资源描述
,8.1,空间几何体结构及其表面积,、,体积,1/64,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/64,基础知识自主学习,3/64,1.,多面体结构特征,知识梳理,相互平行,全等,公共顶点,平行于底面,相同,4/64,2.,旋转体形成,几何体,旋转图形,旋转轴,圆柱,矩形,所在直线,圆锥,直角三角形,所在直线,圆台,直角梯形,所在直线,球,半圆,所在直线,任一边,任一直角边,垂直于底边腰,直径,5/64,3.,空间几何体直观图,空间几何体直观图惯用,画法来画，其规则是,(1),在空间图形中取相互垂直,x,轴和,y,轴，两轴交于,O,点，再取,z,轴，使,xOz,，且,yOz,.,(2),画直观图时把它们画成对应,x,轴、,y,轴和,z,轴，它们相交于,O,，并使,x,O,y,，,x,O,z,，,x,轴和,y,轴所确定平面表示水平面,.,(3),已知图形中平行于,x,轴、,y,轴或,z,轴线段，在直观图中分别画成,于,x,轴、,y,轴或,z,轴线段,.,(4),已知图形中平行于,x,轴或,z,轴线段，在直观图中,；,平行于,y,轴线段，,.,斜二测,90,90,45(,或,135),90,平行,保持原长度不变,长度为原来二分之一,6/64,4.,柱、锥、台和球表面积和体积,名称,几何体,表面积,体积,柱体,(,棱柱和圆柱,),S,表面积,S,侧,2,S,底,V,_,锥体,(,棱锥和圆锥,),S,表面积,S,侧,S,底,V,_,Sh,7/64,台体,(,棱台和圆台,),S,表面积,S,侧,S,上,S,下,V,(,S,上,S,下,),h,球,S,_,V,_,4,R,2,8/64,5.,惯用结论,(1),与体积相关几个结论,一个组合体体积等于它各部分体积和或差,.,底面面积及高都相等两个同类几何体体积相等,.,(2),几个与球相关切、接惯用结论,a.,正方体棱长为,a,，球半径为,R,，,若球为正方体外接球，则,2,R,；,若球为正方体内切球，则,2,R,a,；,若球与正方体各棱相切，则,2,R,.,9/64,b.,若长方体同一顶点三条棱长分别为,a,，,b,，,c,，外接球半径为,R,，则,2,R,.,c.,正四面体外接球与内切球半径之比为,3,1.,(3),斜二测画法中,“,三变,”,与,“,三不变,”,“,三变,”,“,三不变,”,10/64,思索辨析,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),有两个面平行，其余各面都是平行四边形几何体是棱柱,.(,),(2),有一个面是多边形，其余各面都是三角形几何体是棱锥,.(,),(3),用斜二测画法画水平放置,A,时，若,A,两边分别平行于,x,轴和,y,轴，且,A,90,，则在直观图中，,A,45.(,),(4),圆柱侧面展开图是矩形,.(,),(5),台体体积可转化为两个锥体体积之差来计算,.(,),(6),菱形直观图仍是菱形,.(,),11/64,考点自测,1.(,教材改编,),以下说法正确是,_.,相等角在直观图中依然相等；,相等线段在直观图中依然相等；,正方形直观图是正方形；,若两条线段平行，则在直观图中对应两条线段依然平行,.,答案,解析,由直观图画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段平行性不变,.,故,正确,.,12/64,2.(,教材改编,),已知圆锥表面积等于,12 cm,2,，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆半径为,_ cm.,答案,解析,2,S,表,r,2,rl,r,2,r,2,r,3,r,2,12,，,r,2,4,，,r,2(cm).,13/64,3.,如图，直观图所表示平面图形是,_.(,填序号,),正三角形,锐角三角形,钝角三角形,直角三角形,答案,解析,由直观图中，,A,C,y,轴，,B,C,x,轴，还原后原图,AC,y,轴，,BC,x,轴,.,直观图还原为平面图形是直角三角形,.,故,正确,.,14/64,4.,将边长为,a,正方形,ABCD,沿对角线,AC,折起，使得,BD,a,，则三棱锥,D,ABC,体积为,_.,答案,解析,取,AC,中点,O,，连结,DO,，,BO,，,ADC,，,ABC,都是等腰直角三角形,.,因为,DO,BO,，,BD,a,，所以,BDO,也是等腰直角三角形,.,又因为,DO,AC,，,DO,BO,，,AC,BO,O,，,所以,DO,平面,ABC,，即,DO,就是三棱锥,D,ABC,高,.,15/64,5.(,南京、淮安、盐城二模,),表面积为,12,圆柱，当其体积最大时，该圆柱底面半径与高比为,_.,答案,解析,12,设圆柱底面半径为,r,，高为,h,，则,2,r,2,2,rh,12,，得,h,，,所以圆柱体积,V,r,2,h,(6,r,r,3,),，,令,V,(6,3,r,2,),0,，得,r,，,且此时体积,V,最大，故底面半径与高比,.,16/64,题型分类深度剖析,17/64,题型一空间几何体结构特征,例,1,给出以下命题：,棱柱侧棱都相等，侧面都是全等平行四边形；,在四棱柱中，若两个过相对侧棱截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；,存在每个面都是直角三角形四面体；,棱台侧棱延长后交于一点,.,其中正确命题序号是,_.,答案,解析,18/64,不正确，依据棱柱定义，棱柱各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；,正确，因为两个过相对侧棱截面交线平行于侧棱，又垂直于底面；,正确，如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,三棱锥,C,1,ABC,，四个面都是直角三角形；,正确，由棱台概念可知,.,19/64,(1),处理本类题目标关键是准确了解几何体定义，真正把握几何体结构特征，能够依据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断,.,(2),处理本类题目标技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是惯用几何模型，有些问题能够利用它们举特例处理或者学会利用反例对概念类命题进行辨析,.,思维升华,20/64,跟踪训练,1,(1),以下命题：,以直角三角形一边为轴旋转一周所得旋转体是圆锥；,以直角梯形一腰为轴旋转一周所得旋转体是圆台；,圆柱、圆锥、圆台底面都是圆面；,一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台,.,其中正确命题个数为,_.,答案,解析,1,21/64,命题,错，因为这条边若是直角三角形斜边，则得不到圆锥；,命题,错，因为这条腰必须是垂直于两底腰；,命题,对；,命题,错，必须用平行于圆锥底面平面截圆锥才能够，故正确命题个数为,1.,22/64,(2),给出以下四个命题：,有两个侧面是矩形图形是直棱柱；,侧面都是等腰三角形棱锥是正棱锥；,侧面都是矩形直四棱柱是长方体；,底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直棱柱是正棱柱,.,其中不正确命题为,_.,答案,解析,23/64,对于,，平行六面体两个相对侧面也可能是矩形，故,错；,对于,，对等腰三角形腰是否为侧棱未作说明,(,如图,),，故,错；,对于,，若底面不是矩形，则,错；,由线面垂直判定，侧棱垂直于底面，故,正确,.,综上，命题,不正确,.,24/64,题型二空间几何体直观图,例,2,(1),已知正三角形,ABC,边长为,a,，那么,ABC,平面直观图,A,B,C,面积为,_.,答案,解析,如图,所表示实际图形和直观图，,由,可知，,A,B,AB,a,，,O,C,，,在图,中作,C,D,A,B,于,D,，,则,C,D,.,25/64,(2),如图，矩形,O,A,B,C,是水平放置一个平面,图形直观图，其中,O,A,6 cm,，,O,C,2 cm,，,则原图形是,_.,正方形；,矩形；,菱形；,普通平行四边形,.,答案,解析,如图，在原图形,OABC,中，应有,OD,2,O,D,2,cm,，,CD,C,D,2 cm.,OA,OC,，故四边形,OABC,是菱形,.,26/64,用斜二测画法画直观图技巧,在原图形中与,x,轴或,y,轴平行线段在直观图中与,x,轴或,y,轴平行，原图中不与坐标轴平行直线段能够先画出线段端点再连线，原图中曲线段能够经过取一些关键点，作出在直观图中对应点后，用平滑曲线连结而画出,.,思维升华,27/64,跟踪训练,2,(,镇江模拟,),如图所表示，,A,B,C,是,ABC,直观图，,且,A,B,C,是边长为,a,正三角形，则,ABC,面积为,_.,答案,解析,28/64,建立如图所表示坐标系,xOy,，,A,B,C,顶点,C,在,y,轴上，边,A,B,在,x,轴上，把,y,轴绕原点逆时针旋转,45,得,y,轴，在,y,轴上取点,C,使,OC,2,OC,，,A,，,B,点即为,A,，,B,点，长度不变,.,已知,A,B,A,C,a,，在,OA,C,中，,由正弦定理得,所以原三角形,ABC,高,OC,，,29/64,题型三求空间几何体表面积,例,3,(1),一个六棱锥体积为,，其底面是边长为,2,正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥侧面积为,_.,答案,解析,12,由题意知该六棱锥为正六棱锥，,设正六棱锥高为,h,，侧面斜高为,h,.,h,1,，,斜高,h,2,，,S,侧,6,2,2,12.,30/64,(2)(,苏州模拟,),如图，斜三棱柱,ABC,A,B,C,中，底面是边长为,a,正三角形，侧棱长为,b,，侧棱,AA,与底面相邻两边,AB,与,AC,都成,45,角，求此斜三棱柱表面积,.,解答,31/64,如图，过,A,作,A,D,平面,ABC,于,D,，过,D,作,DE,AB,于,E,，,DF,AC,于,F,，,连结,A,E,，,A,F,，,AD,.,又由题意知,A,E,AB,，,A,F,AC,，,得,Rt,A,AE,Rt,A,AF,，,A,E,A,F,，,DE,DF,，,AD,平分,BAC,，,BC,AD,，,BC,AA,，,而,AA,BB,，,BC,BB,，,四边形,BCC,B,是矩形，,斜三棱柱侧面积为,2,a,b,sin 45,ab,(,1),ab,.,则由,A,AE,A,AF,，,AA,AA,，,又,AB,AC,，,又,斜三棱柱底面积为,，,斜三棱柱表面积为,(,1),ab,.,32/64,(1),处理组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单几何体组成以及这些简单几何体组合情况,.,(2),在求多面体侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体表面积应注意重合部分处理,.,(3),圆柱、圆锥、圆台侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆面积之和,.,思维升华,33/64,跟踪训练,3,一个正三棱台上、下底面边长分别是,3 cm,和,6 cm,，高是,.,(1),求三棱台斜高；,解答,设,O,1,、,O,分别为正三棱台,ABC,A,1,B,1,C,1,上、下底面正三角形中心，如图所表示，,则,O,1,O,，过,O,1,作,O,1,D,1,B,1,C,1,，,OD,BC,，则,D,1,D,为三棱台斜高；,过,D,1,作,D,1,E,AD,于,E,，则,D,1,E,O,1,O,，,则,DE,OD,O,1,D,1,.,在,Rt,D,1,DE,中，,故三棱台斜高为,.,34/64,(2),求三棱台侧面积和表面积,.,解答,设,c,、,c,分别为上、下底周长，,h,为斜高，,故三棱台侧面积为,，表面积为,.,35/64,题型,四,求简单几何体体积,例,4,(,江苏,),现有橡皮泥制作底面半径为,5,，高为,4,圆锥和底面半径为,2,，高为,8,圆柱各一个,.,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同新圆锥和圆柱各一个，则新底面半径为,_.,答案,解析,设新底面半径为,r,，,由题意得,r,2,4,r,2,8,5,2,4,2,2,8,，解得,r,.,36/64,空间几何体体积问题常见类型及解题策略,(1),若所给定几何体是可直接用公式求解柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解,.,(2),若所给定几何体体积不能直接利用公式得出，则惯用转换法、分割法、补形法等方法进行求解,.,思维升华,37/64,跟踪训练,4,如图，在多面体,ABCDEF,中，已知,ABCD,是边长为,1,正方形，且,ADE,，,BCF,均为正三角形，,EF,AB,，,EF,2,，则该多面体体积为,_.,答案,解析,如图，分别过点,A,，,B,作,EF,垂线，垂足分别为,G,，,H,，,连结,DG,，,CH,，轻易求得,EG,HF,，,AG,GD,BH,HC,，,V,V,E,ADG,V,F,BCH,V,AGD,BHC,2,V,E,ADG,V,AGD,BHC,38/64,题型五与球相关切、接问题,例,5,(,扬州模拟,),已知直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,6,个顶点都在球,O,球面上，若,AB,3,，,AC,4,，,AB,AC,，,AA,1,12,，则球,O,半径为,_.,答案,解析,如图所表示，由球心作平面,ABC,垂线，,则垂足为,BC,中点,M,.,又,AM,BC,，,OM,AA,1,6,，,所以球,O,半径,R,OA,39/64,引申探究,1.,已知棱长为,4,正方体，则此正方体外接球和内切球体积各是多少？,解答,由题意可知，此正方体体对角线长即为其外接球直径，正方体棱长即为其内切球直径,.,设该正方体外接球半径为,R,，内切球半径为,r,.,又正方体棱长为,4,，故其体对角线长为,，,40/64,2.,已知棱长为,a,正四面体，则此正四面体表面积,S,1,与其内切球表面积,S,2,比值为多少？,解答,正四面体表面积为,S,1,其内切球半径,r,为正四面体高,，,所以内切球表面积为,S,2,4,r,2,，,41/64,3.,已知侧棱和底面边长都是,正四棱锥，则其外接球半径是多少？,解答,依题意得，该正四棱锥底面对角线长为,6,，,高为,3,，,所以底面中心到各顶点距离均等于,3,，所以该正四棱锥外接球球心即为底面正方形中心，其外接球半径为,3.,42/64,空间几何体与球接、切问题求解方法,(1),求解球与棱柱、棱锥接、切问题时，普通过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间关系求解,.,(2),若球面上四点,P,，,A,，,B,，,C,组成三条线段,PA,，,PB,，,PC,两两相互垂直，且,PA,a,，,PB,b,，,PC,c,，普通把相关元素,“,补形,”,成为一个球内接长方体，利用,4,R,2,a,2,b,2,c,2,求解,.,思维升华,43/64,跟踪训练,5,(,全国丙卷改编,),在封闭直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,内有一个,体积为,V,球,.,若,AB,BC,，,AB,6,，,BC,8,，,AA,1,3,，则,V,最大值是,_.,答案,解析,由题意知，底面三角形内切圆直径为,4.,三棱柱高为,3,，所以球最大直径为,3,，,V,最大值为,.,44/64,典例,(,盐城模拟,),如图，在,ABC,中，,AB,8,，,BC,10,，,AC,6,，,DB,平面,ABC,，且,AE,FC,BD,，,BD,3,，,FC,4,，,AE,5,，则此几何体体积为,_.,巧用补形法处理立体几何问题,思想与方法系列,15,解答本题时可用,“,补形法,”,完成,.,“,补形法,”,是立体几何中一个常见主要方法，在解题时，把几何体经过,“,补形,”,补成一个完整几何体或置于一个更熟悉几何体中，巧妙地破解空间几何体体积等问题，常见补形法有对称补形、联络补形与还原补形，对于还原补形，主要包括台体中,“,还台为锥,”,，将不规则几何体补成规则几何体等,.,思想方法指导,答案,解析,96,几何画板展示,45/64,用,“,补形法,”,把原几何体补成一个直三棱柱，,使,AA,BB,CC,8,，,所以,V,几何体,V,三棱柱,S,ABC,AA,24,8,96.,46/64,课时作业,47/64,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1.,给出以下命题：,在正方体上任意选择,4,个不共面顶点，它们可能是正四面体,4,个,顶点；,底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形三棱锥是正三棱锥；,若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱,.,其中正确命题序号是,_.,答案,48/64,2.(,连云港模拟,),五棱柱中，不一样在任何侧面且不一样在任何底面两顶点连线称为它对角线，那么一个五棱柱对角线条数为,_.,答案,解析,10,如图，在五棱柱,ABCDE,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,中，从顶点,A,出发对角线有两条：,AC,1,，,AD,1,，同理从,B,，,C,，,D,，,E,点出发对角线都有两条，共,2,5,10(,条,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,49/64,3.,用平面,截球,O,所得截面圆半径为,3,，球心,O,到平面,距离为,4,，则此球表面积为,_.,答案,解析,100,依题意，设球半径为,R,，满足,R,2,3,2,4,2,25,，,S,球,4,R,2,100.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,50/64,4.(,镇江模拟,),若直观图为如图所表示直角梯形，,ABC,45,，,AB,AD,1,，,DC,BC,，则原图形面积为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,51/64,如图,，在直观图中，过点,A,作,AE,BC,，垂足为,E,，则在,Rt,ABE,中，,AB,1,，,ABE,45,，,BE,.,而四边形,AECD,为矩形，,AD,1,，,EC,AD,1.,BC,BE,EC,1.,由此可还原原图形如图,，是一个直角梯形,.,在原图形中，,A,D,1,，,A,B,2,，,B,C,1,，,且,A,D,B,C,，,A,B,B,C,，,原图形面积为,S,(,A,D,B,C,),A,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,52/64,5.,如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,棱长为,，以顶点,A,为球心，,2,为半径,作一个球，则图中球面与正方体表面相交所得到两段弧长之和为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,53/64,由题意，图中弧,为过球心平面与球面相交所得大圆一段弧，,因为,A,1,AE,BAF,，所以,EAF,，,由弧长公式知弧,长为,2,.,弧,为不过球心平面与球面相交所得小圆一段弧，其圆心为,B,，,因为球心到平面,BCC,1,B,1,距离,d,，球半径,R,2,，,所以小圆半径,r,1,，,又,GBF,，所以弧,长为,1,.,故两段弧长之和为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,54/64,6.,如图，直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,六个顶点都在半径为,1,半球面上，,AB,AC,，侧面,BCC,1,B,1,是半球底面圆内接正方形，则侧面,ABB,1,A,1,面积为,_.,答案,解析,由题意知，球心在正方形中心上，球半径为,1,，则正方形边长为,.,ABC,A,1,B,1,C,1,为直三棱柱，,平面,ABC,平面,BCC,1,B,1,，,BC,为截面圆直径，,BAC,90.,AB,AC,，,AB,1.,侧面,ABB,1,A,1,面积为,1,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,55/64,7.,已知四面体,ABCD,满足,AB,CD,，,AC,AD,BC,BD,2,，则四面体,ABCD,外接球表面积是,_.,答案,解析,7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,56/64,(,图略,),在四面体,ABCD,中，取线段,CD,中点为,E,，连结,AE,，,BE,.,AC,AD,BC,BD,2,，,AE,CD,，,BE,CD,.,在,Rt,AED,中，,CD,，,AE,.,同理,BE,.,取,AB,中点为,F,，连结,EF,.,由,AE,BE,，得,EF,AB,.,在,Rt,EFA,中，,AF,AB,，,AE,，,EF,1.,取,EF,中点为,O,，连结,OA,，则,OF,.,在,Rt,OFA,中，,OA,.,同理得,OA,OB,OC,OD,，,该四面体外接球半径是,，,外接球表面积是,7.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,57/64,8.,如图所表示，,AB,是圆,O,直径，点,C,是圆,O,上异于,A,，,B,点，,PO,垂直于圆,O,所在平面，且,PO,OB,1.,则三棱锥,P,ABC,体积最大值为,_.,答案,解析,V,P,ABC,PO,S,ABC,，,当,ABC,面积最大时，三棱锥,P,ABC,体积到达最大值,.,当,CO,AB,时，,ABC,面积最大，最大值为,2,1,1,，,此时,V,P,ABC,PO,S,ABC,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,58/64,9.(,徐州、连云港、宿迁联考,),如图，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，侧棱,AA,1,平面,AB,1,C,1,，,AA,1,1,，底面,ABC,是边长为,2,正三角形，则此三棱柱体积为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,59/64,因为,AA,1,平面,AB,1,C,1,，,AB,1,平面,AB,1,C,1,，所以,AA,1,AB,1,，,又知,AA,1,1,，,A,1,B,1,2,，所以,AB,1,，,同理可得,AC,1,，,又知在,AB,1,C,1,中，,B,1,C,1,2,，所以,AB,1,C,1,B,1,C,1,上高为,h,，,于是三棱锥,A,A,1,B,1,C,1,体积,进而可得此三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,体积,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,60/64,10.(,盐城一模,),一个圆锥过轴截面为等边三角形，它顶点和,底面圆周在球,O,球面上，则该圆锥体积与球,O,体积比值为,_.,答案,解析,设等边三角形边长为,2,a,，球,O,半径为,R,，,又,R,2,a,2,(,a,R,),2,，所以,R,，,则其体积比为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,61/64,11.,如图是一个以,A,1,B,1,C,1,为底面直三棱柱被一平面所截得到几何体，截面为,ABC,，已知,A,1,B,1,B,1,C,1,2,，,A,1,B,1,C,1,90,，,AA,1,4,，,BB,1,3,，,CC,1,2,，求：,(1),该几何体体积；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,62/64,过,C,作平行于,A,1,B,1,C,1,截面,A,2,B,2,C,，交,AA,1,，,BB,1,分别于,A,2,，,B,2,.,由直三棱柱性质及,A,1,B,1,C,1,90,可知,B,2,C,平面,ABB,2,A,2,，则,2,2,2,(1,2),2,2,6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,63/64,(2),截面,ABC,面积,.,解答,在,ABC,中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,64/64,
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