,mx,2,-2,y,2,|,从而2,d,=,.,又因为|,y,1,-,y,2,|=,=,所以2,d,=,.,56/126,故四边形,APBQ,面积,S,=,|,PQ,|2,d,=,=2,.,而02-,m,2,0)焦点为,F,A,为,C,上异于原点任意一点,过点,A,直线,l,交,C,于另一点,B,交,x,轴正半轴于点,D,且有|,FA,|=|,FD,|.当点,A,横坐标为3时,ADF,为正,三角形.,(1)求,C,方程;,(2)若直线,l,1,l,且,l,1,和,C,有且只有一个公共点,E,(i)证实直线,AE,过定点,并求出定点坐标;,(ii),ABE,面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.,58/126,解析,(1)由题意知,F,.,设,D,(,t,0)(,t,0),则,FD,中点为,.,因为|,FA,|=|,FD,|,由抛物线定义知3+,=,解得,t,=3+,p,(,t,=-3舍去).,由,=3,解得,p,=2.,所以抛物线,C,方程为,y,2,=4,x,.,(2)(i)由(1)知,F,(1,0),设,A,(,x,0,y,0,)(,x,0,y,0,0),D,(,x,D,0)(,x,D,0),因为|,FA,|=|,FD,|,则|,x,D,-1|=,x,0,+1,由,x,D,0得,x,D,=,x,0,+2,故,D,(,x,0,+2,0).,故直线,AB,斜率,k,AB,=-,.,因为直线,l,1,和直线,AB,平行,59/126,设直线,l,1,方程为,y,=-,x,+,b,代入抛物线方程得,y,2,+,y,-,=0,由题意得,=,+,=0,得,b,=-,.,设,E,(,x,E,y,E,),则,y,E,=-,x,E,=,当,4时,k,AE,=,=-,=,可得直线,AE,方程为,y,-,y,0,=,(,x,-,x,0,),由,=4,x,0,整理可得,y,=,(,x,-1),直线,AE,恒过点,F,(1,0).,当,=4时,直线,AE,方程为,x,=1,过点,F,(1,0),所以直线,AE,过定点,F,(1,0).,(ii)由(i)知直线,AE,过焦点,F,(1,0),60/126,所以|,AE,|=|,AF,|+|,FE,|=(,x,0,+1)+,=,x,0,+,+2.,设直线,AE,方程为,x,=,my,+1,因为点,A,(,x,0,y,0,)在直线,AE,上,故,m,=,设,B,(,x,1,y,1,),直线,AB,方程为,y,-,y,0,=-,(,x,-,x,0,),因为,y,0,0,可得,x,=-,y,+2+,x,0,代入抛物线方程得,y,2,+,y,-8-4,x,0,=0.,所以,y,0,+,y,1,=-,可求得,y,1,=-,y,0,-,x,1,=,+,x,0,+4,61/126,所以点,B,到直线,AE,距离为,d,=,=,=4,.,则,ABE,面积,S,=,4,16,当且仅当,=,x,0,即,x,0,=1时等号成立.,所以,ABE,面积最小值为16.,评析,本题考查抛物线标准方程、几何性质,直线与圆锥曲线位置关系以及解析几何中,定点问题、最值问题和结论探究性问题.本题综合性较强、难度较大,很好地考查了逻辑思维能,力和运算求解能力.本题易错点是定点确实定.,62/126,20.(四川,20,13分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)焦距为4,其短轴两个端点与长轴一个,端点组成正三角形.,(1)求椭圆,C,标准方程;,(2)设,F,为椭圆,C,左焦点,T,为直线,x,=-3上任意一点,过,F,作,TF,垂线交椭圆,C,于点,P,Q,.,(i)证实:,OT,平分线段,PQ,(其中,O,为坐标原点);,(ii)当,最小时,求点,T,坐标.,63/126,解析,(1)由已知可得,解得,a,2,=6,b,2,=2,所以椭圆,C,标准方程是,+,=1.,(2)(i)证实:由(1)可得,F,坐标是(-2,0),设,T,点坐标为(-3,m,).,则直线,TF,斜率,k,TF,=,=-,m,.,当,m,0时,直线,PQ,斜率,k,PQ,=,直线,PQ,方程是,x,=,my,-2.,当,m,=0时,直线,PQ,方程是,x,=-2,也符合,x,=,my,-2形式.,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),将直线,PQ,方程与椭圆,C,方程联立,得,消去,x,得(,m,2,+3),y,2,-4,my,-2=0,其判别式,=16,m,2,+8(,m,2,+3)0.,所以,y,1,+,y,2,=,y,1,y,2,=,64/126,x,1,+,x,2,=,m,(,y,1,+,y,2,)-4=,.,所以,PQ,中点,M,坐标为,.,所以直线,OM,斜率,k,OM,=-,又直线,OT,斜率,k,OT,=-,所以点,M,在直线,OT,上,所以,OT,平分线段,PQ,.,(ii)由(i)可得,|,TF,|=,|,PQ,|=,=,=,=,.,所以,=,=,=,.,当且仅当,m,2,+1=,即,m,=,1时,等号成立,此时,取得最小值.,所以当,最小时,T,点坐标是(-3,1)或(-3,-1).,65/126,评析,本题主要考查椭圆标准方程、直线方程、直线与椭圆位置关系等基础知识,考查推,理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想.,21.(山东,22,13分)椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)左、右焦点分别是,F,1,、,F,2,离心率为,过,F,1,且,垂直于,x,轴直线被椭圆,C,截得线段长为1.,(1)求椭圆,C,方程;,(2)点,P,是椭圆,C,上除长轴端点外任一点,连接,PF,1,PF,2,.设,F,1,PF,2,角平分线,PM,交,C,长轴于点,M,(,m,0),求,m,取值范围;,(3)在(2)条件下,过点,P,作斜率为,k,直线,l,使得,l,与椭圆,C,有且只有一个公共点.设直线,PF,1,PF,2,斜率分别为,k,1,k,2,.若,k,0,试证实,+,为定值,并求出这个定值.,66/126,解析,(1)因为,c,2,=,a,2,-,b,2,将,x,=-,c,代入椭圆方程,+,=1,得,y,=,由题意知,=1,即,a,=2,b,2,.,又,e,=,=,所以,a,=2,b,=1.,所以椭圆,C,方程为,+,y,2,=1.,(2)解法一:设,P,(,x,0,y,0,)(,y,0,0).,又,F,1,(-,0),F,2,(,0),所以直线,PF,1,PF,2,方程分别为,:,y,0,x,-(,x,0,+,),y,+,y,0,=0,:,y,0,x,-(,x,0,-,),y,-,y,0,=0.,67/126,由题意知,=,.,因为点,P,在椭圆上,所以,+,=1.,所以,=,.,因为-,m,-2,x,0,2,所以,=,.,所以,m,=,x,0,.,所以-,m,.,解法二:设,P,(,x,0,y,0,).,68/126,当0,x,0,2时,当,x,0,=,时,直线,PF,2,斜率不存在,易知,P,或,P,.,若,P,则直线,PF,1,方程为,x,-4,y,+,=0.,由题意得,=,-,m,因为-,m,所以,m,=,.,若,P,同理可得,m,=,.,当,x,0,时,设直线,PF,1,PF,2,方程分别为,y,=,k,1,(,x,+,),y,=,k,2,(,x,-,).,由题意知,=,所以,=,.,69/126,因为,+,=1,而且,k,1,=,k,2,=,所以,=,=,=,即,=,.,因为-,m,0,x,0,2且,x,0,所以,=,.,整理得,m,=,故0,m,且,m,.,综合可得0,m,.,70/126,当-2,x,0,0时,同理可得-,m,0.,由根与系数关系得,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=,因为,x,轴平分,PBQ,所以,=-,即,y,1,(,x,2,+1)+,y,2,(,x,1,+1)=0,(,kx,1,+,b,)(,x,2,+1)+(,kx,2,+,b,)(,x,1,+1)=0,74/126,2,kx,1,x,2,+(,b,+,k,)(,x,1,+,x,2,)+2,b,=0,将代入得2,kb,2,+(,k,+,b,)(8-2,bk,)+2,k,2,b,=0,k,=-,b,此时,0,直线,l,方程为,y,=,k,(,x,-1),即直线,l,过定点(1,0).,23.(课标全国,20,12分)已知圆,M,:(,x,+1),2,+,y,2,=1,圆,N,:(,x,-1),2,+,y,2,=9,动圆,P,与圆,M,外切而且与圆,N,内切,圆心,P,轨迹为曲线,C,.,(1)求,C,方程;,(2),l,是与圆,P,圆,M,都相切一条直线,l,与曲线,C,交于,A,B,两点,当圆,P,半径最长时,求|,AB,|.,75/126,解析,由已知得圆,M,圆心为,M,(-1,0),半径,r,1,=1;圆,N,圆心为,N,(1,0),半径,r,2,=3